ESTATÍSTICA AULA 08 PROBABILIDADE – Unidade 5 Probabilidade Condicional Professor Marcelo Menezes Reis 1 Aulas prévias Planejamento da pesquisa e amostragem. Análise Exploratória de Dados I e II: Resumir e organizar o conjunto de dados. Conceitos básicos de probabilidade: experimento aleatório, espaço amostral, eventos. Definições de probabilidade. 2 Conteúdo desta aula Conceito de Probabilidade condicional. Conceito de Independência estatística. Exemplos. 3 Incerteza “Certo mesmo, apenas a morte e os impostos...” Até a Unidade 4 raciocínio indutivo: Dados coletados. Análise Exploratória de Dados Elaborar hipóteses sobre a variabilidade. 4 Modelo probabilístico Construção de modelos de probabilidade para entender melhor os fenômenos aleatórios 5 Probabilidade Uso de um modelo probabilístico: Definem-se todos os resultados possíveis. Obtém-se uma regra para avaliar a possibilidade de ocorrência dos resultados. 6 Probabilidade condicional Qual é a probabilidade do Brasil ganhar a Copa do Mundo de 2010 supondo-se que ganhará a Copa América de 2009? Qual é a probabilidade do dólar cair para R$1,8 se o FED reduzir a taxa de juros em 0,5% no próximo mês? 7 Probabilidade condicional Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de A dado B por: P(A B) P(A | B) P(B) 8 Probabilidade condicional Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(A) > 0. Definimos a probabilidade condicional de B dado A por: P(A B) P( B | A) P( A) 9 Regra do produto P(A B) P(A | B) P(B) P(A B) P(B) P(A | B) ou P(A B) P( B | A) P( A) P(A B) P(A) P(B | A) 10 Eventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso: P(A | B) P(A) A e B são independentes P(A B) P(A) P(B) 11 Exemplo 1 Retirado de BARBETTA, P.A., REIS, M.M., BORNIA, A.C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2008, página 103 12 Exemplo 1 Seja o lançamento de 2 dados não viciados e a observação das faces voltadas para cima. Calcule a probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma é menor ou igual a 5. Calcule a probabilidade de ocorrer soma das faces menor ou igual a 5 sabendo-se que são iguais. 13 Exemplo 1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) Ω (4, 1) (5, 1) (6, 1) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3) (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5) (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) 36 resultados eqüiprováveis. 14 Exemplo 1 E1 = faces iguais = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} P(E1) = 6/36 = 1/6 E2 = soma das faces é menor ou igual a 5 = = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}. P(E2) = 10/36 = 5/18 15 2 P ( E1 E 2 ) 2 36 P ( E1 | E 2 ) 0,2 10 P(E 2 ) 10 36 2 P ( E1 E 2 ) 2 36 P ( E 2 | E1 ) 0,33 6 P ( E1 ) 6 36 16 Exemplo 2 Adaptado de WARNER, B. A., PENDERGRAFT, D., e WEBB, T. That Was Venn, This Is Now. Journal of Statistics Education v.6, n.1 (1998). 17 Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? P(Champignon Calabresa ) 3 / 8 3 P(Champignon | Calabresa ) P(Calabresa ) 5/8 5 P(Champignon Calabresa ) 3 / 8 3 P(Calabresa | Champignon ) P(Champignon ) 4/8 4 18 Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com champignon supondo que houvesse calabresa nele? Qual é a probabilidade de selecionar um pedaço com calabresa supondo que houvesse champignon nele? P(Champignon Calabresa ) 2 / 8 2 P(Champignon | Calabresa ) P(Calabresa ) 4/8 4 P(Champignon Calabresa ) 2 / 8 2 P(Calabresa | Champignon ) P(Champignon ) 4 / 8 419 Exemplo 3 Adaptado de BARBETTA, P.A., REIS, M.M., BORNIA, A.C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2008, página 114 20 Exemplo 3 Após um processo de seleção para preenchimento de 2 vagas para engenheiro, uma empresa chegou a um conjunto de 9 engenheiros e 6 engenheiras, todos com capacitação bastante semelhante. Indeciso, o setor de RH decidiu realizar um sorteio para preencher as 2 vagas oferecidas. a) Construa o modelo probabilístico para esta situação. b) Qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo? 21 Exemplo 3 8/14 HH 9/15 8H, 6M 6/14 HM 9 H, 6 M 9/14 6/15 MH 9H, 5M 5/14 MM 22 Exemplo 3 9 8 P(H H) P(H) P(H / H) 0,3429 15 14 9 6 P(H M) P(H) P(M / H) 0,2571 15 14 6 9 P(M H) P(M) P(H / M) 0,2571 15 14 6 5 P(M M) P(M) P(M / M) 0,1429 15 14 23 Exemplo 3 P(Mesmo sexo) P[( H H)] (M M)] (H H) e (M M) são M.E. P(Mesmo sexo) P(H H) P(M M) 24 Exemplo 3 P(Mesmo sexo) P(H) P(H / H) P(M) P(M / M) 9 8 6 5 P(Mesmo sexo) 0,4858 15 14 15 14 25 Tô afim de saber... Sobre conceitos de probabilidade: BARBETTA,P. A. Estatística Aplicada às Ciências Sociais. 8ª. ed. – Florianópolis: Ed. da UFSC, 2008, capítulo 7. LOPES, P. A. Probabilidades e Estatística. Rio de Janeiro: Reichmann e Affonso Editores, 1999, capítulo 3. 26 Próxima aula Variável aleatória Conceitos. Distribuições de probabilidade para variáveis aleatórias discretas e contínuas. Valor esperado e variância. 27