Simetrias e geometria analítica - IME-USP
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Um pouco de história da Geometria Antonio Carlos Brolezzi IME-USP www.ime.usp.br/~brolezzi [email protected] História dos conceitos geométricos – linha do tempo China/Japão Américas Índia Árabes Grécia Europa Egito Roma Mesopotâmia 3500 aC 1200 aC 700 aC 1 500 1000 1500 2014 História dos conceitos geométricos – linha do tempo China/Japão Américas Índia Árabes Grécia Europa Egito Roma Mesopotâmia 3500 aC 1200 aC 700 aC 1 500 1000 1500 2014 Na matemática, os conceitos estão interligados. Qual é a sua definição de matemática? Matemática é ciência dos padrões. Logo, geometria não é apenas uma área a parte da matemática. Sem geometria, não há: Números Álgebra Trigonometria Funções… Com qual matemática você prefere trabalhar? Competências matemáticas no ensino de geometria 1. 2. 3. 4. 5. Experimentar Conjecturar Representar Comunicar Argumentar Matemática como ciência humana: história Filósofo grego. Discípulo de Sócrates. Platão era um apelido que, provavelmente, fazia referência à sua caracteristica física, como seus ombros largos. Na Academia de Platão, se Platão de Atenas dizia a quem entrava: (428—347 a.C.) “Quem não souber geometria não entre aqui” Espaço sensível e espaço geométrico: conceitos platônicos História das idéias geométricas Simetrias SIMETRIAS Conexões entre geometria, natureza e arte • • Os três conceitos da simetria: Translação • Reflexão • Rotação Translação Translação: Atividades de translação envolvem: • • • • • Sequencias geométricas: Contagem; Álgebra; Arte matemática; Funções e gráficos: coeficiente linear. Reflexão Reflexão: Atividades de reflexão envolvem: • Dobraduras; • Função módulo; • Funções e gráficos: funções inversas. Rotação Centro de rotação Rotação: Atividades de rotação envolvem: • Ângulos, trigonometria; • Funções e gráficos: coeficientes angulares. Letras com Simetria por Reflexão Simetria Rotacional com menos de 360º Translação com reflexão Técnicas de Translação Simetria por Reflexão Rotação de 90° Atividade Conexões entre geometria, natureza, arte e arquitetura • • • Programa Tess http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/softw are/softw.htm Programa para desenhar com simetrias Esse programa permite trabalhar quais competências matemáticas no ensino de geometria? 1. 2. 3. 4. 5. Experimentar Conjecturar Representar Comunicar Argumentar Translação Refletida na obra de M. C. Escher • Ver outras obras de Escher, o artista das simetrias Maurist Cornelis Escher (1898-1972) Céu e Água I Esboço para Répteis Peixe e Barco Dia e noite Queda de água Desenhando mãos Faixa de Möebius II Ciclo O video arte matemática mostra exemplos dos conceitos da simetria. Sites utilizados: http://www.tvcultura.com.br/ Artematematica http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/ software/softw.htm Geometria analítica, cônicas e outras curvas. Os gregos antigos estudaram curvas associadas ao cone fornecem formas geométricas muito interessantes, e a matemática está presente na vida e na natureza. Podemos enxergar as cônicas observando o corte que o plano da parede faz em um cone de luz emitido por uma lanterna. As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC). As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC). As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC). As cônicas foram primeiro identificadas por Menaecmos em 340 aC e depois estudadas por Apolônio (262-200 aC). As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. As cônicas aparecem nas leis de Kepler (1571-1630), que explicam os movimentos dos planetas. Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura. Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura. Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura. Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura. Agora, vamos construir as cônicas usando modelos obtidos por dobradura. As cônicas definidas por lugar geométrico podem ser construídas a partir de suas propriedades básicas, usando folhas apropriadas. Dada uma reta l, chamada diretriz, e um ponto F que não está em l, chamado foco, uma secção cônica é o lugar geométrico dos pontos P para os quais a razão distância de P a F distância de P a l é constante. Essa constante chamase excentricidade da cônica (e). Temos três casos: 0<e<1 elipse (“falta”) e=1 parábola (“comparação”) e>1 hipérbole (“excesso”) PO + PF = 2a 2a = comprimento do fio OF = 2c 2c = distância focal PO + PF = 2a 2a = comprimento do fio a = semi-eixo maior OF = 2c 2c = distância focal b2 - a2 = c 2 e = c/a 0<e<1 (excentricidade) define o tipo da órbita x2/a2 + y2/b2 = 1 equação reduzida da elípse As órbitas dos planetas do sistema solar são elípses com excentricidade pequena As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses com excentricidade pequena Órbitas dos planetas externos As órbitas dos planetas do sistema solar são elipses com excentricidade pequena Órbitas dos planetas internos Vejamos os valores das excentricidades das órbitas IPO - PFI = 2a OF = 2c b2 + a2 = c 2 e = c/a e>1 (excentricidade) x2/a2 - y2/b2 = 1 equação reduzida da hipérbole É interessante trabalhar as cônicas com programas de geometria dinâmica, como o gratuito CAR. Assim, a história da geometria se inicia com a geometria dinâmica do pensamento grego e termina com a geometria dinâmica do computador.
