HM_2 - Unifal-MG

Profa. Andréa Cardoso
UNIFAL-MG
MATEMÁTICA-LICENCIATURA
2015/1
Aula 26:

Estudo de Curvas no
século XVII
08/06/2015
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Matemática na Europa do século XVII

 A Geometria como principal domínio da Matemática;
 Era preciso uma nova arte da invenção que pudesse
fornecer novos objetos capazes de servir à Matemática,
assim como objetos técnicos serviam à vida social;
 Contra os saberes antigos e demonstrações estéreis. As
demonstrações não deveriam ter somente o papel de
convencer, mas de esclarecer a natureza do problema e
propor métodos de invenção direta que permitissem
resolvê-lo.
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Matemática na Europa do século XVII

 Recuperação das obras gregas perdidas;
 Obras clássicas mencionados por Pappus;
 As Cônicas de Apolônio;
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Pappus de Alexandria (299-350)

 O último grande geômetra grego.
Coleção
Matemática
Geometria
Plana
Mecânica
 Cita as obras perdidas de Apolônio.
Problemas
de
tangência
Curvas
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Cônicas
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O Problema de Pappus

Encontrar o lugar geométrico de um ponto tal que, se
os segmentos de reta são traçados desde este ponto até
três ou quatro retas dadas, formando com elas ângulos
determinados, o produto de dois destes segmentos
deve ser proporcional ao produto dos outros dois (se
há quatro retas) ou ao quadrado do terceiro (se há três
retas).
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O Problema de Pappus

 Pappus diz que Apolônio não conseguiu avançar
mais do que Euclides na solução do problema para
𝑛 ≤ 4, mostrando que o lugar geométrico é uma
cônica.
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Cônicas como Lugares Geométricos

directriz
d
r
P
r
F
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e
 A parábola é o
lugar geométrico
dos pontos do
plano que
equidistam de um
ponto fixo F
chamado foco, e
de uma reta fixa d
chamada diretriz.
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Cônicas como Lugares Geométricos

 A elipse é o lugar
geométrico dos
pontos do plano
tais que é
constante a soma
das distâncias
destes pontos a
dois pontos fixos,
denominados
focos.
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Cônicas como Lugares Geométricos

 A hipérbole é o
lugar geométrico
dos pontos do
plano tais que é
constante o valor
absoluto da
diferença das
distâncias destes
pontos a dois
pontos fixos,
denominados
focos.
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Cônicas

 O estudo das seções cônicas e das suas propriedades
geométricas começou na Grécia, como parte da busca
pela solução do problema da duplicação do cubo,
após a redução deste por Hipócrates de Quio (c. 440
a. C.) à construção de duas proporcionais médias
entre dois segmentos de reta.
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Cônicas

 As contribuições de Euclides sobre as cônicas
perderam-se. Existem, porém, referências a quatro
livros de uma obra euclidiana sobre as cônicas, da
qual parte do conteúdo pode ser aferido de
referências em trabalhos posteriores, principalmente
os de Arquimedes e Pappus.
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As Cônicas de Apolônio
século III a.C.

 Apolônio de Perga traz um apanhado dos resultados
sobre cônicas obtidos por seus antecessores.
 Foi o primeiro a conceber as cônicas como
interseções de uma mesma superfície cônica circular.
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Estudo das curvas no século XVII

O principal objeto de estudo no século XVII era o
desenvolvimento de métodos para resolver problemas
sobre curvas geométricas, muitas vezes de origem
física:
 Encontrar a tangente,
 Calcular a área sob uma curva,
 Achar comprimentos de curvas,
 Calcular velocidades de pontos se movendo sobre
uma curva.
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René Descartes (1596-1650)

 O pensamento deve se dedicar a compreender
somente as coisas que são passíveis de quantificação.
 Defende o uso da razão para o desenvolvimento das
novas ciências.
 Deduções lógicas devem ser substituídas por
relações entre coisas quantificáveis, traduzidas por
equações.
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Algumas contribuições de Descartes

 Redefiniu os procedimentos empregados em
geometria, admitindo técnicas algébricas ao invés de
somente construções.
 Influenciou os estudos de áreas e tangentes
associadas
às
curvas,
incentivando
o
desenvolvimento dos métodos infinitesimais.
 Propôs um método que permitia reduzir a resolução
de problemas geométricos à resolução de um ou
mais equações.
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O sistema cartesiano

sistema de
 Introduziu um
coordenadas
representar equações indeterminadas.
para
Equação determinada: possui uma incógnita
a quantidade desconhecida assume um valor dado, quando
resolvemos a equação, é apenas provisoriamente desconhecida.
Equação indeterminada: possui duas ou mais incógnitas
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há uma infinidade de valores que variam de acordo com os valores
de outra quantidade.
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Obra de Descartes
Discurso do
Método (1637)
• Comprovado
pelas
aplicações.
• Superioridade
demonstrada
pela geometria.
• Apêndices.
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
A Geometria
• Tratamento
algébrico de
problemas
geométricos.
• As relações
algébricas
permitem
apreender as
proporções
envolvidas nos
objetos
geométricos.
Dióptrica
• Tratado de
Ótica: refração
da luz e
construção de
instrumentos.
• Influenciado
pelos estudos
do padre
Mersenne.
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O método cartesiano

 Utiliza o método analítico proposto por Viète.
“Se queremos resolver um problema, primeiramente
supomos que a solução já está encontrada, e damos
nomes a todas as linhas [...] mostrando as relações entre
estas linhas, até que seja possível expressar uma única
quantidade de dois modos. A isto chamamos equação,
uma vez que os termos de uma destas duas expressões
são iguais aos termos da outra.”
(Descartes, A geometria.)
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Estudo das curvas e o nascimento da
Geometria Analítica

 Não se limita ao estudo de curvas particulares;
 Estudo de curvas que descrevem movimentos;
 Curvas podem ser expressas por equações algébricas;
 A geometria se transforma por meio dos objetos que
se propunha investigar.
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Referências

 BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. Trad. ELZA F.
GOMIDE. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.
 EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas:
Unicamp, 2004.
 NETO, S. L. A semente cartesiana da geometria analítica.
Revista do Professor de Matemática, v. 74, pp. 46-50, 2011.
 ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da
matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
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