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CÁLCULO NUMÉRICO
Aula 5 – Sistema de Equações lineares
CÁLCULO NUMÉRICO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
 Métodos diretos e iterativos para a
resolução de sistemas lineares:
 Método de Gauss Jordan;
 Método da Gauss Jacobi.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
• Um dos métodos utilizados na resolução de sistemas
lineares é o de Gauss-Jordan;
• Consiste em gerar uma matriz diagonal (elementos que não
pertencem à diagonal principal, iguais a zero);
• Operações elementares serão efetuadas com as linhas /
colunas;
• Não é iterativo e sim um método direto pois conduz à
solução exata a menos de erros de arredondamento,
introduzidos pela máquina, após um número finito de passos.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES
 x yz 7

2 x  3 y  z  4
3x  y  2 z  9

1x  0. y  0.z  1

0.x  1y  0.z  2
0.x  0. y  1z  4

1 1 1 7
 2 3  1 4


3  1 2 9
1 0 0 1
0 1 0 2


0 0 1 4
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• A primeira linha deve manter apenas o “x”, a segunda linha
apenas o “y” e a terceira linha apenas o “z”;
• Para eliminarmos o “2x” da segunda linha podemos
multiplicar a primeira linha por (-2):
 x yz 7

2 x  3 y  z  4
 2 x  2 y  2 z  14
 

 2 x  3 y  z  4
0.x  y  3z  10
Nova segunda linha
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• Para eliminarmos o “3x” da terceira linha podemos
multiplicar a primeira linha por (-3):
 x y z 7

3x  y  2 z  9
 3x  3 y  3z  21
 

 3x  y  2 z  9
0.x  4 y  z  12
0.x  4 y  z  12
Nova terceira linha
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCALONAMENTO
• Sistema com as modificações:
x  y  z  7

0.x  y  3z  10
 0.x  4 y  z  12

• Com operações semelhantes eliminamos:
 “y” e “z” da primeira linha;
 “z” da segunda linha;
 “y” da terceira linha.
REPOSTA:
1x  0. y  0.z  1

0.x  1y  0.z  2
0.x  0. y  1z  4

x =1 , y = 2 e z = 4
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
• Considere um sistema linear com “n” equações e “n”
incógnitas;
• Método iterativo que consiste em uma solução inicial (x(0),
y(0), z(0)...) que será substituída na expressão de recorrência
e testada segundo um critério de parada;
• Fórmula de recorrência:
( k 1)
1
x

b1  (a12 .x
(k )
2
 a13.x
a11
(k )
3
 ...  a1n .x
(k )
n
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
MÉTODO DE GAUSS - JACOBI
• Critério de parada:
 O número de iterações;
 Erro relativo
M ( k 1) 
max 1in xi( k 1)  xi( k )
( k 1)
i
max 1in x

• Teste de convergência do método: se o sistema linear
satisfaz o critério das linhas então o método de Gauss-Jacobi
converge.
a
ak 
j 1
jk
kj
  max 1k n ak  1
akk
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1
• Avalie a convergência do método de Gauss-Jacobi para o
sistema linear abaixo
 10 x1  2 x2  x3  7

 x1  5 x2  x3  8
2 x  3x  10 x  6
2
3
 1
2 1
a1 
 0,3
10
11
a2 
 0,4
5
23
a3 
 0,5
10
• Como amáximo = 0,5 < 1, há convergência.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
Início (ALGORITMO CONVERGÊNCIA)
max
0
Para i = 1 até n faça
Soma
0
Para j = 1 até n faça
Se i  j
Soma
Soma + aij 
Fim se
Fim para
Soma
Soma /aii 
Se max < soma
max
Soma
Fim para
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
(ALGORITMO GAUSS JACOBI)
Início
convergência
cont  0
Repetir
cont  cont + 1;
num 0;
den 0
Para i = 1 até n faça
yi  0
Para j = 1 até n faça
Se i  j então
yi  yi + aij * yj
Fim para
yi  (bi - yj )/aij
Se num <  yi - xi  então
num   yi - xi 
Se den <  yi então
den   yi
Fim Para
xy
Até (num/den < e )
Fim-Se
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
• Resolva o sistema linear pelo método de Gauss-Jacobi com
precisão de 0,01.
 x  8 y  z  16
6 x   y  z  7


 6 x  y  z  7   x  8 y  z  16
 x  y  5 z  18
 x  y  5 z  18


• Convergência:
8 1
a1 
9
1
• Convergência após mudança de linhas:
11
a1 
 0,33
6
11
a2 
 0,25
8
11
a3 
 0,40
5
• Como amáximo = 0,40 < 1, há convergência.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
7 yz
;
• Fórmulas de recorrência:x 
6
16  x  z
18  x  y
y
; z
8
5
• Valores iniciais: x(0) = 0; y(0) = 0; z(0) = 0;
• Iterações:
 Primeira:
700
x 
 1,1667
6
16  0  0
(1)
y 
 2,0000
8
18  0  0
(1)
z 
 3,6000
5
(1)
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
 Segunda:
7  2  3,6
 0,9
6
16  1,1667  3,6
y ( 2) 
 2,3042
8
18  1,1667  2
( 2)
z 
 2,9667
5
x ( 2) 
7  2,3042  2,96667
 1,0562
6
16  0,9  2,9667
y ( 3) 
 2,2583
8
18  0,9  2,3042
z ( 3) 
 2,9592
5
 Terceira: x (3) 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.2
 Quarta:
 Quinta:
7  2,2583  2,9592
 1,0498
6
16  1,0562  2,9592
y ( 4) 
 2,2379
8
18  1,0562  2,2583
( 4)
z 
 2,9371
5
x ( 4) 
7  2,2379  2,9371
x 
 1,0501
6
16  1,0498  2,9371
y ( 5) 
 2,2359
8
18  1,0498  2,2379
z ( 5) 
 2,9425
5
(5)
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
CÁLCULO NUMÉRICO
RESUMINDO
Nesta aula vocês estudaram:
 A resolução de sistemas lineares:
 Método direto;
 Método Iterativo.
 Algoritmo do método de Gauss-Jacobi.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES