Física I - Moodle@FCT

Física I
2009/2010
/
Aula 10
Movimento Oscilatório I
Sumário
Capítulo 15: Oscilações
15-1 Movimento Harmónico Simples
p
15-2 A Lei da Força no Movimento Harmónico Simples
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2
Movimentos Periódicos
Um movimento é periódico se todas as suas
características se repetem
p
em intervalos de tempo
p
iguais
Ao intervalo de tempo mínimo em que as
características
t í ti
do
d movimento
i
t se repetem,
t
dá-se
dá
o
nome de período
Um tipo especial de movimento periódico ocorre
quando a força que actua num corpo é proporcional
à distância do corpo a uma posição de equilíbrio
Se a força está sempre dirigida para a posição de
equilíbrio, o movimento é harmónico simples
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Movimento de um Sistema de uma Massa Ligada a uma Mola
Um bloco de massa m está
ligado a uma mola
mola, o bloco
move-se livremente sobre uma
superfície horizontal sem atrito
Quando a mola não está
comprimida nem esticada, o
bloco está na posição de
equilíbrio
ilíb i
x=0
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Lei de Hooke
Lei de Hooke:
Fs = - kx
k
Fs é a força restauradora
Aponta sempre para a posição de equilíbrio
Portanto, tem sinal oposto ao do deslocamento a partir do
equilíbrio
k é a constante da mola
x é o deslocamento
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Força Restauradora
O bloco é deslocado para
a direita
di it d
de x = 0
A coordenada de posição é
positiva
iti
A força restauradora
aponta
p
p
para a esquerda
q
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Força Restauradora
O bloco está na posição
de equilíbrio
x=0
A mola não está
comprimida
i id nem esticada
ti d
A força é nula
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Força Restauradora
O bloco é deslocado para
a esquerda
d d
de x = 0
A coordenada de posição é
negativa
ti
A força restauradora
aponta
p
p
para a direita
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Aceleração
A força dada pela lei de Hooke é a força resultante
na 2.ª
2. Lei de Newton
FHooke = FNewton
−kx = ma x
k
ax = − x
m
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Aceleração
k
ax = − x
m
A aceleração é proporcional ao deslocamento do
bloco
bl
O sentido da aceleração é oposto ao do
deslocamento, a partir do equilíbrio
p se move com movimento harmónico
Se um corpo
simples, a sua aceleração é proporcional à posição
e aponta
p
no sentido oposto
p
ao do deslocamento a
partir da posição de equilíbrio
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Aceleração
k
ax = − x
m
A aceleração
ç não é constante
ƒ Não podemos, portanto, aplicar as equação da
cinemática do movimento uniformemente acelerado
ƒ Se o bloco é largado da posição x = A, então a sua
aceleração inicial é –kA/m
ƒ Quando o bloco passa na posição de equilíbrio, a sua
aceleração é a = 0
ƒ O bloco continua a mover-se até x = -A, onde a sua
aceleração é +kA/m
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Movimento do Bloco
O bloco vai oscilar entre x = –A e x = +A
E t são
Estes
ã os pontos
t de
d retorno
t
d movimento
do
i
t
A força é conservativa
Na ausência de atrito, o movimento continuará
i d fi id
indefinidamente
t
Nos sistemas
N
i t
reais
i existe
i t geralmente
l
t atrito,
t it pelo
l que
não irão oscilar indefinidamente
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Mola Vertical
Quando o bloco está pendurada numa mola
vertical, o seu peso fará que a mola se distenda
Se a posição de repo
repouso
so da mola for definida como
x = 0, podemos aplicar a mesma análise da mola
horizontal
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Movimento Harmónico Simples (MHS) –
Representação Matemática
Consideramos o bloco como sendo uma partícula
Escolhemos
E
lh
o eixo
i d
dos x para a direcção
di
ã em que
ocorre a aceleração
Aceleração
d 2x
k
a= 2 =− x
dt
m
Chamamos
k
ω =
m
Então
a = −ω 2 x
2
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Movimento Harmónico Simples (MHS) –
Representação Matemática
Necessitamos de uma função que seja solução
da equação
d 2x
2
x
=
−
ω
2
dt
A função x(t) deve ter 2.ª derivada igual à função
original com sinal negativo e multiplicada por ω2
Só as funções seno e coseno satisfazem estas
condições
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Movimento Harmónico Simples (MHS) –
Representação Matemática
A solução mais geral é
x ( t ) = a cos (ωt ) + b sin (ωt )
Pode ser escrita na forma
x ( t ) = A cos (ωt + φ )
A, ω, φ são constantes
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Movimento Harmónico Simples (MHS) –
Representação Matemática
A é a amplitude do movimento
É o valor máximo da posição (elongação) da partícula
partícula,
no sentido positivo ou negativo
ω é a frequência angular
A unidade SI é rad s-11
φ é a constante de fase ou o ângulo de fase inicial
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Movimento Harmónico Simples (MHS) –
Representação Matemática
A e φ são determinados apenas pela posição
e velocidade
l id d d
da partícula
tí l para t = 0
Se a partícula se encontra em x = A para t = 0,
então φ = 0
A fase do movimento é (ωt + φ)
x (t) é periódica e o seu valor é o mesmo
sempre que ωt aumenta de 2π radianos
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Método experimental para demonstrar o MHS
A caneta, ligada ao
corpo que oscila,
il ttraça
uma sinusóide no
papell que está
tá a
mover-se
Movimento
do papel
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Método experimental para demonstrar o MHS
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Método experimental para demonstrar o MHS
Movimento
do papel
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Período
O período,
í d T,
T é o iintervalo
t
l d
de ttempo necessário
á i para a
partícula efectuar um ciclo do seu movimento
Os valores de x,
x v e a
a, da partícula no instante t são iguais aos
valores de x, v e a, nos instantes t + nT, em que n é um número
inteiro
T=
2π
ω
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Frequência
O inverso do período é a frequência
A frequência é o número de oscilações que a
partícula efectua p
p
por unidade de tempo
p
1 ω
ƒ= =
T 2π
A unidade SI é hertz (Hz) = 1 ciclo por segundo
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Sumário – Período e Frequência
A frequência angular pode ser escrita em termos da
frequência e do período
O período e a frequência podem ainda ser escritos na forma:
2π
ω = 2π ƒ =
T
m
T = 2π
k
1
ƒ=
2π
k
m
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Período e Frequência
m
T = 2π
k
1
ƒ=
2π
k
m
A frequência e o período dependem apenas da
massa da partícula e da constante de força da mola
p
dos p
parâmetros do movimento
Não dependem
(tempo, posição)
A frequência é maior para uma mola mais dura
(valor elevado de k) e diminui quando aumenta a
massa da partícula
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Equações do Movimento MHS
Recordemos que o movimento harmónico simples
não é movimento uniformemente acelerado
x (t ) = A cos (ω t + φ )
dx
d
v=
= −ω A sin (ω t + φ )
dt
2
d x
2
a = 2 = −ω A cos (ω t + φ )
dt
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Valores Máximos of v e a
Como as funções seno e coseno oscilam entre ±1,
podemos facilmente obter os valores máximos da
velocidade e aceleração de um objecto com MHS
k
vmax = ω A =
A
m
k
2
amax = ω A = A
m
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Representação
Gráfica
Os gráficos mostram:
(a) o des
deslocamento
oca e to e
em
função do tempo
(b) a velocidade em função
do tempo
(c ) a aceleração em
função do tempo
A velocidade está
desfasada de 90o em
ç ao deslocamento e
relação
a aceleração está desfasada
de 180o em relação ao
deslocamento
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MHS Exemplo 1
As condições iniciais
para t = 0 são
x (0)= A
v (0) = 0
Significa φ = 0
Os extremos da
aceleração
l
ã são
ã ± ω2A
Os extremos da
velocidade são ± ωA
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MHS Exemplo 2
As condições para t = 0 são
x (0)=0
(0) 0
v (0) = vi
Significa φ = − π/2
O gráfico está desviado para
a direita de um quarto de
ciclo em relação ao gráfico
de x (0) = A
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