Física I - Moodle@FCT
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Física I 2009/2010 / Aula 10 Movimento Oscilatório I Sumário Capítulo 15: Oscilações 15-1 Movimento Harmónico Simples p 15-2 A Lei da Força no Movimento Harmónico Simples Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 2 Movimentos Periódicos Um movimento é periódico se todas as suas características se repetem p em intervalos de tempo p iguais Ao intervalo de tempo mínimo em que as características t í ti do d movimento i t se repetem, t dá-se dá o nome de período Um tipo especial de movimento periódico ocorre quando a força que actua num corpo é proporcional à distância do corpo a uma posição de equilíbrio Se a força está sempre dirigida para a posição de equilíbrio, o movimento é harmónico simples Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 3 Movimento de um Sistema de uma Massa Ligada a uma Mola Um bloco de massa m está ligado a uma mola mola, o bloco move-se livremente sobre uma superfície horizontal sem atrito Quando a mola não está comprimida nem esticada, o bloco está na posição de equilíbrio ilíb i x=0 Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 4 Lei de Hooke Lei de Hooke: Fs = - kx k Fs é a força restauradora Aponta sempre para a posição de equilíbrio Portanto, tem sinal oposto ao do deslocamento a partir do equilíbrio k é a constante da mola x é o deslocamento Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 5 Força Restauradora O bloco é deslocado para a direita di it d de x = 0 A coordenada de posição é positiva iti A força restauradora aponta p p para a esquerda q Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 6 Força Restauradora O bloco está na posição de equilíbrio x=0 A mola não está comprimida i id nem esticada ti d A força é nula Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 7 Força Restauradora O bloco é deslocado para a esquerda d d de x = 0 A coordenada de posição é negativa ti A força restauradora aponta p p para a direita Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 8 Aceleração A força dada pela lei de Hooke é a força resultante na 2.ª 2. Lei de Newton FHooke = FNewton −kx = ma x k ax = − x m Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 9 Aceleração k ax = − x m A aceleração é proporcional ao deslocamento do bloco bl O sentido da aceleração é oposto ao do deslocamento, a partir do equilíbrio p se move com movimento harmónico Se um corpo simples, a sua aceleração é proporcional à posição e aponta p no sentido oposto p ao do deslocamento a partir da posição de equilíbrio Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 10 Aceleração k ax = − x m A aceleração ç não é constante Não podemos, portanto, aplicar as equação da cinemática do movimento uniformemente acelerado Se o bloco é largado da posição x = A, então a sua aceleração inicial é –kA/m Quando o bloco passa na posição de equilíbrio, a sua aceleração é a = 0 O bloco continua a mover-se até x = -A, onde a sua aceleração é +kA/m Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 11 Movimento do Bloco O bloco vai oscilar entre x = –A e x = +A E t são Estes ã os pontos t de d retorno t d movimento do i t A força é conservativa Na ausência de atrito, o movimento continuará i d fi id indefinidamente t Nos sistemas N i t reais i existe i t geralmente l t atrito, t it pelo l que não irão oscilar indefinidamente Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 12 Mola Vertical Quando o bloco está pendurada numa mola vertical, o seu peso fará que a mola se distenda Se a posição de repo repouso so da mola for definida como x = 0, podemos aplicar a mesma análise da mola horizontal Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 13 Movimento Harmónico Simples (MHS) – Representação Matemática Consideramos o bloco como sendo uma partícula Escolhemos E lh o eixo i d dos x para a direcção di ã em que ocorre a aceleração Aceleração d 2x k a= 2 =− x dt m Chamamos k ω = m Então a = −ω 2 x 2 Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 14 Movimento Harmónico Simples (MHS) – Representação Matemática Necessitamos de uma função que seja solução da equação d 2x 2 x = − ω 2 dt A função x(t) deve ter 2.ª derivada igual à função original com sinal negativo e multiplicada por ω2 Só as funções seno e coseno satisfazem estas condições Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 15 Movimento Harmónico Simples (MHS) – Representação Matemática A solução mais geral é x ( t ) = a cos (ωt ) + b sin (ωt ) Pode ser escrita na forma x ( t ) = A cos (ωt + φ ) A, ω, φ são constantes Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 16 Movimento Harmónico Simples (MHS) – Representação Matemática A é a amplitude do movimento É o valor máximo da posição (elongação) da partícula partícula, no sentido positivo ou negativo ω é a frequência angular A unidade SI é rad s-11 φ é a constante de fase ou o ângulo de fase inicial Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 17 Movimento Harmónico Simples (MHS) – Representação Matemática A e φ são determinados apenas pela posição e velocidade l id d d da partícula tí l para t = 0 Se a partícula se encontra em x = A para t = 0, então φ = 0 A fase do movimento é (ωt + φ) x (t) é periódica e o seu valor é o mesmo sempre que ωt aumenta de 2π radianos Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 18 Método experimental para demonstrar o MHS A caneta, ligada ao corpo que oscila, il ttraça uma sinusóide no papell que está tá a mover-se Movimento do papel Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 19 Método experimental para demonstrar o MHS Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 20 Método experimental para demonstrar o MHS Movimento do papel Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 21 Período O período, í d T, T é o iintervalo t l d de ttempo necessário á i para a partícula efectuar um ciclo do seu movimento Os valores de x, x v e a a, da partícula no instante t são iguais aos valores de x, v e a, nos instantes t + nT, em que n é um número inteiro T= 2π ω Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 22 Frequência O inverso do período é a frequência A frequência é o número de oscilações que a partícula efectua p p por unidade de tempo p 1 ω ƒ= = T 2π A unidade SI é hertz (Hz) = 1 ciclo por segundo Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 23 Sumário – Período e Frequência A frequência angular pode ser escrita em termos da frequência e do período O período e a frequência podem ainda ser escritos na forma: 2π ω = 2π ƒ = T m T = 2π k 1 ƒ= 2π k m Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 24 Período e Frequência m T = 2π k 1 ƒ= 2π k m A frequência e o período dependem apenas da massa da partícula e da constante de força da mola p dos p parâmetros do movimento Não dependem (tempo, posição) A frequência é maior para uma mola mais dura (valor elevado de k) e diminui quando aumenta a massa da partícula Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 25 Equações do Movimento MHS Recordemos que o movimento harmónico simples não é movimento uniformemente acelerado x (t ) = A cos (ω t + φ ) dx d v= = −ω A sin (ω t + φ ) dt 2 d x 2 a = 2 = −ω A cos (ω t + φ ) dt Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 26 Valores Máximos of v e a Como as funções seno e coseno oscilam entre ±1, podemos facilmente obter os valores máximos da velocidade e aceleração de um objecto com MHS k vmax = ω A = A m k 2 amax = ω A = A m Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 27 Representação Gráfica Os gráficos mostram: (a) o des deslocamento oca e to e em função do tempo (b) a velocidade em função do tempo (c ) a aceleração em função do tempo A velocidade está desfasada de 90o em ç ao deslocamento e relação a aceleração está desfasada de 180o em relação ao deslocamento Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 28 MHS Exemplo 1 As condições iniciais para t = 0 são x (0)= A v (0) = 0 Significa φ = 0 Os extremos da aceleração l ã são ã ± ω2A Os extremos da velocidade são ± ωA Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 29 MHS Exemplo 2 As condições para t = 0 são x (0)=0 (0) 0 v (0) = vi Significa φ = − π/2 O gráfico está desviado para a direita de um quarto de ciclo em relação ao gráfico de x (0) = A Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 10 30
