( 0 )+ - Antonio Lopo Martinez
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Opções - Avaliação Prof. Antonio Lopo Martinez Valores das Opções • Valor intrínseco - ganho que pode ser realizado se a opção for exercida imediatamente: – Call: preço do ativo - preço de exercício • S0 - X – Put: preço de exercício - preço do ativo • Valor do Tempo: diferença entre o preço da opção e o seu valor intrínseco. Valores das Opções • a) b) • • Valor da Opção de Compra: Preço da ação aumenta Preço da ação cai Preço aumenta substancialmente mais provável exercício da opção. Desembolso de X no futuro e PV(X) hoje • Dessa forma, valor = S0 – PV(X) Determinantes de Valores de Opções de Compra Se Variável Aumentar Preço da Ação S Preço de exercício X Valor da Call Aumenta Diminui Volatilidade Aumenta Prazo ate vencimento T Aumenta Taxa de juros Aumenta Pagamento de dividendos Diminui Valores das Opções: Call Valor da Opção Valor da Call Valor Intrínseco Valor do Tempo X Preço da ação Modelo (árvore) Binomial Valor a + b c d V e Tempo 0 f - g a Valor b + c d e f V g Tempo 0 - Valor a + b c d V e Tempo 0 f - g Valor a + b c d V e Tempo 0 f - g Modelo Binomial • f = preço da opção • S = preço da ação • Su = preço futuro acima de S, retorno da opção será fu • Sd = preço futuro abaixo de S, retorno da opção será fd Modelo Binomial • Não envolve as probabilidades de o preço da ação subir ou cair. • Não se está avaliando a opção em termos absolutos. Estamos calculando em termos do preço da ação objeto. • Probabilidades de oscilações ascendentes ou descendentes futuras já estão incorporadas no preço da ação. Modelo Binomial ... Su fu S f Sd fd f = e-rT [pfu + (1 - p) fd ] onde: p = erT - d u-d Carteira Sem Risco : Su fu Sd fd Retorno da Carteira: Taxa Livre de Riscos Modelo Binomial ... • Variável p = probabilidade de uma oscilação ascendente no preço da ação • Variável 1-p = probabilidade de uma oscilação descendente • pfu + (1 - p) fd = retorno esperado da opção • Dessa forma, valor atual da opção é seu valor futuro esperado, descontado à taxa livre de risco. Modelo Binomial ... • Delta fu fd Su Sd • É a razão de mudança no preço da opção da ação em relação à mudança no preço da ação objeto. • É a quantidade de ações que devemos ter para cada opção vendida. Exemplo • O preço atual da ação é $20 • Em 3 meses (0.25 anos) o preço será $22 ou $18 • Preço de exercício de uma Call é $21 • Call do tipo européia Preço da Ação=$22 (aumento de 10%) Preço da Ação=$20 Preço da Ação=$18 (redução de 10%) Exemplo Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Su Sd fu fd Carteira Sem Risco : Su fu Sd fd Sd = 18 ƒd = 0 1-0 22-18 = 0,25 22 x 0,25 – 1 = 18 x 0,25 – 0 4,5 = 4,5 Modelo Binomial ... Su fu S f Sd fd Carteira Sem Risco : Su fu Sd fd Retorno da Carteira: Taxa Livre de Riscos Su fu S f 1 r T T T f 1 r S1 r Su fu fu fd Su Sd f 1 r T fu fd fu fd T 1 r Su S fu Su Sd Su Sd Modelo Binomial ... fu fd fu fd T 1 r u fu ud ud T T T f 1 r u d fu1 r fd 1 r ufu ufd fuu d T f 1 r u u d u 1 r fd f 1 r u d fu 1 r u u d fd u 1 r T T T 1 1 r f fu T u d 1 r T T u d Modelo Binomial T T u 1 r 1 1 r u u d fd fu f T u d u d 1 r T T u 1 r 1 1 r d fd fu f T u d u d 1 r 1 fu. p fd.1 p f T 1 r T 1 r d p u d T T 1 r d u d 1 r d 1 p 1 u d u d u 1 r u d T Modelo Binomial • O preço atual da ação é $20 • Em 3 meses (0.25 anos) o preço será $22 ou $18 • Preço de exercício de uma Call é $21 • Call do tipo européia Preço da Ação=$22 (aumento de 10%) Preço da Ação=$20 Preço da Ação=$18 (redução de 10%) Exemplo Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0 • Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a. • Obtemos p da seguinte forma: rT 0.120.25 e d e 0. 9 p 0. 6523 u d 1.1 0. 9 Calculando o Valor da Call Su = 22 ƒu = 1 S ƒ Sd = 18 ƒd = 0 O Valor da opção é: e–0.120.25 [0.65231 + 0.34770] = 0.633 Valor de uma Call • O preço atual da ação é $50 • Em 2 meses (0.166667 anos) o preço será $53 ou $48 • Preço de exercício de uma Call é $49 • Call do tipo européia • Taxa livre de risco = 10% Exemplo Su = 53 ƒu = 4 S ƒ Sd = 48 ƒd = 0 • Considerando taxa de juros livre de risco = 10% a.a. • Obtemos p da seguinte forma: p = erT - d u-d e 0,10x0,166667 - 0,96 = 0,5681 1,06 - 0,96 Calculando o Valor da Call Su = 53 ƒu = 4 S ƒ Sd = 48 ƒd = 0 O Valor da opção é: e–0.100.16667 [0.56814 + 0.43190] = 2,23 Considerando 2 períodos de Tempo 24.2 22 19.8 20 18 16.2 • Cada período é de 3 meses Calculando o Valor da Call D 22 20 1.2823 A B 2.0257 18 24.2 3.2 E 19.8 0.0 C 0.0 F 16.2 0.0 • Valor no ponto B = e–0.120.25(0.65233.2 + 0.34770) = 2.0257 • Valor no ponto A = e–0.120.25(0.65232.0257 + 0.34770) = 1.2823 Exemplo de uma Put • O preço atual da ação é $50 • Em 1 ano o preço será $60 ou $40 • Preço de exercício da Put é $52 Preço da Ação=$60 (aumento de 20%) Preço da Ação=$50 Preço da Ação=$40 (redução de 20%) Exemplo Su = 60 ƒu = 0 S ƒ Sd = 40 ƒd = 12 • Considerando taxa de juros livre de risco = 5% a.a. • Obtemos p da seguinte forma: e rT d e0.051 0.8 p 0.6282 ud 1.2 0.8 Calculando o Valor da Put Su = 60 ƒu = 0 S ƒ Sd = 40 ƒd = 12 O Valor da opção é: e–0.05x1 [0.6282x0 + 0.3718x12] = 4,24 Exemplo de uma Put • Preço de exercício da Put é $52 D 60 50 4.1923 A B 1.4147 40 72 0 48 4 E C 9.4636 F 32 20 Exercícios 1) S0 = $50 ST = $60 ou $42 i = 12% X = $48 n = 6 meses Qual valor da Call? 2) S0 = $80 ST = $75 ou $85 i = 5% X = $80 n = 4 meses Qual valor da Put? Exercícios 3) S0 = $40 ST = $45 ou $35 i = 8% X = $40 n = 3 meses Qual valor da Put? 4) S0 = $50 ST = + 6% ou – 5% i = 5% X = $51 n = dois próximos periodos de 3 meses Qual valor da Call? Exercício 1 Su = 60 ƒu = 12 S ƒ Sd = 42 ƒd = 0 • Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a. • Obtemos p da seguinte forma: p = erT - d u-d e 0,12x0,5 - 0,84 1,2 - 0,84 = 0,6161 Calculando o Valor da Call Su = 60 ƒu = 12 S ƒ Sd = 42 ƒd = 0 O Valor da opção é: e–0.12 x 0.5 [0.6161 x 12 + 0.3839 x 0] = 6,96 Exercício 2 Su = 85 ƒu = 0 S ƒ Sd = 75 ƒd = 5 • Considerando taxa de juros livre de risco = 5% a.a. • Obtemos p da seguinte forma: e rT d e0.050,333 0.9375 p 0.6345 ud 1.0625 0.9375 Calculando o Valor da Put Su = 85 ƒu = 0 S ƒ Sd = 75 ƒd = 5 O Valor da opção é: e–0.05x0,333 [0.6345x0 + 0.3655x5] = 1,80 Exercício 3 Su = 45 ƒu = 0 S ƒ Sd = 35 ƒd = 5 • Considerando taxa de juros livre de risco = 12% a.a. • Obtemos p da seguinte forma: e rT d e0.080, 25 0.875 p 0.5808 ud 1.125 0.875 Calculando o Valor da Put Su = 85 ƒu = 0 S ƒ Sd = 75 ƒd = 5 O Valor da opção é: e–0.08 x 0,25 [0.5808x0 + 0.4192 x5] = 2,06 Exercício 4 56,18 53 50,35 50 47,5 45,125 • Cada período é de 3 meses p = erT - d u-d e 0,25x0,05 - 0,95 1,06 - 0,95 = 0,5689 Calculando o Valor da Call 53 50 A 56,18 D 5,18 B 2,91 E 47,5 50,35 0.0 C 0.0 F 45,125 0.0 • Valor no ponto B = e–0.25 x 005(0.5689x5,18 + 0.4311x0) = 2,91 • Valor no ponto A = e–0.25 x 005(0.56892,91 + 0.43110) = 1,635 Black-Scholes ... • Valor intrínseco de uma call = S0 – PV(X) Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2) d1 = [ln(So/X) + (r + 2/2)T] (T1/2) d2 = d1 - (T1/2) Black-Scholes ... onde Co = valor (prêmio) da opção de compra So = preço atual do ativo-objeto N(d) = probabilidade que um elemento retirado aleatoriamente de uma distribuição normal seja inferior a d. Podemos pensar que N(d) = probabilidades ajustadas pelo risco de que a opção de compra irá vencer “in the money” 0 < N(d) <1,0 Black-Scholes ... N(d) -> quanto mais próximo de 1,0, maior a probabilidade da opção ser exercida e, consequentemente, maior seu valor. N(d) -> quanto mais próximo de 0, menor a probabilidade da opção ser exercida e, consequentemente, menor seu valor. Black-Scholes X = preço de exercício e = 2.71828, a base do logaritmo natural r = taxa de juros livre de risco (anualizada e composta continuamente) T = prazo de vencimento da opção em anos ln = função logaritmo natural desvio padrão anualizado da taxa de retorno do ativo-objeto Calculando N(d) 1 Z ( x)(a1k a2 k a3k ) se x 0 N ( x) 1 N ( x) se x0 2 3 x2 1 1 2 k Z ( x) e 1 .x 2 a1 0,4361836 a2 0,1201676 a3 0,9372980 0,33267 Exemplo de uma Call So = R$100 X = R$95 r = 0,10 T = 0,25 (trimestre) = 0,50 d1 = [ln(100/95)+(0.10+(052/2)).0.25]/(05 .251/2) = 0.43 d2 = 0.43 - ((5.251/2) = 0.18 N (0.43)* = 0.666; e N (0.18)* = 0.571 *Tabela de distribuição normal cumulativa Valor da Call Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2) Co = 100 X .666 - 95 e- (.10 x .25) X .571 Co = 13.70 Exemplo 2 So = R$52 X = R$50 r = 12% T = 0,25 (trimestre) = 0,30 Exemplo 2 d1 = [ln(52/50)+(0.12+(032/2)).0.25] (0,3 x .251/2) = 0.5365 d2 = 0.5365 - ((03.251/2) = 0.3865 N (0.5365) = 0,7042; e N (0.3865) = 0,6504 Valor da Call Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2) Co = 52 X 0,7042 - 50 e- (.12 x .25) X 0,6504 Co = 5,06 Opções - Paridade Put-Call (sem dividendos) • Investidor: – compra opção de compra – lança opção de venda – Ambas com mesmo X e T • No vencimento podem ocorrer: Pagamento call comprada Pagamento put lançada Total ST < X 0 -(ST – X) ST - X ST > X ST - X 0 ST – X Opções - Paridade Put-Call (sem dividendos) • Considere as duas carteiras seguintes: – Carteira A: uma call européia + valor presente do preço de exercício em dinheiro – Carteira B: uma put européia + o ativoobjeto • Ambas valem Máximo(ST , X ) no vencimento das opções. Logo elas devem possuir o mesmo valor hoje: C - P = S0 - X(1+rf)T • Desigualdade = Oportunidade de arbitragem Opções - Paridade Put-Call (sem dividendos) Carteira 1 Carteira 2 Preço do ativo objeto na data de vencimento P + S0 C + Xe -rT ST < X (X-ST)+ST =X ( 0 )+X =X ST > X ( 0 )+ST = ST (ST -X)+X = ST Oportunidade de Arbitragem • • • • • Preço da Ação: $110 Preço da Opção de Compra (n=6, X = $105) $ 17 Preço da Opção de Venda (n=6, X = $105) $ 5 Taxa anual de juros livre de risco (efetiva)10,25% Juros no período (6 meses) 5% C - P = S0 - X(1+rf)T 17 - 5 = 110 - 105/1,05 12 10 Opções - Paridade Put-Call Arbitragem (1) 12 10 Compre a de menor preço e venda a de maior ! •Compra ações por $110 •Tomar emprestado X (1+rf)T = $100 •Compre P por $5 • Venda C por $17 • Lucro imediato de $2 Qual o valor desta operação na data de vencimento? Opções - Paridade Put-Call Arbitragem (1) Posição Fluxo em 6 meses Imediato ST < X ST > X Comprar ações - 110 ST ST Tomar emprestado + 100 -105 -105 Vender call + 17 0 -(ST –105) -5 105 - ST 0 2 0 0 Comprar put Total Usando a Paridade Put-Call para Obter o Valor da Put P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So Exemplo (continuação): C = 13.70 X = 95 S = 100 r = .10 T = .25 P = 13.70 + 95 e -(.10 x .25) - 100 P = 6.35 Fatores que influenciam o valor das Opções: Call Fator Efeito no Valor Preço do ativo aumenta Preço de exercício diminui Volatilidade do ativo aumenta Prazo de vencimento aumenta Taxa de juros livre de riscoaumenta Taxa de dividendos pagos diminui Valor da Opção x Taxa de Juros 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 0.0% 5.0% Parâmetros (volatiliade) T (em anos) X So 0.25 4 100 100 10.0% Call 15.0% Put 20.0% 25.0% Valor da Opção x Prazo de Vencimento 25.00 20.00 15.00 10.00 5.00 0.00 0 0.5 Parâmetros (volatiliade) r (anual) X So 1 0.25 5.0% 100 100 1.5 Call Put 2 2.5 Valor da Opção x Volatilidade 120.00 100.00 80.00 60.00 40.00 20.00 0.00 0 0.5 Parâmetros T (em anos) r (anual) X So 1 4 5.0% 100 100 1.5 Call Put 2 2.5 Valor da Opção x Preço de Exercício 100.00 80.00 60.00 40.00 20.00 0.00 0 50 100 150 -20.00 Parâmetros T (em anos) r (anual) (volatiliade) So 4 5.0% 0.25 100 Call Put 200 250 Valor da Opção x Preço do Ativo-objeto 140.00 120.00 100.00 80.00 60.00 40.00 20.00 0.00 -20.00 0 Parâmetros T (em anos) r (anual) (volatiliade) X 50 4 5.0% 0.25 100 150 100 Call Put 200 250 Portfolio Insurance Protegendo a Carteira Protective Put Carteira Lucro X Lucro Opção de Venda + Lucro X X Problemas de Implementação • Encontrar no mercado as Puts sobre o ativo-objeto (carteira); • Aproximações “inadequadas” do ativo-objeto, como uma carteira de mercado (ex. IBOVESPA, S&P500, DAX, CAC40, Strait Times, Hang Seng, FTSE, etc.); • Prazo de vencimento das Puts x Prazo da Proteção (insurance). Como solucionar os problemas acima? A Protective Put Sintética • Considerando uma carteira de $ Z milhões: – calcula-se o “delta” de uma Put teórica, que possui as características desejadas para a proteção; – vende-se uma proporção da carteira equivalente ao “delta” da opção (Put); – investe-se o valor resultante da venda de parte da carteira em títulos de renda livre de riscos. • Falha desta estratégia: o “delta” muda com o preço das ações. Daí implementase uma versão dinâmica (dynamic hedging). Calculando o Delta de uma Put • Árvore MáxX S .u;0 MáxX S .d ;0 Binomial: S .u d • Black & Scholes: N d1 1 2 S0 ln r 2 .T X d1 T • Carteira: N wi . i i 1 Protective Put Sintética Exemplo • Valor atual da carteira (S) = $ 100 milhões • Prazo do programa de proteção (T) = 4 anos • Retorno mínimo = 0% (Preço de exercício da Put (X) = Valor atual da carteira) • Volatilidade (desvio padrão, ) = 25% a.a. • Taxa de juros livre de riscos (r) = 5% a.a. • Carteira não paga dividendos ou dividendos são reinvestidos Delta 2 ln 100 0,05 0,25 100 2 d1 0,25 4 .4 0,65 N 0,65 1 0,742 1 0,258 Protective Put Sintética Exemplo • Valor a ser investido em títulos livres de risco = . S = 0,258x100 = $25,8 milhões • Valor da carteira a ser mantido em ações = $100 - $25,8 = $74,2 milhões Protective Put Sintética Exemplo Carteira e Protective Put existente no Mercado A. Valor atual da carteira - Ações 100,000,000 B. Valor atual da carteira - Títulos livre de riscos 0 C. Queda no valor (A x 20%) -20,000,000 D. Delta da Put -0.258 E. Aumento no valor Put (C x D) 5,156,921 F. Variação Total da carteira (C + E) -14,843,079 Valor Total da Carteira (A + B + F) 85,156,921 Carteira e Protective Put Sintética A. Valor atual da carteira - Ações B. Valor atual da carteira - Títulos livre de riscos C. Queda no valor (A x 20%) D. Queda/Aumento Títulos livre de riscos E. Variação da carteira (C + D) Valor Total da Carteira (A + B + F) 74,215,396 25,784,604 -14,843,079 0 -14,843,079 85,156,921 Protective Put Sintética - Exemplo Data D-1 Parâmetros (volatiliade) r (anual) T (em anos) X So d1 d2 N(d1) N(d2) Valor Call Valor Put Data D 0.25 0.05 4 100 100 0.650 0.150 0.742 0.560 28.40 10.27 Carteira e Protective Put Sintética Valor atual da carteira 100,000,000 Delta da Put -0.258 Ações 74,215,396 Títulos livre de riscos 25,784,604 Parâmetros (volatiliade) 0.25 r (anual) 0.05 T (em anos) 3.996 X 100 So 85.16 d1 0.328 d2 -0.172 N(d1) 0.629 N(d2) 0.432 Valor Call 18.16 Valor Put 14.90 Carteira e Protective Put Sintética Valor atual da carteira 85,156,921 Delta da Put -0.371 Ações 53,530,320 Títulos livre de riscos 31,626,601 O que acontece se todo mercado utilizar o delta-hedging? Protective Put Sintética Exemplo II • Suponhamos que daqui a 4 anos o valor da carteira pode aumentar 65% ou cair 39%. Qual o valor de uma Put lançada sobre a carteira? f Put MáxX S ;0; S 100; X 100 T 4; r 5%a.a.; u 1,65; d 0,61 f u Su B1 r f S B.1 f d Sd B1 r Protective Put Sintética Exemplo II Máx100 100.1,65;0 100.1,65. B1 0,05 4 f 100. B.1 Máx100 100.0,61 100.0,61. B1 0,05 4 165. 1,22.B 0 61. 1,22.B 39 0,375 B 50,72 f 100. B.1 100. 0,375 50,72.1 13,22 Black & Scholes : -0,258 e Put 10,27 Estabelecendo a Proteção S Valor da Carteira Put S. B Acrescentando a Put a Carteira S : S Put S S. B S S 1 B - Put ou S 1 B - S. - B S 1001 0,375 50,72 13,22 S 62,50 37,50 100 Ações Bonds Opções - Referências • Essentials of Investments; Bodie, Kane and Marcus, 3rd ed. • Options, Futures, and Other Derivatives; Hull, 4th ed. • Paul Wilmott on Quantitative Finance; Wilmott, 1st ed. • Real Options; Antikarov and Copeland, 1st ed.
