2. Movimento Retilíneo.

Física 1
Fundamentos de Mecânica
Movimento em Duas
e Três Dimensões
Prof. Alexandre W. Arins
Posição e Deslocamento

Vetor deslocamento r
Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto
B no intervalo de tempo
t  t f  t i
y

rf
ˆj
B 
r
A

ri
î

o vetor posição passa de ri
x

para r f
  
r  r f  ri
Velocidade média


 r x
y
z
vm 

î 
ĵ 
k̂
t t
t
t
Velocidade instantânea



 r d r dx
dy
dz
v  lim


î 
ĵ  k̂
t 0
t dt dt
dt
dt
Aceleração média

v y

v m v x
v z
am 

î 
ĵ 
k̂
t
t
t
t
Aceleração instantânea

 dv
dv x ˆ dv y ˆ dv z ˆ
a

i
j
k
dt
dt
dt
dt

a  a x î  a y ĵ  a y k̂
Movimento de Projéteis
• O que é um projétil?
Um projétil é qualquer corpo lançado com uma
velocidade inicial e que segue uma trajetória
determinada exclusivamente pela aceleração da
gravidade e pela resistência do ar.
Ex: Uma bola de futebol chutada ou uma bala atirada
por uma arma de fogo.
A curva descrita pelo projétil é a sua trajetória.
Movimento de Projéteis
• Para analisarmos o movimento de um projétil teremos
que tratar as coordenadas x e y separadamente.
• O componente x da aceleração é igual a 0 (zero) e o
componente y da aceleração é igual a –g.
• Dessa forma podemos definir o movimento de um
projétil como um movimento onde há a combinação de
um movimento horizontal com velocidade constante e
um movimento vertical com aceleração constante.
Análise vetorial do movimento de um projétil
Análise do movimento em um Projétil
Análise do movimento em um Projétil
• Uma vez que os componente da aceleração são sempre
constantes, independente do eixo, podemos utilizar as equações do
movimento uniformemente acelerado para dar início à nossa
análise.
2
v  v o  at
at
x  x 0  v0 t 
2
• Considerando inicialmente o movimento horizontal:
v x  v 0 x  at
v x  v0 x
(se em x, a = 0) então:
(ou seja, sempre constante)
at 2
x  x 0  v0x t 
2
x  x 0  v0 x t
(se em x, a = 0) então:
• Considerando o movimento vertical:
Sabendo que a aceleração em y é –g, logo concluímos que a
velocidade em y não é constante, ou seja, varia conforme o realizar
do movimento. Assim:
v y  v oy  gt
gt
y  y0  v0y t 
2
2
• Podemos então, analisar separadamente as grandezas posição e
velocidade para o nosso modelo de projétil ideal, onde, Xo = Yo = 0.
As componentes das velocidades em X e Y, de acordo com a
projeção dos vetores são então representadas:
(velocidade inicial em x)
v 0 x  v 0 cos 
(velocidade inicial em y)
e
v 0 y  v 0sen
Usando esse resultado nas outras equações chegamos a:
(posição em x)
(posição em y)
x  x 0  v0x t
gt 2
y  y0  v0y t 
2
x  ( v 0 cos ) t
gt
y  ( v 0sen) t 
2
2
(Velocidade em x)
(Velocidade em y)
v y  v oy  gt
v x  v0 x
v y  ( v o sen)  gt
v 0 x  v 0 cos 
As equações até agora vistas, descrevem a posição e a velocidade
de um projétil em qualquer instante t.
Podemos ainda extrair dessas equações:
A distância do projétil à origem em qualquer instante.
r x y
2
2
A velocidade do projétil em qualquer instante.
v  v 2x  v 2y
Altura máxima de um projétil
Alcance máximo de um projétil