Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos
Fundamentos de Matemática
Ciências Biológicas
Prof. Marco Marins
Conjuntos Numéricos
1- Naturais (IN)
N = {0,1,2,3,4,5...}
Convém destacar um subconjunto:
N* = N – {0} = {1,2,3,4,5...}
É importante lembrar que sempre é possível
efetuar a adição e a multiplicação, isto é, a
soma e o produto de dois números naturais
sempre terá como resultado um número natural,
já a subtração entre dois números naturais nem
sempre é um número natural, como por
exemplo 2 – 5, não pertence aos N, temos então
o surgimento do conjunto dos números inteiros.
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2- Inteiros (Z)
Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes
subconjuntos:
Z* = Z – {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...}
Z+ = {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos)
Z - = {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos)
Z*+ = {1,2,3,4...} (inteiros positivos)
Z*- = {-1,-2,-3,-4...} (inteiros não negativos)
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Neste conjunto sempre é possível efetuar
a adição, a multiplicação e a subtração
entre números inteiros, isto é, sempre
estas operações resultam em um número
inteiro. Já a divisão nem sempre resulta
em um número inteiro, como por exemplo,
7 : 2 ,não pertence aos inteiros surgindo
assim o conjunto dos racionais.
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3-Racionais (Q)
Q = {x tal que x = a/b (a sobre b) onde aÎ
(pertence) Z a b E Z* (Z menos o zero)}.
O conjunto dos números racionais Q é a
união do conjunto dos números naturais
(N), inteiros (Z) e as frações positivas e
negativas, como por exemplo:
Q = -5 ; - 4/3 ; - 1; 0; 0,25 ; 1/2 ; 3/4 ; 1; 6/5
;2
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Obs: Um número racional pode aparecer em
forma de dízima periódica, isto é, um
numeral decimal, com a parte decimal
formada por infinitos algarismos que se
repetem periodicamente, como por
exemplo: 4,5555 (período 5) , 10,878787
(período 87) e 9,8545454... (período 54,
parte não periódica 8)
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4-Irracionais (I) – É todo número decimal
não-exato e não periódico, bem como
toda raiz não-exata.
- raiz quadrada de dois = 1,414...;
- raiz quadrada de três = 1,73...;
- dízimas não periódicas;
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5-Reais (IR)
- É a reunião do conjunto dos números
irracionais com o dos racionais.
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6 - Conjunto dos Números Complexos
O conjunto dos números complexos,
simbolizado pela letra C, foi criado para
dar sentido às raízes de índice par de
números negativos, com a definição da
unidade imaginária i igual a raiz quadrada
de -1, e são constituídos de elementos na
forma a + bi, onde a e b são reais. Desse
fato temos que R está contido em C.
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Intervalos na Reta Real
Notação em símbolos de um intervalo
Habitualmente se utilizam os colchetes - “[” e “]” para indicar que um dos extremos do intervalo é
parte deste intervalo e os parênteses - “(” e “)” ou, também, os colchetes invertidos - “]” e “[”
para indicar o contrário.
Assim, por exemplo, dados a e b números reais,
com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa
o conjunto dos x ε R, tal que a < x ≤ b. Note que
a não faz parte do intervalo.
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Representação de um intervalo na reta real
Um intervalo é representado na reta real
utilizando-se de uma pequena “bolinha
vazia” para indicar que um dos pontos
extremos não pertence ao intervalo e de
uma “bolinha cheia” para indicar que o
ponto extremo pertence.
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Tipos de Intervalos
Dados a e b números reais, com a ≤ b, x
pertencente ao intervalo e c o seu
comprimento, podemos classificar os
intervalos como:
a) Intervalo Fechado de comprimento
finito c = b - a:
[a,b] = {x ε R | a ≤ x ≤ b}
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b) Intervalo fechado à esquerda e aberto
à direita de comprimento finito c = b - a:
[a,b[ = [a,b) = {x ε R | a ≤ x < b}
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado
à direita de comprimento finito c = b - a:
(a,b] = ]a,b] = {x ε R | a < x ≤ b}
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d) Intervalo aberto de comprimento finito
c = b - a:
]a,b[ = (a,b) = {x ε R | a < x < b}
e) Intervalo aberto à direita de
comprimento infinito:
]-∞,b[ = (-∞,b) = {x ε R | x < b}
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f) Intervalo fechado à direita de
comprimento infinito:
]-∞,b] = (-∞,b] = {x ε R | x ≤ b}
g) Intervalo fechado à esquerda de
comprimento infinito:
[a,+∞) = [a,+∞[ = {x ε R | a ≤ x}
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h) Intervalo aberto à esquerda de
comprimento infinito:
]a,+∞[ = (a,+∞) = {x ε R | x > a}
i) Intervalo aberto de comprimento
infinito:
]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = R
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j) Intervalo fechado de comprimento
nulo:
Como o comprimento é nulo e o intervalo
fechado, então a = b e esse intervalo
corresponde ao conjunto unitário {a}, isto
é, a um ponto da reta real.
Concluo a classificação dos intervalos com
a seguinte pergunta para vocês: E o
intervalo vazio como seria definido?
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• União e Intersecção de Intervalos
Como intervalos são conjuntos é natural que as
operações mencionadas possam ser realizadas.
E, trata-se de um procedimento muito comum
na resolução de alguns problemas.
E a maneira mais fácil e intuitiva de realizar essas
operações é através da representação gráfica
dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo
prático de como efetuar tais operações.
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Sejam A = [-1,6] = {x ε R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x ε R |
x > 1} dois intervalos e vamos determinar
A U B e A ∩ B.
Primeiramente, marcamos todos os pontos que são
extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta.
Em seguida, abaixo dessa reta, traçamos os intervalos
que representam graficamente os conjuntos A e B. E,
por fim, é só utilizar a definição de união e intersecção
para determinar os trechos que estão em pelo menos
um intervalo e os trechos comuns aos dois intervalos,
respectivamente. Veja a solução de A ∩ B na figura a
seguir e de onde é também facilmente observado o
resultado de A U B:
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A ∩ B = {x ε R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x ε R | -1 ≤ x}
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