Potência e Fator de Potência Arquivo

SEL – 0403 Eletricidade I
Potência em Regime Permanente Senoidal
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potência elétrica é dada simplesmente pelo produto da tensão pela
corrente. Em circuitos de corrente contínua, como ambas são
constantes, a potência também é constante ao longo do tempo

Já em circuitos de corrente alternada, as formas de onda
senoidais, tanto da tensão quanto da corrente, e principalmente a
defasagem entre elas, requerem a introdução de novos conceitos
de potência que serão tratados a seguir:

Visão no Domínio do Tempo

Visão no Domínio da Freqüência (Fasores)
Potência em Regime Permanente Senoidal

Domínio do Tempo

Considere uma fonte ideal de tensão alternada senoidal
alimentando uma carga qualquer formada de resistores, indutores
e/ou capacitores lineares, como ilustrado na figura abaixo:
- Considerando que a tensão da fonte seja
expressa por:
- Então, sem perda de generalidade, a corrente
pode ser descrita por:
- Em que a tensão é usada como referência
angular e a corrente está atrasada de um ângulo
 em relação à tensão
Potência em Regime Permanente Senoidal

Domínio do Tempo
 Aparentemente (ou à primeira vista) basta multiplicar o valor
eficaz da tensão pelo valor eficaz da corrente para se obter a
potência elétrica consumida pela carga ou fornecida pela fonte,
já que o conceito de valor eficaz de uma tensão ou corrente
alternada foi criado exatamente para associar a elas um
comportamento
equivalente
na
forma
contínua.
Mas,
infelizmente, isso não é verdadeiro de modo geral
A montagem experimental mostrada na figura a seguir
permite verificar facilmente tal fato
Potência em Regime Permanente Senoidal

Domínio do Tempo
 O watímetro mede (em watt) a potência útil entregue à carga,
ou seja, a potência elétrica que esta converte em alguma outra
forma de potência, enquanto que o voltímetro indica o valor eficaz
(em volt) da tensão sobre a carga (Vef) e o amperímetro
indica o valor eficaz (em ampére) da corrente na carga (Ief)
Potência em Regime Permanente Senoidal

Domínio do Tempo
 Ao variar a carga, observa-se experimentalmente que a leitura
do watímetro assinala quase sempre um valor menor que o
produto Vef.Ief das leituras do voltímetro e amperímetro
 Somente quando a carga é puramente resistiva (por exemplo:
um resistor ou uma lâmpada incandescente) observa-se a
igualdade das duas grandezas
Potência em Regime Permanente Senoidal

Domínio do Tempo
 Na época em que se começou a usar corrente alternada (fim do
século 19), esse comportamento pouco intuitivo permaneceu sem
explicação durante bastante tempo. Face ao exposto, o produto
Vef.Ief recebeu a denominação de potência aparente,
simbolicamente Pap:
Potência em Regime Permanente Senoidal
A potência aparente entregue a uma carga pode ser entendida
como a quantidade de potência que “à primeira vista” ou
“aparentemente” a carga irá converter em potência útil. Isso
somente acontecerá se a tensão e a corrente estiverem em fase,
como nos circuitos puramente resistivos. Havendo qualquer
defasagem entre tensão e corrente, a potência convertida em
trabalho útil será menor que a potência aparente. Note que a
potência aparente não leva em conta a defasagem entre tensão
e corrente
A potência aparente poderia ser expressa em watt, pois seu valor
médio não é nulo, mas para deixar claro a qual grandeza se
refere convenciona-se usar o volt-ampere, símbolo VA, para
quantificar a potência aparente
Potência em Regime Permanente Senoidal
Os equipamentos elétricos são, em geral, especificados por sua
potência aparente em VA, kVA ou MVA, exceto os motores
elétricos que são especificados pela sua potência mecânica de
saída no eixo (em CV, HP ou W)
Potência em Regime Permanente Senoidal
Os equipamentos elétricos são, em geral, especificados por sua
potência aparente em VA, kVA ou MVA, exceto os motores
elétricos que são especificados pela sua potência mecânica de
saída no eixo (em CV, HP ou W)
A propósito, nos casos em que a potência útil é
menor que a potência aparente, para onde vai a
diferença ?
Para compreender esse estranho fenômeno é necessário analisar
em detalhe o comportamento da potência elétrica instantânea em
circuitos de corrente alternada
Potência em Regime Permanente Senoidal

Considere as duas redes elétricas mostradas a seguir, com a
potência instantânea fluindo da rede A para rede B
Potência Instantânea [p(t)]: Velocidade na qual a energia está fluindo da
rede A para rede B
i(t)
Rede A
v(t)
p(t)  v(t)  i(t)
Rede B
v(t)  Vm  cos(t   )

 i(t)  Im  cos(t  )
p(t)  v(t)  i(t)  Vm  Im c os(t   )  cos(t  )
Potência em Regime Permanente Senoidal
p(t)  v(t)  i(t)  Vm  Im c os(t   )  cos(t  )
 Temos a seguinte identidade trigonométrica:
cos a  cos b 
Assim:
1
c os(a  b)  cos(a  b)
2
1
1
p(t )  Vm Im cos     Vm Im cos2t    
2 
2 

 
1
1: Constate, não depende de wt
2: Senóide com o dobro de freqüência
2
Potência em Regime Permanente Senoidal

Gráfico:
v(t)  Vm  cos(t   )

 i(t)  Im  cos(t  )
     (ângulo de defasagem entre “v” e “i”)
1
1
p(t )  Vm Im cos     Vm Im cos2t    
2 
2 

 
Cons tan te
Senóide com o dobro da frequência
Potência em Regime Permanente Senoidal
1
1
p(t )  Vm Im cos     Vm Im cos2t    
2 
2 

 
Cons tan te

Senóide com o dobro da frequência
Observações quanto a p(t):
1)Para um determinado ângulo de defasagem
entre v e i ( =  - ) a expressão da potência
instantânea
apresenta
uma
componente
constante e outra variando no tempo com
freqüência igual a “2 vezes” a freqüência das
senóides em questão
2) Apresenta valor negativo quando “v” e “i”
possuem sinais contrários, indicando devolução de
potencia do circuito B para a fonte (circuito A),
durante esses intervalos
  
Potência em Regime Permanente Senoidal
      0
Quando =00, não temos parte
negativa,
indicando
circuito
puranente
resistivo
(tensão
e
corrente em fase)
Para que as áreas acima sejam
iguais às áreas abaixo, a curva de
potência tem um novo eixo, que
representa o valor médio da
potência no circuito resistivo
(Potência Média)
Essa potência é utilizada para
iluminação, aquecimento e realização
de trabalho. É dissipada na
resistência do circuito e chamada de
Potência Ativa em circuito de
corrente alternada
Potência em Regime Permanente Senoidal

Quando =900 (ou -900) a curva de p(t)
mostrará áreas (+) exatamente iguais às áreas
(-), cancelando-se mutuamente e evidenciando
que não há consumo de potência no circuito
      90
- Capacitor: corrente () adiantada da tensão
()de um ângulo de 900
-Essa potência é causada
pela
reatância do circuito, que não produz
luz ou calor, nem realiza trabalho, mas
requer uma corrente no circuito
-É chamada de Potência Reativa
Potência em Regime Permanente Senoidal
1
1
p(t )  Vm Im cos     Vm Im cos2t    
2 
2 

 
Cons tan te

Senóide com o dobro da frequência
Observações quanto a p(t):
3) O ângulo de defasagem entre a tensão e a
corrente é devido aos parâmetros do circuito
(R,L,C) e varia de


2

Capacitivo
a

2

Indutivo
 Como a potência instantâneo varia a todo
instante (função do tempo), é mais conveniente
trabalhar com o valor médio
  
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potencia média (em um período)
Pmédia 

1 T
T 0



T 1
1 T1
pt dt   Vm Im cos   dt   Vm Im cos2t    dt 
T0
2  0 
2  
Cons tan te
Senóide com o dobro da frequência


Média de senóide em um n° inteiro de período é zero
Pmedia 
1
Vm  Im c os(   )  Constante  não depende do tempo
2
  
Pmedia 
 Diferença de fase entre tensão e corrente
1
Vm  Im c os 
2
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potencia média (em um período)
Pmedia
1
 Vm  Im c os 
2

Utilizando Valor Eficaz Vef 

Pmedia
Vm

 Vm  Vef . 2 
2

1
 Vef  2  Ief  2  c os   Vef  Ief  c os 
2
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potencia média (em um período)
Pmedia 
1
Vm  Im c os 
2
ou
Pmedia  Vef  Ief  c os 
Significado Físico: representa a taxa de variação média de energia que
flui da rede A para rede B. Essa Potência, denominada “Potência Ativa”,
representa efetivamente a taxa de energia consumida no circuito, isto
é, convertida em outra forma de energia (realizando trabalho útil)
Re sistores    0  Pmédia  Vef I ef
Indutores (  90 ) ou Capacitores (  90 )  Pmédia  0
Capacitor e Indutor ideais (sem resistência) são chamados algumas
vezes de elementos sem perdas – fisicamente são elementos que
armazenam energia durante uma parte do período e devolvem
durante a outra parte
Potência em Regime Permanente Senoidal



Potência complexa:
Como o domínio dos fasores (freqüência) corresponde ao
plano de números complexos, somente podem habitar esse
domínio grandezas elétricas que possam ser representadas
por meio de números complexos, tais como fasores de
tensão ou corrente, impedâncias e admitâncias (admitância é
o inverso da impedância)
Portanto, uma potência elétrica neste domínio também
deverá ser expressa por um número complexo
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potência complexa:
Usando os “fasores eficazes”, isto é, definindo os fasores através
de valores eficazes [D. E. Johnson, J.L. Hilburn, J.R. Johnson,
1994]:
V
Vef 
 Vef e j  Vef 
2
Vef  Vef  e I ef  Ief 
I
I ef 
 Ief e j  Ief 
2
Defini-se como potência complexa que flui da rede A para rede B
o seguinte produto:

*
S  V ef  I ef
I ef *- é o complexo conjugado do I ef , isto é:
I ef *  Ief e j  Ief 
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potência complexa:
*
S  V ef  I ef
Assim:
S  Vef   Ief   Vef  Ief     Vef  Ief 
Temos então:
S  V ef  Ief  Vef .Ief

Potência Aparente (Módulo da
potência complexa)
P  Real S  Vef  Ief  cos   Potência Ativa (ou Potência Média)

Q  Imag.S  V
ef
 Ief  sen 
Potência Reativa (ou magnetizante)
Potência em Regime Permanente Senoidal

Triângulo de Potência:
*
S  V ef  I ef


S  Vef  Ief ;
P  Real S  Vef  Ief  cos ; Q  Imag. S  Vef  Ief  sen
S S
Q

P
-“”- é a diferença de fase entre tensão e a corrente
- Logo é o mesmo ângulo do triângulo de Impedância
Potência em Regime Permanente Senoidal

Triângulo de Potência:
*
S  V ef  I ef


S  Vef  Ief ;
P  Real S  Vef  Ief  cos ; Q  Imag. S  Vef  Ief  sen
S S
Q

-“”- é a diferença de fase entre tensão e a corrente
- Logo é o mesmo ângulo do triângulo de Impedância
P
Z Z

R
X
Vef
V
Z 

I
I ef
R  Z .cos 
X  Z .sen

Z 
Vef
I ef
Potência em Regime Permanente Senoidal

Trîângulo de Potência:
*
S  V ef  I ef


S  Vef  Ief ;
P  Real S  Vef  Ief  cos ; Q  Imag. S  Vef  Ief  sen
S S
Q

-“”- é a diferença de fase entre tensão e a corrente
- Logo é o mesmo ângulo do triângulo de Impedância
P
Vef
Z Z

R
X
S  Vef . I ef  Z . I ef . I ef  Z . I ef
S  Z .I ef 2
2
Potência em Regime Permanente Senoidal

Triângulo de Potência:
*
S  V ef  I ef


S  Vef  Ief ;
P  Real S  Vef  Ief  cos ; Q  Imag. S  Vef  Ief  sen
S S
Q

-“”- é a diferença de fase entre tensão e a corrente
- Logo é o mesmo ângulo do triângulo de Impedância
P
S  Z .I ef 2
Z Z

R
X

Q  Im ag.S  S  sen  Z .I
P  Re al S  S  cos   Z .I ef2 .cos   R.I ef2
2
ef
.sen  X .I ef2
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potência complexa:
*
S  V ef  I ef
Na forma Retangular:
S  P  jQ   Vef .Ief .cos   j  Vef .Ief .sen 
Nota: Embora P, Q e S tenham a mesma unidade no SI, Joule/seg.,
convencionou-se adotar uma unidade distinta para cada termo:
S – Volt-ampére [VA]
P – Watt [W]
Q – Volt-ampére-reativo [VAr]
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potência complexa:
S  V ef  I ef ; S  P  jQ   Vef .Ief .cos   j  Vef .Ief .sen
*
Significado Físico:
 Potência Ativa (ou média) “P”: representa a taxa de variação média
de energia que flui da rede A para rede B. Essa Potência, denominada
“Potência Ativa”, representa efetivamente a taxa de energia
consumida no circuito
Re sistores    0  Pmédia  Vef I ef
Indutores (  90 ) ou Capacitores (  90 )  Pmédia  0
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potência complexa:
S  V ef  I ef ; S  P  jQ   Vef .Ief .cos   j  Vef .Ief .sen
*

A potência Reativa “Q” está relacionada ao armazenamento de
energia por parte dos elementos reativos do circuito (indutor e
capacitor). Ela não contribui para o trabalho em Joules efetivamente
realizado (também chamada de potência magnetizante)

A potência aparente “S” dos equipamentos elétricos limita os
valores de suas potências ativa e reativa. Para o mesmo valor de
“S”, o aumento de “P” implica na diminuição de “Q”, e vice-versa
Potência em Regime Permanente Senoidal

Potência complexa:

A potência complexa poderia ser definida de modo alternativo
como, por exemplo, Vef Ief ou mesmo Vef* Ier

O motivo pelo qual se utiliza o fasor conjugado da corrente na
definição
é
manter
inalterada
a
convenção
de
sinais
anteriormente estabelecida no domínio do tempo, ou seja,
considerar positiva a potência reativa associada a uma carga
indutiva e negativa a uma carga capacitiva. Desse modo,
mantém-se a coerência e evitam-se confusões
Potência em Regime Permanente Senoidal

Fator de Potência (FP) é o quociente da potência ativa (P) pela
potência aparente (S)
S S
P
FP 
S
Q

P
FP  cos

FP Indutivo (atrasado) – “i” atrasada em relação a “v”(00    900)

FP Capacitivo (adiantado) – “i” adiantada em relação a “v”(-900   > 00)

FP Puramente Resistivo (unitário) – “i” em fase com a “v”( = 00)
Potência em Regime Permanente Senoidal


Fator de Potência (FP) é o quociente da potência ativa (P) pela
potência aparente (S)
FP Indutivo (atrasado) – “i” atrasada em relação a “v”(00    900)
  
S S

P
Q = QL – QC (QL > QC )
Potência em Regime Permanente Senoidal


Fator de Potência (FP) é o quociente da potência ativa (P) pela
potência aparente (S)
FP Capacitivo (adiantado) – “i” adiantada em relação a “v”(-900   > 00)
  
P

S S
Q = QL-QC (QL < QC )
Potência em Regime Permanente Senoidal


Fator de Potência (FP) é o quociente da potência ativa (P) pela
potência aparente (S)
FP Puramente Resistivo (unitário) – “i” em fase com a “v”( = 00)
  
SP
=
00
Q=0
Correção do fator de
potência
Potência em Regime Permanente Senoidal


Fator de Potência (FP)
Na prática, o FP de uma carga é muito importante. Por exemplo,
cargas podem requerer milhares de Watts para operar e o FP afeta a
quantidade de energia que deve ser gerada para atende-las
Ex. Consideremos que uma determinada carga resistiva consome
100KW de um barramento de 220Vef. Calcule a corrente eficaz e a
potência aparente da carga, para:
1.FP = 0,85 atrasado
2.FP = 0,95 atrasado
Potência em Regime Permanente Senoidal


Fator de Potência (FP)
Na prática, o FP de uma carga é muito importante. Por exemplo,
cargas podem requerer milhares de Watts para operar e o FP afeta a
quantidade de energia que deve ser gerada para atende-las
Ex. Consideremos que uma determinada carga resistiva consome
100KW de um barramento de 220Vef. Calcule a corrente eficaz e a
potência aparente da carga, para:
1.FP = 0,85 atrasado
P  Vef .I ef .cos   I ef 
S  Vef .I ef
2.FP = 0,95 atrasado
P
Vef .cos 
Potência em Regime Permanente Senoidal
1.FP = 0,85 atrasado



2.FP = 0,95 atrasado
I ef  534,8 A
I ef  478,5 A
S  117, 66 KVA
S  105,3KVA
Temos uma redução de corrente de 56,3A(10,5%)
Portanto é necessário gerar uma corrente maior (mais energia) no
caso de menor FP
Uma maior corrente precisa de bitolas de condutores maiores e
também maiores perdas por efeito Joule = I^2 .R
Potência em Regime Permanente Senoidal


Correção do Fator de Potência (FP)
As instalações elétricas industriais e comerciais apresentam, em
geral, fator de potência naturalmente baixo (~50%) e indutivo, em
razão do grande número de motores elétricos que constituem a
carga

No Brasil, cerca de 60 % da carga industrial corresponde a motores
de indução que, por sua vez, respondem por cerca de 40 % da carga
total (residencial, industrial, comercial e rural)

Fator de potência baixo significa pequeno aproveitamento de
potência útil em comparação com um grande fornecimento de
potência aparente. Se nada fosse feito, isso exigiria das empresas de
energia elétrica o fornecimento de elevadas correntes com reduzida
realização de trabalho útil
Potência em Regime Permanente Senoidal



Correção do Fator de Potência (FP)
Entretanto, se o fator de potência for, de algum modo, ajustado para
valores elevados (próximos de 100 % - Unitário), então a mesma
quantidade de trabalho útil (potência ativa) poderá ser extraída com o
fornecimento de menores correntes
Na verdade, se o fator de potência for exatamente 100 %, então a
corrente será mínima
Potência em Regime Permanente Senoidal


Correção do Fator de Potência (FP)
São evidentes as vantagens de se trabalhar com fatores de potência
elevados, e conseqüentemente com correntes próximas ao mínimo:
menor capacidade em equipamentos de geração, transformação,
transmissão; menores perdas de energia por efeito Joule; condutores
de menor bitola, etc.

Para forçar isso, cada país estabelece normas legais especificando o
valor mínimo de fator de potência que as instalações industriais
e comerciais devem ter

No Brasil, esse valor atualmente é 92 %

Em alguns países, como França e Japão, o fator mínimo é 98 %
Potência em Regime Permanente Senoidal


Correção do Fator de Potência (FP)
Como “incentivar'' os consumidores industriais e comerciais a
elevarem o fator de potência?

A legislação autoriza as empresas de energia elétrica a cobrarem um
adicional na energia ativa consumida (e na demanda também) se o
fator de potência estiver menor que o mínimo legal, usando a
seguinte fórmula:

A aplicação dessa fórmula, no caso de um consumidor industrial com
fator de potência de 70 % (ou 0,70), corresponde a um acréscimo de
31 % na conta de energia; se o fator de potência for de somente 50%
(ou 0,50), o acréscimo na conta pode chegar a 84 %
Potência em Regime Permanente Senoidal


Correção do Fator de Potência (FP)
O método mais simples e econômico para corrigir o fator de potência
é instalar bancos de capacitores em paralelo com a carga,
como ilustra a figura abaixo, lembrando que as instalações
comerciais e industriais são geralmente trifásicas:
Potência em Regime Permanente Senoidal



Correção do Fator de Potência (FP)
O efeito do banco de capacitores consiste em contrabalançar o atraso
da corrente em relação à tensão, ocasionado pelo caráter indutivo da
carga, através do fornecimento de corrente adiantada em relação à
tensão
Isso pode ser compreendido considerando-se uma carga industrial
equilibrada (a carga em cada fase é a mesma), fato que permite usar
o modelo por fase do problema, como mostra a figura abaixo:
Potência em Regime Permanente Senoidal


Correção do Fator de Potência (FP)
Corrigir o FP de uma carga que tem uma impedância “Z = R + j X”
Ief (= Ief-Total)
+
Vef
_
Z=R+jX
Potência em Regime Permanente Senoidal


Ief-Total
Correção do Fator de Potência (FP)
Corrigir o FP de uma carga que tem uma impedância “Z = R + j X”
Ief
+ I
ef1
Vef
_
+
Z1
Vef
Z=R+jX
_
-Podemos alterar o FP conectando uma impedância Z1 em // com Z
-Através dessa conexão:
-Tensão em Z não muda
-Visto que Z é fixo, Ief não muda e a potência média (P)
entregue à carga não é afetada
-A corrente Ief-Total fornecida pelo gerador, entretanto, muda
Potência em Regime Permanente Senoidal


Ief-Total
Correção do Fator de Potência (FP)
Corrigir o FP de uma carga que tem uma impedância “Z = R + j X”
Ief
+ I
ef1
Vef
_
+
Z1
Vef
Z=R+jX
_
-Como determinar Z1?
(1) Z1 deve absorver uma Potência média (ativa) igual a zero
 Puramente reativa (Capacitor ou Indutor)
(2) A carga total, após a instalação de Z1, deve ter o FP desejado
 “” desejado
Potência em Regime Permanente Senoidal

Correção do Fator de Potência (FP)

Inicialmente (z): P, Q e S
S
Q

P

Final (Z//Z1): Pf = P; f é conhecido (em função do FP desejado)
Potência em Regime Permanente Senoidal

Correção do Fator de Potência (FP)

Inicialmente (z): P, Q e S
S
Q

P
Final
Sf  ?
f
Pf = P
Qf  ?
Potência em Regime Permanente Senoidal

Correção do Fator de Potência (FP)

Inicialmente (z): P, Q e S
S
Q

P
Final
Sf  ?
f
Pf = P
Qf  ?
Q f  P  tg f
Q f  Q  Q1 (Z1)  Q1  Q f  Q
Potência em Regime Permanente Senoidal

Correção do Fator de Potência (FP)
Q1  Q f  Q

Achando “Q1” determina-se “Z1”:



Se Q1 > 0  Z1 é um Indutor
Se Q1 < 0  Z1 é um Capacitor (como no exemplo apresentado)
Como Z1 é puramente reativo:
Q1  I . X 1 
2
ef 1

Vef2
X1
 X1 
Vef2
Q1
Determinando o componente:
P/
Q1  0
X 1  w.L  L 
P/
X1
w
Q1  0
X1  1
w.C
C  1
w. X 1
Potência em Regime Permanente Senoidal


Ief-Total
Correção do Fator de Potência (FP)
Corrigir o FP de uma carga que tem uma impedância “Z = R + j X”
Ief
+ I
ef1
Vef
_
+
Z1
Vef
Z=R+jX
_
-A corrente Ief-Total fornecida pelo gerador, entretanto, muda:
Diminui
I ef Total 
P( não muda )
Vef ( não muda ) .cos  
Potência em Regime Permanente Senoidal



Controle Automático do Fator de Potência
Em grandes instalações comerciais ou industriais, a carga ativa
normalmente varia bastante ao longo do dia, dependendo do ritmo
das atividades
Se o consumo de energia elétrica é significativo, então torna-se
compensador instalar um controlador automático do fator de
potência, cujo diagrama esquemático está mostrado na figura a
seguir:
Potência em Regime Permanente Senoidal

Controle Automático do Fator de Potência
Potência em Regime Permanente Senoidal



Controle Automático do Fator de Potência
O sistema consiste de uma unidade de medição da tensão, corrente
e defasagem entre elas (geralmente um registrador digital de
tarifação diferenciada - RDTD), de uma unidade microprocessada
(controlador) que estima a potência ativa, a aparente e o fator de
potência no momento, calcula a potência reativa e capacitância por
fase necessárias, determina qual o arranjo de capacitores a ser feito
e comanda as chaves eletrônicas para implementar tal arranjo
Desse modo, garante-se que o fator de potência estará sempre
ajustado no valor desejado, independentemente do nível de
demanda de energia elétrica