Tensão Senoidal

Tensão Senoidal
1) O que é tensão senoidal ?
A tensão de alimentação dos circuitos elétricos é que determina a forma e a
intensidade das correntes que percorrem este circuito. Inicialmente são estudados os
circuitos alimentados por tensões de valores constantes, que são chamados circuitos de
corrente contínua (CC). Nos circuitos de corrente contínua a tensão tem sempre o mesmo
valor durante todo o tempo. Dessa forma a corrente elétrica fluirá sempre em um mesmo
sentido. Graficamente, a tensão e a corrente do circuito CC pode ser representada como na
figura 1.
Figura 1 – Tensão e corrente em circuito CC
De modo diferente se comportam os circuitos de corrente alternada (CA). Nestes a
tensão da fonte de alimentação assume valores ora positivos ora negativos, o que faz a
corrente circular ora em um sentido ora no sentido oposto. Graficamente, a tensão e a
corrente dos circuitos CA podem ser representadas como na figura 2.
Figura 2 – Tensão e corrente em circuitos CA
Existem várias formas de onda representativas de uma tensão CA. Ela pode ser
retangular, triangular, dente-de-serra, senoidal, ou assumir qualquer outro perfil, desde que
assuma valores ora positivos ora negativos.
Na maioria das aplicações práticas e industriais a tensão senoidal é a forma de onda
empregada para alimentar os circuitos elétricos, devido a algumas características especiais
desta. A primeira característica importante é a facilidade de obtenção da tensão seonoidal.
Outra característica, é que as derivadas e as integrais de uma senoide são também senoides.
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2 - Características das tensões e correntes senoidais
Uma onda de tensão senoidal assume diferentes valores a cada instante descrevendo
uma curva de seno em função do tempo. Matematicamente podemos descrever uma tensão
senoidal conforme a equação abaixo:
v(t )  Vp sen(t )
Para variáveis de componentes alternadas, sempre usaremos letras minúsculas,
diferentemente da variáveis de componentes contínuas que são indicadas com letras
maiúsculas.
Nesta equação, temos:
Vp = Tensão de pico. Máximo valor que a tensão v(t) assume. Isto quer dizer que os
valores possíveis para v(t) estão compreendidos entre –Vp e +Vp;
 = freqüência angular. É o valor da freqüência multiplicado por 2:  = 2f =2/T
T = é o período com o qual a onda senoidal se repete. T = 1/f.
A senoide descrita acima foi desenhada tendo valor zero no instante t=0. De forma
diferente, se esta senoide tivesse um outro valor quando t=0, deveríamos colocar um outro
argumento na função seno, que demonstraria um deslocamento no eixo do tempo no
gráfico. Desta forma a descrição da onda senoidal seria:
v(t )  Vp sen(t   )
Neste caso, quando t=0, o valor Vpsen() será o valor inicial da tensão.
A figura 3 mostra duas ondas de tensão senoidal sobre o mesmo gráfico, tendo o
mesmo valor máximo e a mesma freqüência. Para a onda de v1, 1=0o, e para v2 ,
2=30o=/6. O eixo das abcissas é marcado por valores de tempo (t) acima, e os
correspondentes valores de freqüência angular (t), abaixo.
Figura 3 – tensões senoidais defasadas.
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Sobre essas ondas, dizemos que existe uma defasagem de 2-1=30o de v1 em
relação a v2, ou seja, v2 está adiantada de 30o em relação a v1, e v1 está atrasada de 30o em
relação a v2. Podemos , então, dizer que o argumento  representa a fase da onda senoidal.
Em Engenharia Elétrica, o ângulo de fase é normalmente escrito em graus e não em
radianos. Por exemplo, podemos descrever uma onda de amplitude 180V, freqüência 60Hz
(período T=1/f = 0,0167 seg), e fase 30o como:
v(t) = 180sen(260t + 30o) = 180sen(377t + 30o)
Devemos sempre tomar o cuidado de transformar os valores dos ângulos para as mesmas
unidades antes de calcular o valor da tensão v(t). Por exemplo, no tempo t = 0,005seg, a
tensão será: v(0,005) = 180.sen (2.60.0,005 + 30o) = 180.sen(0,6 + /6) = 120,4V.
3) Valor médio de uma tensão senoidal
O valor médio de uma tensão alternada senoidal será sempre zero em períodos
inteiros da onda. A demonstração é vista abaixo, utilizando o exemplo da onda da rede de
alimentação de 127V.
v(t) = 180sen(260t) = 180sen(377t)
Sendo a freqüência igual a 60 Hz, um período da onda será T=1/60 = 0,01667seg.
Então pode-se calcular a integral de v(t) para um período, e encontrar seu valor médio
dividindo o resultado pelo valor de T.
Vm 
1 T
180
cos(377t )T0  180 cos(2 )  cos(0)  0V
180 sen( 377t )dt 

0
T
377T
2
De outra forma poderíamos apenas lembrar que a integral de uma senoide, ou
cossenoide em um período completo é igual a zero. Portanto o valor médio de qualquer
tensão ou corrente senoidal será igual a zero.
Vm = 0V
c) Valor eficaz
Valor eficaz de uma corrente alternada é o valor de intensidade de uma corrente
contínua que produz o mesmo efeito calorífico da corrente alternada considerada. Uma
corrente alternada senoidal com I máx = 1 A não corresponde ao efeito (calorífico) de
uma corrente contínua de valor constante de 1A. O valor eficaz é o mais representativo da
CA. Os valores de corrente e tensão determinados pelos medidores são valores eficazes e
são usados para cálculos de potência (aparente, ativa e reativa). As tensões disponíveis nas
tomadas das residências (127 V e 220 V) são valores eficazes. Demonstraremos a seguir
que:
Ief = Ip/2
Vef = Vp/2
ou
ou
Ip = 2 Ief
Vp = 2 Vef
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Tomemos novamente o exemplo da onda de tensão senoidal da rede elétrica, e
calculemos a potência dissipada por uma resistência R ligada á rede:
p(t)  v(t)  i(t) 
v2 (t ) 1802 sen 2 (377t )

R
R
1  cos( 2  377 t) 
1802 
 1802 1  cos( 2  377 t)  Vp 2 1  cos( 2t) 
2

p(t) 


R
2R
2R
Esta potência pode ser escrita como uma função de cosseno com o dobro da
freqüência da tensão v(t), conforme visto na figura 4:
Verifica-se que esta onda de potência varia do valor zero ao valor máximo, P p,
tendo um valor médio igual a Pm, onde:
Pp 
Vp
R
2
;
Pm 
Vp
2
2R
Para que a resistência R, ligada a uma fonte de tensão contínua, produzisse o mesmo
efeito calorífico, dissipasse a mesma potência, seria necessário que esta fonte tivesse uma
tensão Vc , tal que a potência Pc fosse de mesmo valor de Pm.
Vp2
Vc2
Pc 
 Pm 
R
2R
Portanto, Vc = Vp/2
e por definição, Vef = Vc= Vp/2.
No exemplo da rede elétrica, temos : Vef = 180V/1,41 = 127V.
Sendo que 1,41 = 2 .
Figura 4 – Tensão, corrente e potência numa rede senoidal
Assim se demonstrou a relação entre tensão eficaz e tensão de pico de uma onda senoidal.
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