Isomorfismo de Grafos

Isomorfismos de Grafos,
Grafos Planares e
Árvores
Esdras Medeiros
– p. 1/25
Isomorfismo de Grafos
Os isomorfismos preservam adjacências entre
vértices.
– p. 2/25
Isomorfismo de Grafos
Definição 1 Dois grafos (N1 , A1 , g1 ) e (N2 , A2 , g2 ) são
isomorfos se existem funções f1 : N1 → N2 e
f2 : A1 → A2 tais que, para cada arco a ∈ A1 ,
g1 (a) = x − y se, e somente se, g2 [f2 (a)] = f1 (x) − f2 (y).
a
a1
1
e7
2
a2
a3
a4
3
c
e6
e3
e2
e
d
a5
4
e1
e5
a6
a7
e4
e8
a8
5
b
– p. 3/25
Isomorfismo de Grafos
Isomorfismo encontrado:
f1 : 1 → c f 2
2→e
3→d
4→b
5→a
: a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
→ e1
→ e4
→ e2
→ e3
→ e8
→ e7
→ e5
→ e6
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Isomorfismo de Grafos
Teorema 1 Dois grafos simples (N1 , A1 , g1 ) e
(N2 , A2 , g2 ) são isomorfos se existe f1 : N1 → N2 onde
quaisquer n1 , n2 ∈ N1 são adjacentes se, e somente
se, f (n1 ), f (n2 ) são adjacentes.
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Isomorfismo de Grafos
Pode-se mostrar que grafos não são isomorfos
através de invariantes como:
•
Número de nós;
•
Número de arcos;
•
Existência de arcos paralelos;
•
Existência de laços;
•
Existência de um nó com grau diferente;
•
Conexidade;
•
Existência de ciclos;
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Isomorfismo de Grafos
Exemplo: Mostre que os grafos abaixo não são
isomorfos.
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Grafos Planares
Definição 2 Um grafo é planar quando pode ser
representado em uma folha de papel, de modo que
seus arcos se intersectem apenas em nós.
O grafo à esquerda é planar pois é isomorfo ao grafo
à direita que é planar. Em grafos planares além de
nós e arcos também há regiões planares . No caso
acima existem 4 regiões.
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Grafos Planares-Fórmula de Euler
Em todo grafo planar vale a fórmula de Euler
N − A + R = 2, onde N é o número de vértices, A é o
número de arestas e R é o número de regiões
divididas no plano pelo grafo. Exemplo:
N = 13, A = 19 e R = 8. Logo 13 − 19 + 8 = 2.
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Grafos Planares-Fórmula de Euler
Demonstração: Façamos indução sobre o número de
arcos A.
I) A = 1.
(a)
(b)
II)Suponha que seja válido para uma grafo qualquer
com K arcos.
III)Vamos provar que vale para um grafo qualquer com
K + 1 arcos.
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Grafos Planares-Fórmula de Euler
Temos dois casos:
Caso 1: O grafo tem um nó de grau 1.
Apagando temporariamente o arco e o nó vale
N − K + R = 2.
Colocando de volta o arco e o nó vale
(N + 1) − (k + 1) + R = 2
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Grafos Planares-Fórmula de Euler
Caso 2: O grafo não tem nós de grau 1.
Apagando temporariamente o arco vale N − K + R = 2.
Colocando de volta o arco vale N − (k + 1) + (R + 1) = 2.
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Grafos Planares - Duas
Desigualdades
Desigualdade 1:
Temos que em qualquer grafo vale
2A ≥ 3R
usando que N − A + R = 2, temos
2A ≥ 3(2 − N + A) = 6 − 3N + 3A
2A ≤ 3N − 6
Fato importante: O número de de arestas é linear em
relação ao número de nós.
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Grafos Planares - Duas
Desigualdades
Desigualdade 2:
Em grafos sem ciclos de comprimento 3 vale
2A ≥ 4R
usando que N − A + R = 2, temos
2A ≥ 4(2 − N + A) = 8 − 4N + 4A
A ≤ 2N − 4
Com isso podemos mostrar a impossibilidade de
resolver o problema da água, luz e telefone.
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Grafos Planares - Duas
Desigualdades
Observe o grafo abaixo:
Nesse grafo A = 9, N = 6 e não há ciclos de
tamanho 3. Logo não satisfaz a desigualdade 2
A ≤ 2N − 4 pois 9 > 2(6) − 4.
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Árvores
Definição 3 Uma árvore é um grafo conexo acíclico
com um nó especial, denominado raiz da árvore.
Exemplos:
r
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Árvores-Terminologia
R
R1
raiz
R2
R3
T2
•
T2 é sub-árvore
•
R é nó pai de R1, R2 e R3.
•
R1, R2 e R3 são nós filhos de R.
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Árvores-Terminologia
•
A profundidade de um nó em uma árvore é o
comprimento do caminho da raiz ao nó.
•
A profundidade (altura ou nível) de uma árvore
é a maior profundidade dos nós na árvore.
•
Uma folha é um nó sem filhos.
•
Nós internos são nós que não são folhas.
•
Floresta é um grafo acíclico não necessariamente
conexo
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Árvores binárias
Definição 4 Em uma árvore binária cada nó tem no
máximo dois filhos, filho esquerdo e filho direito.
•
Uma árvore estritamente binária é uma árvore
binária em que cada nó tem 0 ou 2 filhos.
•
Uma árvore binária cheia é uma árvore em que
se um nó tem alguma sub-árvore vazia então ele
está no último nível.
•
Uma árvore completa é aquela em se n é um nó
com algumas de sub-árvores vazias, então n se
localiza no penúltimo ou no último nível.
Portanto, toda árvore cheia é completa e estritamente
binária.
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Árvores binárias
Exemplos:
Estritamente Binaria
Completa
Cheia
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Árvores binárias-Aplicações
Fluxo Organizacional:
Presidente
Reitor
Vice−Reitor
Academico
Diretor
Humanas
Diretor
Ciencias
Chefe
Ciencia
Computacao
Vice−Reitor
Administrativo
Diretor
Engenharias
Diretor
Saude
Coordenador
Ciencia
Computacao
Professor
Ciencia
Computacao
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Árvores binárias-Aplicações
Diretórios:
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Árvores binárias-Aplicações
Expressões Algébricas:
−
*
+
2
x
y
3
A expressão correspondente é (2 + x) − (y ∗ 3).
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Lendo arquvos em C
Abrindo um arquivo:
#include <stdio.h>
int main()
{
FILE *fp;
fp = fopen ("MEU_ARQUIVO", "r");
if (fp == NULL) {
printf ("Houve um erro ao abrir o arquivo.\n");
return 1;
}
printf ("Arquivo MEU_ARQUIVO criado com sucesso.\n");
fclose (fp);
return 0;
}
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Lendo arquvos em C
Lendo letra por letra:
#include <stdio.h>
int main(){
FILE *entrada, *saida;
int letra;
int str[100];
int i=0;
entrada = fopen("arquivo1", "r"); //abre para leitura!
while((letra = fgetc(entrada)) != EOF){ //le arquivo1
str[i] = letra; //armazena string no vetor str
i++;
}
fclose(entrada);
}
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