EQUAÇÕES POLINOMIAIS

EQUAÇÕES POLINOMIAIS
1- DEFINIÇÃO
Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n toda equação do tipo:
anxn + a n – 1 , xn – 1 + ... +a2 x2 +a1x1 + a 0 = 0
Em que:
an, an – 1, ... , a2, a1, a0 são números complexos chamados coeficientes e an  0; x  C; n  N.
Observação:
O número complexo a é raiz da equação P(x) = 0 se e somente se P(a) = 0.
2- TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA
Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n  1), tem pelo menos uma raiz real ou complexa.
3- REPRESENTAÇÃO FATORADA
Toda equação algébrica anxn + a n – 1 , xn – 1 + ... +a2 x2 +a1x1 + a 0 = 0 de grau n pode ser decomposta em n fatores
da forma (x  ), em que  é uma raiz da equação
an(x  1)( x  2) . … (x  n) = 0
Teorema:
Toda equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes reais ou complexas.
4- MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ
Dizemos que  é uma raiz de multiplicidade m, (m  1) da equação P(x) = 0, se e somente se:
P(x) = (x  )m . Q(x) e Q()  0
Se m = 1   é raiz simples
m = 2   é raiz dupla
m = 3   é raiz tripla.
5- RAÍZES COMPLEXAS
Se o número complexo z = a + bi é raiz da equação anxn + a n – 1 , xn – 1 + ... +a2 x2 +a1x1 + a 0 = 0, de coeficientes
reais, então seu conjugado z = a  bi também é raiz dessa equação.
6- RELAÇÕES DE GIRARD
Dada a equação anxn + a n – 1 , xn – 1 + ... +a2 x2 +a1x1 + a 0 = 0, de raízes 1, 2 ,3, ... , n , temos:
a n 1

 1   2   3   a
n


a n2
 1 2   1 3  ...   n 1 n 
an






a

n 0
 1 2 ...  n  ( 1 ) a
n

Casos Particulares:
7- RAÍZES RACIONAIS
Se a fração racional irredutível
p
for raiz da equação algébrica de grau n e de coeficientes inteiros, anxn + a n – 1
q
xn – 1 + ... +a2 x2 +a1x1 + a 0 = 0, então p é um divisor de a0 e q é um divisor de an.