Demonstracoes quase visuais

DEMONSTRAÇÕES QUASE
VISUAIS
Silvio Niskier
E. E. Mauá, SP
Introdução
Três pontos não alinhados determinam uma circunferência, de modo
que todos os triângulos são inscritíveis (numa circunferência). Já para
quadriláteros, isso não é verdade: alguns são inscritíveis, outros não.
quadrilátero inscritível
quadrilátero não inscritível
Neste artigo vamos trabalhar com quadriláteros inscritíveis e mostrar
como eles podem fornecer facilmente alguns resultados interessantes.
O artigo também tem uma finalidade didática ao propor a seguinte
questão: até que ponto muitas figuras e poucas palavras podem tornar a
Geometria mais aprazível para nossos alunos?
Quadriláteros inscritíveis
1) Num quadrilátero inscritível, ângulos opostos são suplementares.
Para “ver” isso, basta lembrar que, numa circunferência, a medida
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de um ângulo inscrito é a metade da
medida
do
ângulo
central
correspondente. Logo,
α +γ =
BCˆ D + BAˆ D 360°
=
= 180°
2
2
2) Vale a recíproca dessa afirmação, isto é, se dois ângulos opostos de
um quadrilátero são suplementares, ele é inscritível.
Se o quadrilátero ABCD não é inscritível, suponhamos que D não
pertence à circunferência determinada por A, B e C.
A
α
B
D
γ
D'
γ'
C
Basta olhar para o ponto
circunferência, para ver que
D' , interseção da reta
AD
com a
α + γ = 180° por hipótese e
α + γ ' = 180° , pois ABCD ' é inscritível. Logo, D ≡ D '.
Portanto, um quadrilátero é inscritível se, e somente se, seus ângulos
opostos forem suplementares.
3) Veja uma conseqüência desse fato na figura
ao lado. Os ângulos “pretos” são iguais,
pois ambos são suplementares do ângulo
“pontilhado”. Há um outro par de ângulos
iguais, um do triângulo pequeno e outro do
quadrilátero (eles não estão assinalados na
figura).
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 44, 2000
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4) Usando os fatos anteriores, vamos provar que as três retas que contêm
as alturas de um triângulo são concorrentes.
Para isso vamos desenhar duas alturas, BE e CF , chamar de H o
ponto de encontro das retas que as contêm e provar que a reta AH é
perpendicular a BC e, portanto, contém a terceira altura. O ponto H
chama-se ortocentro do triângulo.
Acompanhe o argumento, olhando para as figuras.
4A) AFHE é inscritível
( Fˆ + Eˆ = 90° + 90° = 180° ).
Portanto, os ângulos “pretos”
inscritos, que abrangem o
mesmo arco AE, são iguais.
Ainda na figura, os dois
ângulos “pretos”, opostos pelo
vértice, também são iguais.
4B)
BCEF é inscritível
(imagine a circunferência que
passa por B, C e F. Como o
ângulo BFC é reto, BC é o
diâmetro da circunferência e,
sendo BEˆ C reto, E está na
circunferência). Pelo item 3),
tem-se que o ângulo Ĉ do
triângulo também é igual a γ.
Olhando agora para o triângulo BEC, vemos que
EBˆ C = EBˆ D = 90° − γ e os ângulos em D são retos, isto é, AD ⊥ BC .
Triângulo órtico
Unindo-se os pés das alturas de um triângulo, obtém-se o chamado
triângulo órtico do triângulo dado.
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Na figura ao lado, DEF é o
triângulo órtico do triângulo ABC.
As figuras abaixo mostram três
quadriláteros inscritíveis [ver 4B)]
e os ângulos iguais assinalados com
a mesma letra [ver 3)].
A
F
γ
A
β
α
E
E
F
γ
β
B
α
γ
D
C
B
γ
D
C
A
α
γ
F
β
E
β
γ
β
B
α
α
D
γ
C
A última figura, que engloba as três primeiras, mostra que
5) O triângulo órtico determina três triângulos, AEF, DBF e DEC
semelhantes ao triângulo ABC e semelhantes entre si.
Mostra também que
6) As alturas do triângulo ABC são bissetrizes do triângulo órtico
(basta observar, por exemplo, que FDˆ A = 90° − α = EDˆ A ).
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Reta de Simson
7) Se P é um ponto qualquer da circunferência circunscrita a um
triângulo ABC, e os pontos D, E e F são os pés das
perpendiculares de P aos lados AB, BC e CA, então D, E e F
são colineares.
A reta dos pontos D, E e F chama-se reta de Simson.
Novamente, os quadriláteros inscritíveis vão fornecer a demonstração.
A figura à esquerda foi propositadamente mal feita para evitar a
tentação de fazer afirmações não justificadas sobre o alinhamento de D,
E e F. A figura à direita, a ser olhada após a argumentação, está
correta.
O quadrilátero PBDE é inscritível [4B)], logo BPˆ D = BEˆ D = β .
O quadrilátero PFCE é inscritível, pois Fˆ + Eˆ = 90° + 90° = 180° ,
logo CPˆ F = CEˆ F = γ .
O quadrilátero ADPF é inscritível, pois Dˆ + Fˆ = 180° , portanto
α + DPˆ F = 180° ⇒ α + DPˆ C + γ = 180° ⇒ γ = 180° − α − DPˆ C (1)
O quadrilátero ABPC é inscritível , portanto
α + BPˆ C = 180° ⇒ α + β + DPˆ C = 180° ⇒ β = 180° − α − DPˆ C (2)
As igualdades (1) e (2) mostram que γ = β e, portanto, os pontos
D, E e F são colineares.
Silvio Niskier é professor pleno de Geometria Descritiva da
Escola de Engenharia Mauá; foi professor da Escola
Politécnica da USP, da Universidade Mackenzie e da
FAAP.
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