Aula 1- Logica Matematica

Disciplina: Matemática Computacional
Prof. Diana de Barros Teles
AULA 1
Introdução à Lógica Matemática
Conceitos:
Lógica (mat.): conjunto de estudos tendentes a expressar em linguagem matemática as
estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de número reduzido de axiomas,
com a intenção de criar uma linguagem rigorosa e adequada ao pensamento científico, tal
como o concebe a tradição empírico-positivista.
Lógica (inform.): forma pela qual as assertivas, pressupostos e instruções são
organizadas em um algoritmo para a implementação de um programa de computador.
Lógica formal: é aquela que fornece as bases para o método de pensar organizado e
cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional (investigação criminal, uma
experiência científica, um estudo sociológico, a determinação da escolha do melhor
caminho a ser percorrido).
Proposições
Chama-se de proposições todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento de sentido completo (ou fechado).
Exemplos:
a) A Lua é um satélite da Terra. (V)
b) A copa do mundo em 2014 será realizada na Alemanha. (F)
c) Recife é a capital de Pernambuco. (V)
d) 3/5 é um número inteiro. (F)
e) 32 = 9 (V)
f) O número π é um número racional. (F)
Princípios ou axiomas:
A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes
princípios:
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PRINCÍPIO DA NÃO NEGAÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao
mesmo tempo.
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto
é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
Valores lógicos das proposições:
Chama-se de valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição for verdadeira e a
falsidade se a proposição é falsa.
Classificação das Proposições:
Proposições simples: são aquelas que não contém nenhuma outra proposição como
parte integrante de si mesma. (são representadas por letras minúsculas)
Exemplos:
p: Pedro é estudante.
q: A Beija-Flor foi a escola de samba campeã no carnaval do Rio em 2008.
r: O número 25 é quadrado perfeito.
Proposições compostas: são aquelas formadas pela combinação de duas ou mais
proposições (são representadas por letras maiúsculas).
Exemplos:
P: Carlos é farmacêutico e Pedro é estudante.
Q: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.
R: O programa é bom e a internet é lenta.
(e : conectivo)
Conectivos:
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Chama-se de conectivos, palavras que usadas para formar novas proposições a partir de
outras.
Conectivos usuais:
e, ou, não, se...então, ...se e somente se...
Exemplos:
P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isóceles.
r: Não está chovendo.
S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática.
T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.
Notação lógica:
O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é
verdadeiro(V), escrevendo: V (p) = V
Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F
Do mesmo modo, o valor lógico de uma proposição composta P indica-se por V(P).
Mudança de linguagem:
Exemplos 1:
p: Roma é capital da França. (F)
~p: Roma não é capital da França. (V)
q: Carlos é mecânico.
~q: Carlos não é mecânico.
OU
Não é verdade que Carlos é mecânico.
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Exemplos 2:
•
p: A neve é branca. (V)
q: 2 < 5 (V)
p ^ q : A neve é branca e 2 < 5. (V)
•
r: Paris é capital da França. (V)
s: 9 – 4 = 5 (V)
p v q:Paris é capital da França ou 9 – 4 = 5 (V)
Exemplos 3:
• p: Cláudio fala inglês.
q: Cláudio fala alemão.
p v q: Cláudio fala inglês ou Cláudio fala alemão.
p ^ q: Cláudio fala inglês e Cláudio fala alemão.
p^~q: Cláudio fala inglês e Cláudio não fala alemão.
~p^~q: Cláudio não fala inglês e Cláudio não fala alemão.
~(~p^~q): Não é verdade que Cláudio não fala inglês e Cláudio não fala alemão.
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