Material Complementar para 4ªProcessual_CNI _EM_monitor

Material Complementar de Matemática /EM
Material do monitor
Caro monitor,
Preparamos este material para que possamos auxiliá-lo no desenvolvimento das
aulas 42, 43, 45, 46 e 47. Objetivamos que o uso deste material possa elucidar os
conteúdos trabalhados nas referidas aulas, e assim, proporcionar o preparo de nossos
alunos para aplicarem os conhecimentos desenvolvidos nas situações-problemas
propostas, permitindo o estabelecimento das relações entre o conhecimento e suas
aplicações.
Com este material esperamos que você trabalhe, de acordo com a Matriz de
Avaliação, o desenvolvimento das seguintes habilidades:
H12 – Aplicar conhecimentos da Geometria Analítica (distância ponto –ponto, distância
ponto-reta, equação da reta e equação da circunferência) na resolução de situaçõesproblemas.
H13 – Aplicar conhecimentos da trigonometria no triângulo (relações trigonométricas,
lei dos senos, lei dos cossenos) na resolução de situações-problemas.
Aula 42
As relações trigonométricas
As relações trigonométricas denominadas Leis dos senos e dos cossenos é aplicada a
um triângulo qualquer. As duas Leis relacionadas aos triângulos são aplicadas quando
temos ângulos ou lados desconhecidos em um triângulo qualquer.
Lei dos cossenos
A Lei dos cossenos apresenta a seguinte relação:
Lei dos cossenos :
c² = a² + b² - 2.a.b.cos Ĉ
Aplica-se a Lei dos cossenos quando conhecemos o valor de dois lados e de um
ângulo do triângulo.
Dado o triângulo ABC vamos determinar o valor do lado c, conhecendo o valor de
um ângulo e dos outros dois lados.
Sabendo que o lado BC (ou lado a) mede 4 unidades de medida e o lado AC ( ou
lado b) mede 3 unidades de medida .
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c² = a² + b² - 2.a.b.cos Ĉ
c² = 16 + 9 – 24.cos60°
c² = 4² + 3² - 2.4.3.cos60°
c² = 16 + 9 – 24.0,5
Observação:
c² = 25 – 12
c=
13
c² = 13
co-seno 60° = 0,5 em representação decimal
.
c = 3,60 (aproximadamente)
Concluímos então, que o lado c tem como medida aproximada 3,6 unidades de
medida.
A seguir, vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação
a Lei dos cossenos.
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sala
cozinha
Em uma residência deseja-se colocar uma antena, a mesma ficará no telhado na
direção da janela da sala, fornecendo assim sinal de transmissão para a sala e para a
cozinha. Quantos metros de fio serão necessários comprar no total, já que da antena
deverá partir uma fiação que levará a transmissão de sinal para sala e outra fiação que
levará a transmissão de sinal para a cozinha.
Resolução:
Temos algumas informações que podem nos ajudar na resolução do problema
proposto.
Vejamos:
Sabemos o valor do ângulo Ĉ = 60°
Sabemos o valor do segmento AC ( segmento b) = 2 m
Sabemos o valor do segmento BC (segmento a) = 2 m
Desejamos saber o valor do segmento ( segmento c) = ?
Como temos o valor de um ângulo e de dois lados de um triângulo, podemos aplicar a
Lei dos cossenos.
c² = a² + b² - 2.a.b.cos Ĉ
c² = 2² + 2² - 2.2.2.cos60
c² = 4 + 4 – 8 . 0,5
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c² = 8 – 8 . 0,5
c² = 8 – 4
c² = 4
c=
4
c=2
Agora, que já temos a medida do segmento c, pode-se concluir que será utilizado um
total de 4 metros de fiação. Pois, utilizaremos 2 metros da antena até a sala e mais 2
metros da antena até a cozinha.
Aula 43
Lei dos senos
A Lei dos senos apresenta entre seus ângulos e seus lados uma relação de
proporcionalidade.
Vejamos a utilização da Lei dos senos para encontrar o valor do lado desconhecido de
um triângulo qualquer.
Dado o triângulo ABC, vamos determinar o valor do lado c, sendo conhecidos os
valores dos ângulos e de dois dos lados.
Podemos observar que a Lei dos senos apresenta uma razão entre os lados e seus
ângulos correspondentes, as razões entre os três lados e seus respectivos ângulos
formam uma proporção.
Lei dos senos:
b
c
a
=
=
ˆ
sen senB senCˆ
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Utilizando a Lei dos senos para calcular o valor do lado AB (ou lado c). Sabendo que
o lado CA (ou lado b) mede 8 unidades de medida.
b
senBˆ
=
c
senCˆ
8
c
=
sen45 sen30
4 = c.0,70
8
c
=
0,70 0,5
c=
4
= 5,71
0,70
8. 0,5 = c. 0,70
Observações:
sen 45° = 0,70 em representação decimal
.
sen 30°= 0,5 em representação decimal.
Concluímos então, que o lado c tem como medida 5,71 unidades de medida.
A seguir vamos trabalhar a habilidade que acabamos de desenvolver com
relação a Lei dos senos.
Aplicando a Lei dos senos
A ilustração (1) abaixo apresenta um rio, deseja-se saber qual será o comprimento de
uma ponte que será construída com o objetivo de permitir aos pedestres que
realizem a travessia do rio. O cálculo do comprimento dessa ponte será permitido
aplicando a Lei dos senos, para tanto, vamos traçar às margens do rio um triângulo
(ilustração 2).
Para realizar a construção temos algumas informações:
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Sabe-se que do ponto A ao ponto B há 3 km.
Sabemos a medida de dois ângulos e de um dos lados do triângulo formado, podemos
então aplicar a Lei dos senos para encontrar o valor do comprimento da ponte.
O ângulo Ĉ mede 45°;
O ângulo B̂ mede 65°;
O lado AB mede 3 km;
Veja como será realizado este cálculo
O objetivo é determinar o valor do segmento AC, sendo assim utilizaremos as duas
últimas proporções.
Observações:
3
AC

sen45 sen65
3. sen 65° =
AC
. sen 45°
sen 45° = 0,70 em representação decimal
sen 65°= 0,90 em representação decimal
3. 0,90 =
AC . 0,70
3.0,90 =
AC . 0,7
AC
=
2,7
0,7
AC = 3,86 km
Sabemos agora que a distância entre o ponto A e o ponto C terá 3,86 Km
aproximadamente, ou seja, o comprimento da ponte deverá ter 3,86 km.
Geometria Analítica
A Geometria Analítica desenvolve seus estudos por meio da conciliação entre a
álgebra e a geometria. A seguir vamos trabalhar com algumas das importantes
relações estudadas em Geometria Analítica.
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Aula 45
Distância entre ponto e reta
Para iniciarmos o cálculo da distância entre reta e ponto, vamos utilizar o plano cartesiano.
y
r: 2x + 1 = 0
P
6
•
Distância da reta r
ao ponto P.
2
x
Temos a reta r e o ponto P, desejamos calcular qual é a distância entre a reta r e o
ponto P. Para tanto, vamos utilizar a seguinte expressão :
d=
ax p  by p  c
d=
d=
a ²  b²
4  0 1
40
5
2
d=
d=
2.2  0.6  1
2²  0²
Utilizamos o valor zero
porque essa equação não
tem o coeficiente b.
5
4
d = 2,5
A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação
à distância entre reta e ponto.
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O desenho a seguir representa a vista aérea de uma determinada ilha. Um grupo de
ambientalistas deseja saber qual é a distância entre os dois pontos que estão
marcados, estes representam pontos com sinais de desmatamento.
y
5
s: 2x + 1
x
4
Para auxiliar os cálculos, os ambientalistas submeteram a vista área da ilha a uma
representação no plano cartesiano, conforme ilustrado. A partir dessa representação,
auxiliada pelas coordenadas cartesianas, qual é a distância entre o ponto H e o ponto
pertencente a reta s, ambos apontados como sinais de desmatamento?
Resolução:
d=
d=
d=
ax0  by 0  c
a ²  b²
2.4  0.5  1
2²  0²
9
4
d=
d=
8  0 1
40
9
2
d = 4,5 Km
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Podemos concluir que a distância entre os pontos que apresentam sinais de
desmatamento é de 4,5 Km.
Equação reduzida da reta
Para determinarmos a equação reduzida da reta s vamos analisar o gráfico a seguir:
y
s
6
4
2
4
x
Para determinar a equação reduzida da reta vamos utilizar a seguinte expressão:
x  x1
y  y1

x 2  x1 y 2  y1
Identificaremos x1 e y1 como sendo as coordenadas (2,4).
Identificaremos x 2 e y 2 como sendo as coordenadas (4,6).
Aplicando a fórmula teremos:
x2 y4

42 64
x2 y4

2
2
2.( x  2)  2.( y  4)
2x  4  2 y  8
2x  4  8  2 y
2x  4  2 y
2x 4 2 y
 
2 2
2
Podemos cancelar o denominador, já
que temos o mesmo denominador nos
dois membros da equação.
Simplificamos todos os termos por 2,
para isolarmos a variável y.
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Logo, obteremos a equação da reta s: y = x  2
A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação
à equação reduzida da reta
Valores em reais
Em uma corrida de táxi é cobrado uma taxa fixa de R$10,00 mais 2,00 por quilômetro
rodado. Sabendo que o gráfico a seguir representa os valores cobrados pelo taxista
em algumas viagens, determine quanto ele deverá cobrar em uma viagem de 25 km.
Quilômetros rodados
Resolução:
Para resolver o problema proposto, vamos encontrar a equação da reta apresentada
no gráfico. Algumas informações do gráfico vão nos auxiliar na obtenção da equação
da reta.
Para calcular a equação da reta vamos utilizar a seguinte expressão:
x  x1
y  y1

x 2  x1 y 2  y1
De acordo com o gráfico, vamos considerar ( x1 , y1 ) = (1,12); ( x2 , y 2 ) = (2,14);
Aplicando a fórmula temos:
x  1 y  12

2  1 14  12
x  1 y  12

1
2
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2.( x  1)  1.( y  12)
2.x  2  1. y  12
Aplicando a distributiva temos
2.x  2  12  1. y



 Isolamos a variável y


2 x 10  y , obtemos a equação da reta.
Agora vamos utilizar essa equação para calcular o valor que será cobrado por 25
quilômetros rodados.
y = 2x + 10 (x representa os quilômetros rodados e y representa o valor que será
cobrado)
y = 2.25 + 10
y = 50 + 10
y = 60
Aula 46
Coeficiente angular da reta
Observe a figura a seguir:
k
Coeficiente angular é representado
pela tangente do ângulo de
inclinação da reta.
Para calcularmos o coeficiente angular da reta utilizamos a seguinte expressão:
m=
y 2  y1
, sendo x e y coordenadas de pontos que pertencem a reta.
x 2  x1
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Vejamos um exemplo:
Dados os pontos A (4,2) e B( 5,3) pertencentes a reta k , determine o seu coeficiente
de inclinação.
m=
y 2  y1
x 2  x1
m=
32
54
m=
1
1
m=1
Consultando a tabela trigonométrica, podemos verificar que o coeficiente angular do
valor 1 corresponde a tangente de 45°.
Ângulo
Tangente do
ângulo
0°
0
45°
1
30°
3
3
60°
3
90°

Fazendo um esboço da reta e do seu coeficiente angular temos a seguinte
representação gráfica:
y
k
5
Inclinação da reta igual a 45°
4
Inclinação da reta igual a 45°
x
2
3
Aula 47
Equação da circunferência
A equação reduzida da circunferência é dada pela seguinte expressão:
(x - a)² + (y – b)² = R² a partir dessa expressão vamos resolver algumas situações.
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1) Dada a equação (x – 4) + (y – 2)= 25 , determine o seu raio.
Resolução:
O raio da circunferência é igual a raiz quadrada do valor que está a direita do sinal de
igualdade. Logo raio igual a
25 , raio igual a 5.
2) Dada a equação (x – 4)² + (y – 6)² =25, determine se o ponto A (7,10) pertence a
circunferência.
Resolução:
Para resolver este tipo de problema, basta substituir as coordenadas do ponto na
equação dada.
( x – 4)² + ( y – 6)² = 25
substituindo as coordenadas do ponto
( 7 – 4)² + ( 10 – 6)² = 25
3² + 4² = 25
9 + 16 = 25
25 = 25
Podemos afirmar que o ponto A pertence a circunferência dada, já que substituindo as
coordenadas do ponto na equação, obtivemos o valor igual ao valor do raio ao
quadrado.
3) Determine a equação da circunferência com centro no ponto (2,3) e que é tangente
à reta z de equação 3x + 4y+ 2 = 0
Resolução:
Para determinarmos a equação da circunferência, dados o centro e uma reta tangente
a circunferência, vamos utilizar a expressão que nos permite calcular a distância entre
ponto e reta.
d=
d=
ax0  by 0  c
a ²  b²
3.2  4.3  2
3²  4²
d =
6  12  2
9  16
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d =
20
d =
25
20
=5
5
O valor obtido representa a distância entre a reta e o centro da circunferência, sendo o
mesmo considerado o raio. A partir desta informação, podemos obter a equação da
circunferência, levando em consideração que já temos as coordenadas do centro e a
medida do raio.
A equação será: ( x – 2)² + ( y – 3)² = 25
valor do raio elevado ao quadrado
Coordenada y do centro
Coordenada x do centro
A seguir vamos aplicar a habilidade que acabamos de desenvolver com relação
à equação geral da circunferência.
Em um jogo de futebol, o jogador 1 vai bater um falta, ele deverá tocar a bola para o
jogador que tiver no raio de 2 metros, conforme orientação de seu técnico. Levando
em consideração essa orientação, o jogador 1 visualizou que ele poderia tocar a bola
para o jogador 2 ou para o jogador 3. Mas, após o final do jogo seu técnico apontou
que ele não cumpriu sua ordem, já que a bola foi tocada para o jogador 3. O técnico
está correto, quando diz que a bola deveria ser tocada para o jogador 2 e não para o
3? ( levando em consideração que o toque de bola deveria ser para o jogador que
tivesse no raio de 2 metros).
Informações adicionais:
- o jogador 1 está localizado no centro de uma circunferência de equação
(x – 4)² + ( y – 4)² = 4.
- o jogador 2 está localizado no ponto de coordenadas ( 3,6).
- o jogador 3 está localizado no ponto de coordenadas ( 4,2).
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y
Jogador 2
Jogador 1
Jogador 3
x
Resolução:
Vamos utilizar a equação da circunferência e verificarmos se os pontos que
representam as localizações dos jogadores pertencem ou não a circunferência dada.
Jogador 2 - coordenadas ( 3,6)
Equação da circunferência: (x – 4)² + ( y – 4)² = 4
Vamos substituir as coordenadas x e y pelos valores que representam a localização do
jogador 2.
( 3 – 4)² + ( 6 – 4)² = 4
( - 1)² + 2² = 4
1+4=4
5≠4
Podemos verificar que o jogador 2 não está no raio de 2 metros do jogador 1, pois,
substituindo as coordenadas do jogador 2 na equação da circunferência, que
representa a localização do jogador 1, não obtivemos uma igualdade.
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Jogador 3 – coordenadas (4,2)
Equação da circunferência: (x – 4)² + (y – 4)² = 4
Vamos substituir as coordenadas x e y pelos valores que representam a localização do
jogador 3.
(x – 4)² + ( y – 4)² = 4
( 4 – 4)² + ( 2 – 4)² = 4
( 0)² + (-2)² = 4
0+4=4
4=4
Neste caso, verificamos que o jogador 3 está localizado no raio de 2 metros do
jogador 1, pois, substituindo as coordenadas de localização do jogador 3 na equação
da circunferência, que representa a localização do jogador 1, obtivemos uma
igualdade.
Portanto, o técnico não está correto em dizer que o toque deveria ser para o
jogador 2, pois o jogador que estava a uma distância de 2 metros do jogador 1
era exatamente o jogador 3.
Caro monitor,
A utilização deste material poderá acontecer posterior a finalização das aulas 42, 43,
45, 46 e 47, os exercícios aqui propostos poderão ser desenvolvidos pelos alunos em
casa, e em momento oportuno discutidas as resoluções em sala. Procuramos, com a
produção deste material, complementar as aulas já mencionadas e auxiliar nossos
alunos no preparo para a 4ª avaliação processual.
Referências Bibliográficas
GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa. São Paulo: FTD, 2005.
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