Exercícios de volume nono ano

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG
Áreas e Volumes
Conjuntos Numéricos
Engenharia
Profa: Alessandra Stadler Favaro Misiak
Cascavel – 2009
Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
Áreas
O conceito de região poligonal
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e
coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais.
Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e, além disso, uma região
poligonal pode conter "buracos".
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de
várias maneiras
O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.
2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma
área.
3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área
é a soma das áreas das n-regiões.
Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região
poligonal em regiões triangulares.
Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)
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2
Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
Unidade de área
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de
comprimento.
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
Área do Retângulo
A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de
altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o
retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de
área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da
base AB pelo número de unidades da altura BC. Assim:
A=b×h
Área do quadrado
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A
área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.
Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado
de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.
A = x²
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Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
Área do Paralelogramo
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o
segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto
do paralelogramo.
No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e
qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.
No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer
um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.
A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.
A=b×h
Área do losango
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida
da base pela medida da altura.
A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais.
A
d1 * D2
2
Área do trapézio
Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida B2 e uma altura
com medida h.
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Introdução ao Cálculo
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A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da
altura.
A
B1  b2   h
2
Área do Triângulo
A área de um triângulo qualquer é a metade do produto da medida da base pela medida da altura.
A
bh
2
^
Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ângulo ( C ) formado por eles:

a  b  sen(C )
A
2
 Conhecidos três lados (a, b e c):
p
A
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abc
2
p  ( p  a)  ( p  b)  ( p  c)
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Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
Área do Triângulo eqüilátero
No triangulo eqüilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes
(600, 600, 600) e toda altura é também mediana e bissetriz. Assim:
A
l2  3
4
Área do hexágono regular
O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos eqüiláteros. Assim:
 l2  3 
6
A  

4


Área do circulo regular
Área do círculo é o valor limite da seqüência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no
círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.
A    r2
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Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
EXERCÍCIOS:
1. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os lados indicados na figura abaixo.
Nessas condições, qual é a área do terreno?
2. Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20m e 14m, e a altura 11m. Nesse terreno,
construiu-se uma piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas
pedras. Qual área foi utilizada para colocar pedra?
3. Um campo de futebol tem 80 m de comprimento e 42 m de largura. Qual é a sua área?
4. O proprietário de uma casa quer transformar um quartinho em uma dispensa e quer azulejar
as paredes. As medidas desse cômodo são: 2 paredes de 2 m de comprimento por 2 m de
altura e outras 2 paredes de 1,5 m de comprimento por 2 m de altura, menos a medida da
porta de entrada que é de 1 m por 2 m de altura. Sabendo que os azulejos medem 20 cm por
20 cm. Quantos azulejos, no mínimo, devem ser comprados.
5.
Uma piscina tem 25 m de comprimento por 10 m de largura por 2 m de profundidade.
Quantos litros de água são necessários para enchê-la?
6. Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a área desse terreno.
7. Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m2 de área foram usadas peças quadradas de
15cm de lado. Quantas peças foram usadas?
8. A área de um trapézio é 39m2. A base maior mede 17m e a altura é 3m. Qual é a medida da
base menor?
9. O perímetro de um triângulo eqüilátero é 30cm. Calcule a área desse triângulo.
10. De uma chapa de alumínio foi recortada uma região retangular eqüilátera de lado 20cm. Qual
área dessa região foi recortada?
11. Qual é a área de toda a parte colorida da figura abaixo? E da área não pintada?
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Introdução ao Cálculo
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12. Calcule a área de uma região triangular limitada pelo triangulo cujos lados medem 4cm, 6cm e
8cm?
13. Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura.
14. Qual a área região triangular limitada pelo triangulo cujas as medidas estão indicadas na
figura ao lado?
15. Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a
área desse terreno.
16. A área de um triângulo eqüilátero é de 16 3 cm2. Nessas condições, qual é perímetro do
triângulo?
17. Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de lado
10cm.
18. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8cm. Qual é a área
desse piso?
19. Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono.
20. Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para
atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a seus clientes pizzas médias, também
de forma circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se os preços das pizzas médias e
grandes são proporcionais às suas áreas? ( raio da pizza grande 18cm e da média 12cm)
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Introdução ao Cálculo
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21. Um disco de cobre tem 20cm de diâmetro. Qual é a área desse disco?
22. Qual é a área da figura a seguir?
4m
4m
23. Quatro círculos de raios unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes
exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:
24. Na figura, ABCD é uma figura de lado igual a 8. Os arcos que limitam a região sombreada tem
raios iguais a 8 e seus centros em A e C. Calcule a área pintada.
B
A
C
D
25. Determine a área das figuras a seguir:
a)
10cm
b)
7cm
10cm
7cm
10cm
c)
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d)
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Introdução ao Cálculo
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26. Determine a área das figuras Hachuradas.
a)
b)
c)
d)
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Poliedros e Volumes
Poliedro
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam
este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As
interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n
lados.
Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas
menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o
segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.
Poliedros Regulares
Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que
significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.
Tetraedro
Hexaedro (cubo)
Octaedro
Características dos poliedros convexos
Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de
arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m:
Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.
Característica do
poliedro convexo
Relação de Euler
Número m de ângulos diedrais
Medida da característica
V+F=A+2
m=2A
Na tabela a seguir, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros
regulares convexos. Estes poliedros são conhecidos como poliedros de Platão.
Poliedro regular Cada face Faces Vértices Arestas Ângulos entre
convexo
é um
(F)
(V)
(A) as arestas (m)
triângulo
Tetraedro
4
4
6
12
equilátero
Hexaedro
quadrado
6
8
12
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Octaedro
Dodecaedro
Isocaedro
triângulo
equilátero
pentágono
regular
triângulo
equilátero
8
6
12
24
12
20
30
60
20
12
30
60
Prisma
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos
paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.
Prisma reto
Aspectos comuns
Bases são regiões poligonais
congruentes
Prisma oblíquo
A altura é a distância entre as
bases
Arestas laterais são paralelas
com as mesmas medidas
Faces laterais são
paralelogramos
Objeto
Arestas laterais
Prisma reto
têm a mesma medida
são perpendiculares
ao plano da base
são retangulares
Arestas laterais
Faces laterais
Prisma oblíquo
têm a mesma medida
são oblíquas
ao plano da base
não são retangulares
Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:
Prisma triangular Prisma quadrangular
Base:Triângulo
Seções de um prisma
Base:Quadrado
Prisma pentagonal
Prisma hexagonal
Base:Pentágono
Base:Hexágono
Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às
bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.
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Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a
mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas
iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.
Prisma regular
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.
Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um
prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.
Planificação do prisma
Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que
contêm as faces laterais e os planos das bases.
As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que
pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma
tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas
congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas
lateral e total.
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Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
Área da superfície do prisma
Em todo prisma, consideramos:
Área lateral (Al): é formada pela área da superfície lateral;
Área total (At): é formada pela área da superfície lateral e pelas bases;
EXEMPLOS:
1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm e a aresta da face lateral mede
6cm. Calcule:
a) área da base;
b) área lateral;
c) área total.
2. Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo.
Desprezando as abas, calcule aproximadamente, quantos m2 de papelão serão necessários.
3. Quantos cm2 de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10cm de
aresta?
4. Dispondo de uma folha de cartolina de 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se
construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha.
Quantos cm2 de material são necessários terá essa caixa?
Volume de um prisma
O volume de um poliedro correspondente à região de espaço limitada pelo poliedro. O volume de
um prisma é dado por:
V(prisma) = Abase.h
 Volume do paralelepípedo reto retangular:
V = a.b.c
 Volume do Hexaedro regular ou cubo:
V = a3
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Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
EXEMPLOS:
1. Qual o volume de concreto necessário para fazer uma laje de 20cm de espessura em uma
sala de 3m por 4m?
2. Quais são as medidas das arestas dos cubos cujos volumes são:
a) 125 dm3
b) 3 3 cm3
3. Sabendo-se que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa cúbica , calcule
o volume da mesma.
4. Qual o volume de areia que cabe em uma caixa de base hexagonal de aresta da base 11cm e
de altura 35cm ?
5. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo:
15cm
20cm
12 cm
25 cm
Introdução aos cilindros
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de
cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos
eles com formas cilíndricas.
Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?
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A Construção de cilindros
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de
reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a
reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.
Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena
considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao
cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente
escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a
diretriz.
Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado
reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que
contém a curva diretriz.
Objetos geométricos em um "cilindro"
Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:
1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro
existem duas bases.
2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as
bases do "cilindro".
4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas
bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva
diretriz.
5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os
pontos das bases do cilindro.
6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
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8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um
plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.
Classificação dos cilindros circulares
1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das
bases.
2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo
de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um
retângulo.
3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.
Área lateral e área total de um cilindro circular reto
Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:
Alateral = 2    r  h
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com
o dobro da área da base.
Atotal = Alateral + 2. Abase
Atotal = 2    r  h  2    r 2
Atotal = 2    r  (h  r )
Volume de um "cilindro"
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = Abase .h
Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:
V =   r2  h
Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r.
Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas
por:
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Alateral = 4    r 2
Abase =   r 2
Atotal = Alateral + 2. Abase = 6    r 2
Volume = Abase .h =   r 2  2r = 2    r 3
EXEMPLO
1. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o
seu volume.
2. Qual a capacidade de uma lata de refrigerante que tem a forma cilíndrica, com 7cm de diâmetro e
14 cm de altura?
3. Para fabricar uma caixa de lápis de cor, é preciso saber inicialmente qual é o volume de cada lápis.
Calcule então o volume de um lápis (sem apontar) que tem 8mm de diâmetro e 8cm de comprimento
e, em seguida, determine o valor aproximado de 20 lápis (use  = 3,14).
O conceito de cone
Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora
desse plano.
Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma
extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.
Elementos do cone
Em um cone, podem ser identificados vários elementos:
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1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o
segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na
curva que envolve a base.
5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma
extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com
um plano que contem o eixo do mesmo.
Classificação do cone
Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como
retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo
quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.
Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função
das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um
círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
Observações sobre um cone circular reto
Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um
triângulo retângulo em torno de um de seus catetos
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A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do
cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz
então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista"
na figura abaixo:
A área da base do cone é dada por:
Abase =   r 2
A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio
da base do cone):
Alateral =   r  g
A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da
base do cone):
Atotal =   r  g +   r 2 = =   r  ( g  h)
O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:
V=
1
  r2  h
3
Cones Equiláteros
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular
equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
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O volume do cone eqüilátero é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:
V=
1
  3  r3
3
A área lateral pode ser obtida por:
Alateral =   r  g =   r  2r = 2    r 2
E a área total será dada por:
Atotal = 3    r 2
EXEMPLOS
1. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Calcule a:
1. medida da sua geratriz;
2. área lateral;
3. área total;
4. o volume
2. Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é de
6cm e cuja altura é 10cm?
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EXERCÍCIOS
1.
Num paralelepípedo, as dimensões da base são 4cm e 7 cm. Sendo a altura do
paralelepípedo 5cm, determine o volume. Quanto material será usado para construir está caixa?
2.
Quantos litros de água são necessários para encher uma caixa d`água cujas dimensões são:
1,20m por 90cm por 1m? (lembre-se que 1m3 =1000l).
3.
Um cubo tem área de 96 m2. Qual é a medida da aresta do cubo? Determine seu volume.
4.
As bases de um prisma são triângulos eqüiláteros e a s faces laterais são regiões
retangulares. Determine a área total do prisma sendo 6cm a medida da aresta da base e 10cm a
medida da aresta lateral. Determine seu volume.
5.
Quantos cm2 de papel adesivo são gasto para cobrir a superfície total de uma peça sextavada
cuja a forma e medidas estão na figura abaixo? Qual o volume da peça?
6.
As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 5cm, 8cm e 12cm. Uma cavidade em
forma de prisma reto de base triangular de 3cm de lado, estende-se da base inferior à base superior
do paralelepípedo. Determine a área total da figura resultante (Contanto a parte de dentro e de
fora). Determine o volume do sólido resultante (sem o prima triangular).
7.
A área da base de um prisma regular de base hexagonal é de 12 3 cm2. Calcule a área
lateral, sabendo que a aresta lateral é o dobro da aresta da base.
8.
É dado um prisma pentagonal regular no qual a aresta da base mede 5cm e a aresta lateral
mede 10cm. Qual a área lateral do prisma?
9.
Quantos m2 de azulejo são necessários para revestir até o teto a s quatro paredes de uma
cozinha com as dimensões da figura ao lado? Sabe-se, também, que cada porta tem 1,60m2 de
área e a janela tem uma área de 2m2. Qual o volume dessa cozinha?
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Introdução ao Cálculo
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10. Qual é o volume em litros de uma caixa-d`água cúbica cuja aresta mede 120cm? Quanto
material cm2 de material é necessário para construir essa caixa?
11.
Qual é o volume de um cubo de aresta 5 3 ? E a área total?
12.
Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1000 dm3 de volume?
13. Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-d’água cúbica para que ela possa conter
8000 l de água?
14. Uma caixa de papelão tem o tipo e o tamanho da figura ao lado. Sua base é uma região
limitada por um trapézio isósceles de altura 20cm e de bases 10cm e 40cm. Quantos m2 de papelão
são necessários para se fazer uma caixa desse tipo? Determine o volume da caixa.
15. Três cubos de chumbo são com arestas de 6cm, 8cm e 10cm, respectivamente, são fundidas
em uma única peça cúbica. Qual é o volume da peça cúbica única? Qual é a medida da aresta?
Determine a área total.
16.
Calcule o volume de uma peça de metal cuja formas estão na figura abaixo:
17. Uma piscina tem as dimensões: 12m de comprimento, 7m de largura e 2,70m de
profundidade. Qual é a quantidade máxima em litros que essa piscina pode conter. Se para ladrilhar
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23
Introdução ao Cálculo
Engenharia FAG
a piscina foram usados azulejos quadrados de 20cm de lado. Quantas peças, aproximadamente,
foram usadas?
18. O volume de um prisma de base quadrada é 700cm3. O perímetro da base é de 40cm. Calcule
a altura o prisma e a área total.
19. Qual é a capacidade de uma lata que tem a forma cilíndrica, com 10cm de diâmetro e 20 cm
de altura? Quanto alumínio é gasto para construir esta lata/.
20. Um cilindro circular reto tem 10cm de altura e sua base tem 12cm de diâmetro. Determine a
área da base, área lateral, área total e seu volume.
21. Quantos centímetros quadrados de papel são necessários, aproximadamente, para a
fabricação de um cigarro, sabendo que o cigarro tem a forma cilíndrica cuja a base tem 8mm de
diâmetro e seu comprimento é de 8cm? Qual o volume do cigarro?
22. Um tanque cilíndrico tem 3m de profundidade. Sua base superior é aberta e tem 4m de
diâmetro. Quantos galões de tinta são necessários para pintar o interior desse tanque, se para cada
m2 gasta-se 1/ 4 de galão?
23. Duas latas tem a forma cilíndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da outra, mas seu
diâmetro é a metade do diâmetro da lata mais baixa. Em qual das duas latas se utiliza menos
material? Em qual a capacidade é maior?
24. Uma caneta esferográfica tem a forma cilíndrica. O raio da base é 6mm e o comprimento da
caneta 16cm. Quantos cm2 tem a superfície lateral dessa caneta? Qual é o volume de tinta que
cabe no interior dela?
25. Um cilindro reto tem 48π m2 de área total. A altura do cilindro é 5cm. Determine o volume do
cilindro. Qual é a sua área total?
26. Uma peça de madeira tem as dimensões e a forma da figura abaixo. Qual é o volume de
madeira empregado para fabricar essa peça?
27. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Determine sua área lateral e seu
volume.
28. Um cone tem 24cm de altura e o raio da base é igual a 8cm. Calcule;
a) a medida da geratriz;
c) a área total;
b) a área lateral;
d) seu volume.
29. A geratriz de um cone circular reto mede 10cm e o raio da base é igual a 4cm. Calcule:
c) a área total;
a) a medida da altura do cone;
d) seu volume.
b) a área lateral;
30. A área lateral de um cone é 24π cm2 e o raio de sua base é 4cm. Qual a área total do cone?
Determine o volume
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24
Introdução ao Cálculo
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31. Um tanque cônico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6m de diâmetro. Qual é o
volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido? Determine quantos m2 de
material foi utilizado para construir este tanque.
32. Qual é a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cônica cujo diâmetro é 8cm e
cuja a altura é 12cm? ( 1cm3 = 1ml)
33.
Determine a área da superfície esférica cujo raio é 6cm. Determine seu volume.
34.
Numa esfera o diâmetro é 10cm. Qual é a área da superfície dessa esfera?
35. Uma laranja tem a forma esférica de diâmetro 8cm. Qual é a área da casca da laranja? Qual é
seu volume?
36. Quantos de borracha (em cm2) se gasta para fazer a bola cuja medida do diâmetro é 30cm?
Qual é o volume de ar que cabe em seu interior?
37. Qual é a medida da superfície do hemisfério norte de uma esfera de 20m de diâmetro? E o
seu volume?
38. Sabemos que a bóia serve para orientar os navios na entrada do porto. Essa bóia é formada
por um hemisfério de 2m de diâmetro e por um cone de 80cm de altura. Qual é o volume da bóia?
39. Considere uma laranja como uma esfera de 12 gomos exatamente iguais. Se a laranja tem
8cm de diâmetro, qual é o volume de cada gomo?
40. Um reservatório tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro. Qual será o volume,
em litros, de um liquido que ocupe totalmente o reservatório?
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25
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CONJUNTOS
Notação e Representação:
Listagem dos elementos
Exemplo: {a; e; i; o; u}
Por meio de uma propriedade comum somente a seus elementos.
Exemplo: {x/x é vogal}
Graficamente pelo uso do diagrama de Euler-Venn.
A
.a
.e
.i
.o
Pertinência: .u
Indica quando um elemento  (pertence) ou  (não pertence) a um determinado conjunto.
Exemplo:
A = {a, e, i, o, u}
aA e bA
Inclusão
Indica quando um conjunto está contido (  ) ou não está contido (  ) em outro conjunto. Um
conjunto estará contido em outro se todos os elementos do primeiro conjunto pertencerem também
ao segundo conjunto. O primeiro será chamado de subconjunto do segundo.
Exemplo
A = {a, e, i, o, u)
B = {a, e, u}
C = {a, b, i, u}
B  A
C  A
y x
z x
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26
CONJUNTOS ESPECIAIS
Unitário – um único elemento
Exemplo: A = {x  R / 2x = 6} = {3}
Vazio – nenhum elemento
Exemplo: A = {x  N / 2x = 5} = 
Nota:   A,  A
Conjuntos das Partes de A
Conjuntos de todos os subconjuntos do conjunto A, sem esquecer o conjunto
vazio e o próprio conjunto A.
n PA   2nA 
Exemplo
A = {a, e, i}
P(A): {; {a}; {e}; {i}; {a, e}; {a, i}; {e, i}; {a, e, i}}
Igualdade de Conjuntos:
A = B  A B e B  A
Exemplo
{1, 2} = {2, 2, 1, 1, 2}
Operações entre Conjuntos:
União
A B  { x / x  A ou x  B }
A
Exemplo
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A B  {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A B
Intersecção
A  B  {x / x  A e x  B}
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4,}
B
Introdução ao Cálculo
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B = {3, 4, 5, 6}
A  B = {3, 4}
AB
Diferença
A – B = {x/ xA e x B}
Exemplo
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}
A – B = {1, 2}
B – A = {5, 6}
A–B
B–A
Conjuntos Complementares
Se B  A , temos:
C
B
A
=A–B
Números de Elementos da União de Conjuntos
Exemplos
1) Se A = {a, b, c, d, e, f} B = {d, e, f, g, h} então n(A  B) é?
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) = 6 + 5 – 3 = 8
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28
Introdução ao Cálculo
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2) Sendo A = {0; 1; 2; 3; 4} e B = {2; 4; 8}
• A  B = {0; 1; 2; 3; 4; 8}
• A  B = {2; 4}
• A – B = {0; 1; 3}
• B – A = {8}
3) Sendo A = {1; {2}; 3}, é correto afirmar que:
•1 A
• {2}  A
•3 A
• {1}  A
• {{2}}  A
• {3}  A
• {1; 3}  A
• {1; {2}}  A
• {{2}; 3}  A
•  A
•A  A
4)
(
(
(
(
Dado o conjunto A = {0; 1; 3; {3}}, verifique a veracidade das afirmações:
)0 A
( ) {0; 1}  A
)1  A
( )  A
) {3}  A
( ) A
) {3}  A
( )3 A
5) Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos de A = {0; 2; 4}
6) Considere o diagrama a seguir e complete:
 C=
 B=
 C=
 B  C=
 B=
 C=
 C=
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
B
A
A
A
A
A
B
29
Introdução ao Cálculo
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
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A  B  C=
A–B=
A–C=
B–C=
B–A=
C–A=
C–B=
7) (FAAP – SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram
somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os
dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?
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30
Introdução ao Cálculo
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Exercícios
1) Nas sentenças abaixo, assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F, as
falsas:
I) {2}  {0; 1; 2}
II)   {5; 6; 7}
III)   { ; 4}
IV) 5  }3; {5; 1}; 4}
V) {5; 6}  {5; 6; 7}
Nesta ordem, a alternativa correta é:
a) F, V, V, F, F
b) V, F, F, V, F
c) F, V, V, F, V
d) V, F, F, V, V
2) Sendo A = {{1}; {2}; {1;2}} pode-se afirmar que:
a) {1}  A
b) {1}  A
c) {1}  {2}  A
d) 2  A
e) {1}  {2}  A
3)
Se M = {1; 2; 3; 4; 5} e N são conjuntos tais que M  N = {1; 2; 3; 4; 5} e M  N =
{1; 2; 3}, então o conjunto N é:
a) Vazio
b) Impossível de determinar
c) {4; 5}
d) {1; 2; 3}
e) {1; 2; 3; 4; 5}
4) (FGV – SP) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos
de A é:
a) 8
b) 256
c) 6
d) 128
e) 100
5)
Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de
rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de samba nem de rock?
a) 800
b) 730
c) 670
d) 560
e) 430
6)
Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16 subconjuntos.
Se A  B tem 7 elementos, então A  B tem:
a)
b)
c)
d)
nenhum elemento
três elementos
dois elementos
um elemento
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31
Introdução ao Cálculo
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e) quatro elementos
7) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150
liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois
jornais. Quantas pessoas foram consultadas?
8) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2 000 pessoas usam os produtos A ou
B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao
mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?
9) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a
antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles tem o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o
antígeno AB. Nestas condições. pede-se o número de pacientes cujo sangue tem
o antígeno O.
10) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam
xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis; 11 jogam as três modalidades. O número de
pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei ?
b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei ?
c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez ?
11) Numa cidade são consumidos três produtos A, B e C. Feito um levantamento de
mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o seguinte resultado
disposto na tabela abaixo:
Números de
Produtos
consumidores
A
150
B
200
C
250
AeB
70
AeC
90
BeC
80
A, B e C
60
Nenhum dos três 180
a)Quantas pessoas consomem apenas o produto A ?
b)Quantas pessoas consomem o produto A ou o B ou o C ?
c)Quantas pessoas consomem o produto A ou o B ?
d) Quantas pessoas consomem apenas o produto C ?
e)Quantas pessoas foram consultadas ?
GABARITO:
01) A
02) E
03) D
04) B
05) E
06) B
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32
Introdução ao Cálculo
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CONJUNTOS NUMÉRICOS:
Números naturais
N = {0, 1, 2, 3, ...}
Números inteiros
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Números racionais

p
q

Q = x / x  , com p  Z, q  Z * 


Os inteiros são racionais, pois  3 
3
.
1
Os decimais exatos são racionais, pois 2,3056 =
23056
.
10000
As dízimas periódicas são racionais, pois 1,3232... = 1,32 =
131
.
99
Os números que não são racionais são denominados irracionais, por exemplo:
5 ,  , 1, 10, 100, 1000, 1...
Números reais
R = {x/x é racional ou x é irracional}
Nota: A  A  {0}; A  é o conjunto dos números inteiros não negativos, e A 
o conjunto dos números inteiros não positivos.
Intervalos
Intervalo Aberto
É um subconjunto do conjunto dos números reais x, tais que:
a<x<b
ou seja, números que estão entre a e b.
(a; b) = ]a; b[ = {x  IR | a < x < b}
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33
Introdução ao Cálculo
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Intervalo Fechado
É um subconjunto do conjunto dos números reais x, tais que:
axb
ou seja, números até b.
[a; b] = {x  IR/ a  x  b}
Exemplos
01) Se A = {x  IR / 2 < x < 5} e
B = {x  IR / 3 x  8}, determinar:
A  B; A  B; A – B; B – A
A
B
A  B
A
B
A  B
A
B
A–B
A
B
B–A
02) Usando a notação de conjuntos, escreva os seguintes intervalos que estão
representados a seguir.
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34
Introdução ao Cálculo
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Exercícios
01) Seja IR o conjunto dos números reais, IN, o conjunto dos números naturais e Q o
conjunto dos números racionais. Qual a afirmativa falsa?
a) Q  IN  IR
b) Q  IN  IR
c) Q  IN = IR
d) Q  IR = Q
e) Q  R  
02) Sejam os intervalos A = (-  ; 1],B = (0; 2] e C = [-1; 1]. O intervalo C  (A  B)
é:
a) (– 1; 1]
b) [-1; 1]
c) [ 0; 1]
d) (0; 1]
e) (–  ; – 1]
03) Se designarmos por [3; 4] o intervalo fechado, em IR, de extremidades 3 e 4, é
correto escrever:
a) {3; 4} = [3; 4]
b) {3; 4}  [3; 4]
c) {3; 4}  [3; 4]
d) {3; 4}  [3; 4]
e) n. d. a.
04) Dados os conjuntos:
A = {x  IN / 2  x  5}
B = {x  IN / x é ímpar e 1  x < 7}
C = {x  IN / 0 < x  3}
O conjunto-solução de (A – B)  (B – C) é:
a)
b)
c)
d)
e)
{1; 2}
{2; 4; 5}
{0; 1; 3; 5; 7}
{1; 2; 3; 4; 5}
{0; 4; 5}
05) Dados os intervalos A = (-2; 1] e B = [0; 2], então A  B e A  B, são
respectivamente:
a) (0; 1) e (– 2; 2)
b) [0; 1] e (– 2; 2]
c) [0; 1) e [– 2; 2]
d) (0; 1] e (– 2; 2]
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35
Introdução ao Cálculo
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e) [0; 1) e [– 2; 2)
06) Dado A = {x  IR | |x| = 2}, tem-se:
a) A  IN
b) A  IR+
c) A  Z+ = Z+
d) A  Z – = A
e) A  IN = {2}
07) Sejam A e B os seguintes subconjuntos de IR:
A = {x  IR / 2  x 5}
B = {x  IR / x < 4}
Então podemos afirmar que:
a) A – B  B
b) A – B  A
c) B – A  A
d) A – B = {x  IR / 2 < x <4}
e) B – A + {x  IR / x  5}
08) São dados os conjuntos
A = {x  IN / x é par}
B = {x  Z / -1  x < 6}
C = {x  IN / x  4}
O conjunto X, tal que X  B e B – X = A  C:
a) {0; 3; 5}
b) {1; 3; 5}
c) {0; 1; 3; 5}
d) {-1; 1; 3; 5}
e) {-1; 1; 3; 5; 6}
09) Dados os conjuntos
A = {x/x é número par}
B = {x/x é número inteiro}
C = {x/x é número ímpar}
A afirmativa falsa é:
a) (B  C)  A = B
b) (A  B)  C = B
c) (B  C)  A = B
d) (A  C)  B = B
e) (A  B)  C = B
10) Se A = {x  IN / x = 4n} com n  IN, então o número de elementos de A  B é:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) Impossível de determinar
GABARITO:
01) C
06) E
02) B
07) B
03) C
08) D
04) B
09) A
05) B
10) B
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36
Introdução ao Cálculo
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CURSO DE ENGENHARIA
EXERCÍCIOS –Conjuntos numéricos e Intervalos
1. Represente no eixo real cada um dos intervalos:
a ) 5,9 
b ) 3,5
c ) 1,8
d ) 0,5 
e )  4, 
f ) 3, 
g ) ,2
h ) , 4
2. Dados os intervalos A  3,5 e B   2,8  , determine:
a )A  B
b )A  B
3. Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos:
a ) x 
b )  ,2
1

c )  3, 
2

1  x  3
d ) x 
x  6
e ) x 
2  x  7

f )  5, 5
g ) x 

x  4
4. Associe V ou F a cada uma das seguintes afirmações:
a )2   2,6
b )  1  5,1
c )0  x 
1  x  1
d )3  x 
3  x  4
e ) 2,5  0,  
f ) 0,2  x 
0  x  2
g )  3  ,1
5. Dados A  x  1  x  1 e B  0,5 , determine:
a )A  B
b )A  B
c )A  B
d )B  A
6. Considere os conjuntos A  x  x  5 e B  x  x  1  0 . Quantos elementos
tem o conjunto A  B ?
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37