Um pouco de Geometria Hiperb´olica - MAT-UFG

Um pouco de Geometria Hiperbólica
Laurindo Daniel Silva da Rocha ([email protected])
Orientador: Prof. Dr. Daniel Vendrúscolo ([email protected])
III Bienal da SBM - IME/UFG - 2006
Resumo
O Modelo do Disco de Poincaré
O Postulado V de Euclides, durante muito tempo, causou certa desconfiança nos matemáticos, que acreditavam que este poderia ser provado
pelos axiomas da chamada ”Geometria Neutra”. O próprio Euclides
não estava muito certo de que este era realmente um axioma; isto é
mostrado pelo fato de que ele adiou o uso deste postulado em suas
provas, utilizando-o pela primeira vez apenas na sua 29a proposição.
Por cerca de 2000 anos matemáticos famosos tentaram, sem sucesso,
provar tal Postulado. Foi apenas no século XIX, por volta de 1829, que
ocorreu a descoberta de uma geometria autoconsistente, diferente da
Geometria Euclidiana. A descoberta desta geometria é devida a Carl
Friedrich Gauss, János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky. Tal
geometria é conhecida como Geometria Hiperbólica.
Neste trabalho estamos interessados em apresentar alguns importantes
resultados desta geometria, além de alguns modelos da mesma. Apresentaremos de forma especial o Modelo do Disco de Poincaré, já que
qualquer outro modelo para esta geometria nada mais é do que um
isomorfismo deste.
Fixado um cı́rculo γ no plano Euclidiano. Se O é o centro de γ e OR
é um raio, o interior de γ, por definição, consiste de todos os pontos
X tal que OX < OP . No modelo de Poincaré os pontos no interior
de γ representam pontos do plano hiperbólico.
Por este modelo a representação de retas é dada da seguinte forma:
Objetivo
O objetivo deste trabalho é estudar alguns resultados importantes
da Geometria Hiperbólica e demonstrar sua consistência apresentando
modelos onde todos os seus resultados são válidos.
O que é a Geometria Hiperbólica?
Por definição, Geometria Hiperbólica é a geometria construı́da
assumindo-se todos os axiomas da chamada Geometria Neutra e substituindo o postulado das paralelas de Hilbert por sua negação, o chamado
Axioma Hiperbólico.
Axioma Hiperbólico: Existe uma reta r e um ponto P fora de
r tal que ao menos duas retas paralelas distintas a r passam por
P.
Proposição 1: Retângulos não existem.
Teorema Hiperbólico Universal: Por toda reta r e todo ponto
P fora de r passam ao menos duas retas distintas paralelas a r.
Uma conseqüência imediata e muito importante deste teorema é que
por toda reta r e todo ponto P fora de r, existem infinitas retas paraleas
a r passando por P .
No que diz respeito a soma dos ângulos de um triângulo, o seguinte
resultado é fundamental na Geometria Hiperbólica.
Teorema 1: Todos os triângulos têm soma dos ângulos menor do
que 180o.
Um fato muito interessante na Geometria Hiperbólica é que é possı́vel
demonstrar que se dois triângulos são semelhantes, então eles são congruentes. Em outras palavras, o critério AAA para semelhança de
triângulos na Geometria Euclidiana é um critério válido para congruência de triângulos na Geometria Hiperbólica.
A Consistência da Geometria Hiperbólica
Os seguintes resultados mostram a consistência da Geometria
Hiperbólica:
Teorema Matemático: Se a Geometria Euclidiana é consistente, assim também é a Geometria Hiperbólica.
Corolário: Se a Geometria Euclidiana é consistente, então nenhuma prova ou refutação do postulado das paralelas pelo resto dos
axiomas de Hilbert será encontrada, isto é, o postulado das paralelas é independente dos outros postulados.
1. Todas as cordas abertas que passam pelo centro O de γ, isto é, todos
os diâmetros abertos r de γ.
2. T odos os arcos abertos de cı́rculos ortogonais a γ. Em outras
palavras, seja δ um cı́rculo ortogonal a γ (em cada um dos pontos de intersecção de γ e δ os raios de γ e δ são perpendiculares
naqueles pontos). Então intersectando δ com o interior de γ temos
um arco aberto s, que por definição representa uma reta hiperbólica
no modelo de Poincaré.
A noção de um ponto ”estar sobre” uma reta no plano hiperbólico
tem seu sentido Euclidiano usual. Semelhantemente, a noção de ”estar
entre” tem sua interpretação Euclidiana usual, ou seja, dados A, B e
C sobre um arco aberto contido num cı́rculo ortogonal δ com centro
→
→
→
P , B está entre A e C se P B está entre P A e P C.
Uma grande vantagem do modelo de Poincaré sobre outros modelos é
que a Congruência de Ângulos tem o sentido Euclidiano usual, ou
seja, se dois arcos se intersectam num ponto A, a medida (em graus)
do ângulo formado por eles é, por definição, a medida (em graus) do
ângulo formado entre as semi-retas tangentes a cada um dos arcos em
A.
No entanto, se um arco intersecta uma semi-reta ordinária em A, a
medida (em graus) do ângulo entre elas é, por definição, a medida
(em graus) do ângulo formado entre a semi-reta tangente e a semi-reta
ordinária.
Tendo estabelecido interpretações para todos os termos indefinidos de
Geometria Hiperbólica no modelo de Poincaré, temos (por substituição)
as interpretações de todos os termos definidos. Além disso, todos os
Axiomas da Geometria Hiperbólica são afirmações possı́veis de serem
demonstradas na Geometria Euclidiana. Desta forma, o modelo de
Poincaré é um outro modo de se provar que se a Geometria Euclidiana
é consistente, então a Geometria Hiperbólica também será.
A figura abaixo mostra as semi-retas limitantes paralelas no modelo
de Poincaré. Nela podemos observar que estas semi-retas aproximamse assintoticamente de r quando ela se aproxima dos pontos ideais
representados por A e B.
A próxima figura ilustra duas paralelas (no sentido do modelo de
Poincaré) com uma perpendicular em comum. Pelo diagrama é possı́vel
visualizar como s diverge de r sobre os lados da perpendicular comum.
Definição: Seja A e B pontos dentro de γ, e seja P e Q os extremos
das retas de Poincaré passando por A e B. Definimos razão-cruzada
(AB, P Q) por:
¯ )(BQ)
¯
(AP
(AB, P Q) = ¯
¯
(BP )(AQ)
¯ é o comprimento Euclidiano do segmento
(onde, por exemplo, AP
Euclidiano AP ). Definimos então o comprimento de Poincaré d(AB)
por
d(AB) = |log(AB, P Q)|
.
Com esta definição, dizemos que dois segmentos AB e CD de Poincaré
como congruentes se d(BA) = d(CD).
É possı́vel mostrar que a inversão no cı́rculo preserva a razão-cruzada.
Além disso, temos os seguintes resultados:
¯ = r(ed − 1)/(ed + 1), onde
Teorema 2: Se d(OB) = d, então OB
e é a base do logarı́tmo natural e r é o raio de γ.
Teorema 3: Dois triângulos no modelo de Poincaré são congruentes se, e somente se eles podem ser mapeados um sobre o outro
por uma sucessão de inversão em cı́rculos ortogonais a γ e/ou reflexões no diâmetro de γ.
Teorema 4: No modelo de Poincaré a fórmula para o ângulo de
paralelismo é e−d = tg[Π(d)/2].
Nesta fórmula e é a base do logarı́tmo natural. A função trigonométrica
tangente é definida analiticamente como sen/cos, onde o seno e o
cosseno são funções definidas por expansões das séries de Taylor.
Observação: A tangente não é interpretada como a razão entre
o cateto oposto e o adjacente no plano hiperbólico.
Conclusões
Vimos que, assim como a Geometria Euclidiana, a Geometria
Hiperbólica é consistente. Podemos então nos perguntar qual delas
representa melhor o espaço fı́sico em que vivemos. Esta questão é
motivo de muitas discussões filosóficas. É fato que a Geometria Euclidiana é muito útil quando se está trabalhando com distâncias não muito
grandes. Entretanto, quando se está trabalhando com distâncias muito
grandes a Geometria Euclidiana é menos satisfatótia que a Geometria
Hiperbólica. Por exemplo, quando se trabalha medindo distâncias entre
duas estrelas.
Se quisermos verificar, experimentalmente, se o Universo é Euclidiano
vamos conseguir provar apenas que ele é não-Euclidiano. Há quem
diga que o Universo é Hiperbólico e que os defectivos dos triângulos
terrestres são muito pequenos. Porém estas são discussões filosóficas e
a única coisa que de fato podemos afirmar é que, como disse Poincaré,
nenhuma geometria pode ser mais verdadeira do que a outra: ela
pode ser apenas mais conveniente.
Referências
Congruência no Modelo de Poincaré
Para que possamos definir congruência no modelo de Poincaré e verificar os axiomas de congruência, precisamos falar sobre a operação de
inversão num cı́rculo Euclidiano. Com esta operação poderemos interpretar a reflexão sobre uma reta no plano hiperbólico.
Definição: Seja γ um cı́rculo de raio r e centro O. Para todo ponto
P 6= O, o inverso P ′ de P em relação a γ é o único ponto P ′ sobre
→
¯ ′) = r2 (onde OP
¯ )(OP
¯ denota o compria semi-reta OP tal que (OP
mento do segmento OP em relação a uma unidade de medida fixada).
[1] GANS, D. An Introdution to Non-Euclidean Geometry, ACADEMIC PRESS, INC., London,(1973).
[2] GREENBERG, M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries:
Development and History, 3a ed., W.H. Freeman and Company, New
York, (1993).
[3] EVES, H. Introdução à História da Matemática, 2a ed., Editora
da UNICAMP,(1994).
[4] MARTIN,G. E. The Foundations of Geometry and the NonEuclidean Plane, Springer-Verlag, New York (1982).
[5] ROSENFELD, B. A. A History of Non-Euclidean Geometry:
Evolution of the Concept of a Geometric Space, Springer-Verlag,
New York,(1988).
[6] RYAN,J. P. Euclidean and Non-Euclidean Geometry: An Analytic Approach, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS, (1986)
Para que a congruência de segmentos seja definida neste modelo necessitamos da seguinte definição:
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