Henri Poincaré Cientista e Matemático Universalista

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Quem é Poincaré?
Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Henri Poincaré
Cientista e Matemático Universalista
Marcelo Viana
IMPA - Rio de Janeiro
Bienal de Matemática 2012
Marcelo Viana
Henri Poincaré
Quem é Poincaré?
Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Outline
1
Quem é Poincaré?
2
Sistemas Dinâmicos
3
Mecânica Celeste
4
Muito mais Ciência
5
Para saber mais
Marcelo Viana
Henri Poincaré
Quem é Poincaré?
Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Legado
Vida
Obra
Jules-Henri Poincaré (1854-1912)
“La pensée n’est qu’un éclair au milieu d’une longue nuit.
Mais c’est cet éclair qui est tout.”
Henri Poincaré
Marcelo Viana
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Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Legado
Vida
Obra
Henri Poincaré
Contribui para a maioria das disciplinas da Matemática e
cria novas disciplinas: Teoria das Funções Automorfas,
Topologia Algébrica, Sistemas Dinâmicos.
Abre o caminho para a Teoria das Funções de Várias
Variáveis Complexas e para a Análise Assintótica.
Revoluciona a Mecânica Celeste, descobrindo o ‘caos’.
Encontra novos equilı́brio dos astros e propõe um novo
mecanismo para a formação das estrelas duplas.
É um dos fundadores da Teoria da Relatividade Restrita,
de cujas consequências para o movimento dos planetas
se apercebe.
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Henri Poincaré
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Vida
Obra
Henri Poincaré
Influencia o desenvolvimento da Fı́sica do seu tempo,
participando ativamente nos grandes debates, propondo
explicações e sugerindo novos experimentos.
É professor excepcional. Ensina (na Sorbonne, na École
Polytechnique etc) temas muito variados na vanguarda da
Matemática e da Fı́sica.
Seus cursos são quase sempre redigidos e publicados,
contribindo para aprimorar e divulgar as novas teorias de
Boltzmann, Maxwell, Lorentz e outros.
Atua frequentemente como perito cientı́fico do governo e
da justiça (por exemplo, no famoso processo Dreyfus).
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Vida
Obra
Henri Poincaré
Participa ativamente nos grandes debates filosóficos do
seu tempo. Publica obras de Filosofia da Ciência que
alcançam grande popularidade entre o grande público.
É excepcional divulgador da Ciência.
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Vida
Obra
Henri Poincaré
Nasce em Nancy em 29 de abril de 1854. Seu pai é
decano da Faculdade de Medicina.
Em 1860 nasce seu primo Raymond Poincaré, que será
Primeiro Ministro e Presidente da República da França.
Primeiro colocado no vestibular da École Polytechnique,
em 1873, e da École des Mines, em 1875. Termina a
graduação em 1876.
Em 1879 trabalha como Engenheiro de Minas, obtém o
doutorado em Matemática pela Universidade de Paris e
torna-se professor na Universidade de Caen.
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Vida
Obra
Henri Poincaré
Casa em 1881 com Louise Poulain d’Andecy. O casal terá
quatro filhos: Jeanne, Yvonne, Henriette e Léon.
Professor na Sorbonne, ensina Mecânica, Fı́sica
Matemática, Cálculo das Probabilidades, Astronomia
Matemática e Mecânica Celeste.
Desde 1883 também é professor na École Polytechnique.
Ensina Análise e, mais tarde, Astronomia Geral.
A partir de 1902 ensina Eletricidade Teórica na École
Professionelle Supérieure des Postes et Telegraphes.
Resolve a famosa ‘equação dos telegrafistas’.
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Sistemas Dinâmicos
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Legado
Vida
Obra
Henri Poincaré
Eleito membro da Academia das Ciências em 1887 e do
Bureau des Longitudes em 1893. Nomeado Engenheiro
Chefe de Minas.
Presidente da Sociedade Francesa de Matemática em
1886 e 1900 da Sociedade Francesa de Fı́sica em 1902.
Presidente do Bureau des Longitudes, três vezes.
Juntamente com Émile Zola, Anatole France, George
Clemenceau e outros intelectuais franceses, defende
publicamente o capitão Alfred Dreyfus.
Morre em Paris em 17 de julho de 1912. Em 1928 é criado
o Institut Henri Poincaré, em Paris. A Universidade de
Nancy 1 passa a ter o seu nome em 1994.
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Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
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Legado
Vida
Obra
Henri Poincaré
Œuvres Scientifiques (Gauthier-Villars), 10 volumes:
1
Equações diferenciais
2
Funções automorfas
3
Integração algébrica de equações diferenciais
4
Funções analı́ticas de uma ou mais variáveis
5
Aritmética
6
Geometria algébrica, topologia algébrica
7
Mecânica analı́tica, mecânica celeste
8
Mecânica celeste e geodesia
9
Fı́sica matemática, fı́sica teórica
10
Fı́sica matemática, fı́sica teórica
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Legado
Vida
Obra
Henri Poincaré
A bibliografia de Henri Poincaré listada por Felix Browder em
The mathematical heritage of Poincaré, vol II contém 547
trabalhos, entre livros, artigos, notas de cursos, coletâneas,
discursos, apresentações etc.
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Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Equações diferenciais
dX
= F (X ), X ∈ Rd
dt
Antes de Poincaré, a teoria das equações diferenciais se
resume a:
‘receitas’ avulsas para resolver analiticamente certas
equações e
rudimentos de teoria local: comportamento das soluções
perto de um ponto estacionário.
Poincaré dá importantes contribuições à teoria local na sua
tese de doutorado, realizada sob a orientação de Hermite.
Esse trabalho dará origem à Análise Assintótica.
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Para saber mais
Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Equações diferenciais
dX
= F (X ), X ∈ Rd
dt
Antes de Poincaré, a teoria das equações diferenciais se
resume a:
‘receitas’ avulsas para resolver analiticamente certas
equações e
rudimentos de teoria local: comportamento das soluções
perto de um ponto estacionário.
Poincaré dá importantes contribuições à teoria local na sua
tese de doutorado, realizada sob a orientação de Hermite.
Esse trabalho dará origem à Análise Assintótica.
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Muito mais Ciência
Para saber mais
Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Equações diferenciais
Mas a grande maioria das equações diferenciais não pode ser
resolvida analiticamente... E Poincaré compreende que
o grande objetivo deve ser o estudo do comportamento
global das soluções;
a expressão explı́cita de uma dada solução (supondo que
seja possı́vel encontrá-la) provavelmente não terá muita
utilidade para esse fim.
Por isso, ele defende que mais importante do que ‘resolver’
uma equação é descrever qualitativamente o comportamento
das suas soluções.
Em Mémoire sur les courbes définies par une équation
différentielle (1881) ele fornece diversas ferramentas para tal.
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Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Equações diferenciais
Mas a grande maioria das equações diferenciais não pode ser
resolvida analiticamente... E Poincaré compreende que
o grande objetivo deve ser o estudo do comportamento
global das soluções;
a expressão explı́cita de uma dada solução (supondo que
seja possı́vel encontrá-la) provavelmente não terá muita
utilidade para esse fim.
Por isso, ele defende que mais importante do que ‘resolver’
uma equação é descrever qualitativamente o comportamento
das suas soluções.
Em Mémoire sur les courbes définies par une équation
différentielle (1881) ele fornece diversas ferramentas para tal.
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Para saber mais
Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Teorema de Poincaré-Hopf
Equações diferenciais polinomiais no plano (ou na esfera)
dx dy
,
= (P(x, y ), Q(x, y))
dt dt
têm 3 tipos genéricos de pontos estacionários:
Nó
Sela
Foco
Teorema
N − S + F = 2, quaisquer que sejam P(x, y) e Q(x, y ).
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Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Teorema de Poincaré-Hopf
Esse teorema será generalizado por Einz Hopf em 1926, para
todo campo de vetores diferenciável numa variedade
compacta.
Antes disso, Poincaré generaliza a fórmula de Euler para
variedades de qualquer dimensão (via números de Betti).
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Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Problema do centro
Poincaré está interessado em outro tipo de ponto estacionário,
que é raro mas importante para sistemas com conservação da
energia: o centro.
Problema
Quais campos de vetores (conservativos) admitem centros?
O teorema de Poincaré-Lyapunov dá uma condição necessária
e suficiente, para campos de vetores analı́ticos.
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Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Problema do centro
Poincaré está interessado em outro tipo de ponto estacionário,
que é raro mas importante para sistemas com conservação da
energia: o centro.
Problema
Quais campos de vetores (conservativos) admitem centros?
O teorema de Poincaré-Lyapunov dá uma condição necessária
e suficiente, para campos de vetores analı́ticos.
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Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Teorema de Poincaré-Bendixson
dx dy
,
dt dt
= (P(x, y ), Q(x, y))
Teorema
Seja ω(x, y ) o conjunto de acumulação, quanto o tempo vai
para +∞, da solução que passa por (x, y). Então,
1
ω(x, y ) = um ponto de equilı́brio
2
ω(x, y ) = uma solução periódica (ciclo limite)
3
ω(x, y ) = um grafo
Generalizado por Ivar Otto Bendixson para campos de vetores
diferenciáveis do plano ou da esfera.
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Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Teorema de Poincaré-Bendixson
A demonstração é uma combinação de dois ingredientes:
o Teorema da Curva Fechada de Jordan
a noção de ‘transformação de Poincaré’ de uma equação
diferencial:
16o problema de Hilbert
Qual é o número máximo de ciclos limite de um campo de
vetores polinomial de grau d ≥ 2?
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Teoria qualitativa
Algumas ferramentas
Teorema de Poincaré-Bendixson
A demonstração é uma combinação de dois ingredientes:
o Teorema da Curva Fechada de Jordan
a noção de ‘transformação de Poincaré’ de uma equação
diferencial:
16o problema de Hilbert
Qual é o número máximo de ciclos limite de um campo de
vetores polinomial de grau d ≥ 2?
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Muito mais Ciência
Para saber mais
Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Estabilidade do Sistema Solar
Newton prova que, se ignorarmos a interação gravitacional
entre os planetas, a Lei de Gravitação implica que os planetas
se movem em órbitas elı́ticas com o Sol num dos focos, tal
como proposto por Kepler.
Laplace, Leverrier, Adams e outros grandes astrônomos obtêm
solucões cada mais precisas, incorporando sucessivamente as
interações entre os maiores planetas (Júpiter, Saturno, Urano).
Assim é descoberto Netuno, por Johann Galle.
Isto conduz a tentar obter as soluções do problema na forma
de expansão em séries trigonométricas (‘séries de Lindstedt’).
É tomado como fato que estas séries convergem.
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Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Estabilidade do Sistema Solar
Newton prova que, se ignorarmos a interação gravitacional
entre os planetas, a Lei de Gravitação implica que os planetas
se movem em órbitas elı́ticas com o Sol num dos focos, tal
como proposto por Kepler.
Laplace, Leverrier, Adams e outros grandes astrônomos obtêm
solucões cada mais precisas, incorporando sucessivamente as
interações entre os maiores planetas (Júpiter, Saturno, Urano).
Assim é descoberto Netuno, por Johann Galle.
Isto conduz a tentar obter as soluções do problema na forma
de expansão em séries trigonométricas (‘séries de Lindstedt’).
É tomado como fato que estas séries convergem.
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Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Estabilidade do Sistema Solar
Newton prova que, se ignorarmos a interação gravitacional
entre os planetas, a Lei de Gravitação implica que os planetas
se movem em órbitas elı́ticas com o Sol num dos focos, tal
como proposto por Kepler.
Laplace, Leverrier, Adams e outros grandes astrônomos obtêm
solucões cada mais precisas, incorporando sucessivamente as
interações entre os maiores planetas (Júpiter, Saturno, Urano).
Assim é descoberto Netuno, por Johann Galle.
Isto conduz a tentar obter as soluções do problema na forma
de expansão em séries trigonométricas (‘séries de Lindstedt’).
É tomado como fato que estas séries convergem.
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Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Estabilidade do Sistema Solar
Problema
O Sistema Solar é estável?
Newton achava que não: ele acreditava que o funcionamento
do Sistema Solar requer intervenção regular de Deus.
Na época de Poincaré esse problema está ligado à questão da
convergência das séries de Linstedt. Ele viria a se estender ao
longo do século 20 e as respostas ainda são parciais:
teoria de Kolmogorov, Arnold, Moser (1954-1962)
simulações numéricas de Jacques Laskar (1990).
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Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Estabilidade do Sistema Solar
Problema
O Sistema Solar é estável?
Newton achava que não: ele acreditava que o funcionamento
do Sistema Solar requer intervenção regular de Deus.
Na época de Poincaré esse problema está ligado à questão da
convergência das séries de Linstedt. Ele viria a se estender ao
longo do século 20 e as respostas ainda são parciais:
teoria de Kolmogorov, Arnold, Moser (1954-1962)
simulações numéricas de Jacques Laskar (1990).
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Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Prêmio do Rei Oskar II
Em 1885, o rei Oskar II da Suécia e Noruega anuncia um
prêmio para ‘uma descoberta importante no domı́nio da análise
matemática superior’. A entrega será em 21 de abril de 1889,
aniversário de 60 anos do rei.
Por trás da proposta está o matemático sueco Magnus Gösta
Mittag-Leffler, que preside o júri. Os outros membros do júri
são Karl Weierstrass e Charles Hermite.
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Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Prêmio do Rei Oskar II
O júri seleciona quatro temas. Instado a participar, Poincaré
escolhe o estudo do comportamento de um sistema formado
por um número qualquer de corpos que se atraem mutuamente
segundo a lei de Newton, incluindo o problema da estabilidade
do Sistema Solar.
Mesmo sem resolver o problema (de fato, ele ‘só’ trata algumas
questões do chamado problema restrito dos três corpos), o
trabalho de Poincaré ganha facilmente o prêmio de Kr$ 2.500.
O artigo com os seus resultados, intitulado Sur le problème des
trois corps et les équations de la dynamique será publicado na
revista Acta Mathematica, dirigida por Mittag-Leffler.
Marcelo Viana
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Prêmio de Oskar II
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Caos determinı́stico
Prêmio do Rei Oskar II
O júri seleciona quatro temas. Instado a participar, Poincaré
escolhe o estudo do comportamento de um sistema formado
por um número qualquer de corpos que se atraem mutuamente
segundo a lei de Newton, incluindo o problema da estabilidade
do Sistema Solar.
Mesmo sem resolver o problema (de fato, ele ‘só’ trata algumas
questões do chamado problema restrito dos três corpos), o
trabalho de Poincaré ganha facilmente o prêmio de Kr$ 2.500.
O artigo com os seus resultados, intitulado Sur le problème des
trois corps et les équations de la dynamique será publicado na
revista Acta Mathematica, dirigida por Mittag-Leffler.
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Prêmio de Oskar II
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Caos determinı́stico
Prêmio do Rei Oskar II
O júri seleciona quatro temas. Instado a participar, Poincaré
escolhe o estudo do comportamento de um sistema formado
por um número qualquer de corpos que se atraem mutuamente
segundo a lei de Newton, incluindo o problema da estabilidade
do Sistema Solar.
Mesmo sem resolver o problema (de fato, ele ‘só’ trata algumas
questões do chamado problema restrito dos três corpos), o
trabalho de Poincaré ganha facilmente o prêmio de Kr$ 2.500.
O artigo com os seus resultados, intitulado Sur le problème des
trois corps et les équations de la dynamique será publicado na
revista Acta Mathematica, dirigida por Mittag-Leffler.
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Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
O erro de Poincaré
Mas... ao final da revisão o jovem Lars Edvard Phragmén
descobre um erro no artigo! Poincaré confirma que o erro é
sério e que ele compromete boa parte do trabalho.
Mittag-Leffler fica muito preocupado. A sua própria reputação,
que ele tanto preza, está em risco...
Para piorar a situação, Weierstrass faz questão que o erro seja
mencionado no relatório final do júri.
Marcelo Viana
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Caos determinı́stico
O erro de Poincaré
Mas... ao final da revisão o jovem Lars Edvard Phragmén
descobre um erro no artigo! Poincaré confirma que o erro é
sério e que ele compromete boa parte do trabalho.
Mittag-Leffler fica muito preocupado. A sua própria reputação,
que ele tanto preza, está em risco...
Para piorar a situação, Weierstrass faz questão que o erro seja
mencionado no relatório final do júri.
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Muito mais Ciência
Para saber mais
Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
O erro de Poincaré
Mittag-Leffler parte para recuperar (quase) todas as cópias da
Acta Mathematica que já tinham sido distribuı́das e informa
Poincaré de que ele terá que pagar a reimpressão.
Sem questionar, Poincaré paga Kr$ 3.585 (Kr$ 1.000 mais do
que o prêmio!). A edição corrigida é impressa e divulgada.
O idoso Weierstrass não encontra a ocasião para escrever o
relatório final do júri e Mittag-Leffler ‘esquece’ de fazê-lo.
Poincaré recebe enfim o prêmio.
Marcelo Viana
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Sistemas Dinâmicos
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Muito mais Ciência
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Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
O erro de Poincaré
Mittag-Leffler parte para recuperar (quase) todas as cópias da
Acta Mathematica que já tinham sido distribuı́das e informa
Poincaré de que ele terá que pagar a reimpressão.
Sem questionar, Poincaré paga Kr$ 3.585 (Kr$ 1.000 mais do
que o prêmio!). A edição corrigida é impressa e divulgada.
O idoso Weierstrass não encontra a ocasião para escrever o
relatório final do júri e Mittag-Leffler ‘esquece’ de fazê-lo.
Poincaré recebe enfim o prêmio.
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Caos determinı́stico
O erro de Poincaré
Mittag-Leffler parte para recuperar (quase) todas as cópias da
Acta Mathematica que já tinham sido distribuı́das e informa
Poincaré de que ele terá que pagar a reimpressão.
Sem questionar, Poincaré paga Kr$ 3.585 (Kr$ 1.000 mais do
que o prêmio!). A edição corrigida é impressa e divulgada.
O idoso Weierstrass não encontra a ocasião para escrever o
relatório final do júri e Mittag-Leffler ‘esquece’ de fazê-lo.
Poincaré recebe enfim o prêmio.
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Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Méthodes nouvelles
O artigo de Poincaré virá a dar origem à obra em 3 volumes
Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, publicada
entre 1892 e 1899.
Poincaré confirma que as séries de Lindstedt são divergentes,
em geral, mas também explica que nem por isso elas deixam
de ser úteis. O problema da estabilidade continua aberto.
As Méthodes nouvelles contêm muitos outros avanços que vão
incorporar a nova disciplina de Sistemas Dinâmicos. E, ao final
das contas, o erro conduz Poincaré a descobrir o fenômeno
chamado caos determinı́stico.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
Quem é Poincaré?
Sistemas Dinâmicos
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Estabilidade do Sistema Solar
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Caos determinı́stico
Méthodes nouvelles
O artigo de Poincaré virá a dar origem à obra em 3 volumes
Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, publicada
entre 1892 e 1899.
Poincaré confirma que as séries de Lindstedt são divergentes,
em geral, mas também explica que nem por isso elas deixam
de ser úteis. O problema da estabilidade continua aberto.
As Méthodes nouvelles contêm muitos outros avanços que vão
incorporar a nova disciplina de Sistemas Dinâmicos. E, ao final
das contas, o erro conduz Poincaré a descobrir o fenômeno
chamado caos determinı́stico.
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Caos determinı́stico
Méthodes nouvelles
O artigo de Poincaré virá a dar origem à obra em 3 volumes
Les méthodes nouvelles de la Mécanique Céleste, publicada
entre 1892 e 1899.
Poincaré confirma que as séries de Lindstedt são divergentes,
em geral, mas também explica que nem por isso elas deixam
de ser úteis. O problema da estabilidade continua aberto.
As Méthodes nouvelles contêm muitos outros avanços que vão
incorporar a nova disciplina de Sistemas Dinâmicos. E, ao final
das contas, o erro conduz Poincaré a descobrir o fenômeno
chamado caos determinı́stico.
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Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Teorema de recorrência
Poincaré prova que o seguinte teorema de estabilidade:
Teorema
Quase toda a trajetória do problema restrito dos 3 corpos
regressa arbitrariamente perto da sua posição inicial.
Esta conclusão vale para qualquer sistema que preserva uma
medida finita (teorema de recorrência de Poincaré).
Embora a demonstração seja bastante curta, trata-se de um
resultado profundo, que está na origem da Teoria Ergódica.
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Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Teorema de recorrência
Poincaré prova que o seguinte teorema de estabilidade:
Teorema
Quase toda a trajetória do problema restrito dos 3 corpos
regressa arbitrariamente perto da sua posição inicial.
Esta conclusão vale para qualquer sistema que preserva uma
medida finita (teorema de recorrência de Poincaré).
Embora a demonstração seja bastante curta, trata-se de um
resultado profundo, que está na origem da Teoria Ergódica.
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Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Soluções periódicas
Poincaré encontra diversas soluções periódicas do problema
restrito dos 3 corpos. O assunto é clássico (Newton, Euler,
Jacobi, Hill) e continua sendo tema de pesquisa nos dias de
hoje (Moore 1993, Chenciner e Montgomery 2001 etc).
Mas para Poincaré ele é parte de uma proposta abrangente e
inovadora:
Aliás, o que torna estas soluções periódicas tão preciosas é que elas são,
por assim dizer, as únicas brechas por onde podemos tentar penetrar num
local que até aqui pensavamos ser inatingı́vel.
Hadamard: ... foi Poincaré quem mostrou que as soluções periódicas são um
instrumento, um dos mais poderosos de que dispomos, para a pesquisa e o
estudo das demais soluções.
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Méthodes nouvelles
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Soluções periódicas
Poincaré encontra diversas soluções periódicas do problema
restrito dos 3 corpos. O assunto é clássico (Newton, Euler,
Jacobi, Hill) e continua sendo tema de pesquisa nos dias de
hoje (Moore 1993, Chenciner e Montgomery 2001 etc).
Mas para Poincaré ele é parte de uma proposta abrangente e
inovadora:
Aliás, o que torna estas soluções periódicas tão preciosas é que elas são,
por assim dizer, as únicas brechas por onde podemos tentar penetrar num
local que até aqui pensavamos ser inatingı́vel.
Hadamard: ... foi Poincaré quem mostrou que as soluções periódicas são um
instrumento, um dos mais poderosos de que dispomos, para a pesquisa e o
estudo das demais soluções.
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Caos determinı́stico
Soluções periódicas
Poincaré encontra diversas soluções periódicas do problema
restrito dos 3 corpos. O assunto é clássico (Newton, Euler,
Jacobi, Hill) e continua sendo tema de pesquisa nos dias de
hoje (Moore 1993, Chenciner e Montgomery 2001 etc).
Mas para Poincaré ele é parte de uma proposta abrangente e
inovadora:
Aliás, o que torna estas soluções periódicas tão preciosas é que elas são,
por assim dizer, as únicas brechas por onde podemos tentar penetrar num
local que até aqui pensavamos ser inatingı́vel.
Hadamard: ... foi Poincaré quem mostrou que as soluções periódicas são um
instrumento, um dos mais poderosos de que dispomos, para a pesquisa e o
estudo das demais soluções.
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Quem é Poincaré?
Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Último teorema de Poincaré
Poincaré desenvolve vários métodos para construir soluções
periódicas. Alguns meses antes de morrer ele encontra:
f(y)
f(x)
y
x
Teorema (provado por George Birkhoff em 1913)
Seja f : A → A um homeomorfismo do anel que preserva área
e roda os dois bordos em sentidos contrários. Então f tem dois
ponto fixos, pelo menos.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Muito mais Ciência
Para saber mais
Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Existência de geodésicas fechadas
Poincaré interessa-se por este tema por ser ‘o mais simples de
todos os problemas de Dinâmica’: ele contém a ‘dificuldade
principal’ do teorema dos 3 corpos mas está ‘livre de todas as
dificuldades secundárias’.
Em Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (1905),
ele prova que toda superfı́cie convexa tem alguma geodésica
simples fechada.
George Birkhoff prova que qualquer métrica riemanniana numa
esfera S d possui pelo menos uma geodésica fechada (toda
superfı́cie convexa é difeomorfa à esfera S 2 ).
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Existência de geodésicas fechadas
Poincaré interessa-se por este tema por ser ‘o mais simples de
todos os problemas de Dinâmica’: ele contém a ‘dificuldade
principal’ do teorema dos 3 corpos mas está ‘livre de todas as
dificuldades secundárias’.
Em Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (1905),
ele prova que toda superfı́cie convexa tem alguma geodésica
simples fechada.
George Birkhoff prova que qualquer métrica riemanniana numa
esfera S d possui pelo menos uma geodésica fechada (toda
superfı́cie convexa é difeomorfa à esfera S 2 ).
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Estabilidade do Sistema Solar
Prêmio de Oskar II
Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Infinitas geodésicas fechadas
Para variedades com grupo fundamental suficientemente rico,
é possı́vel provar a existência de infinitas geodésicas fechadas
usando Teoria de Morse (mı́nimos da função comprimento).
Em 1993, Victor Bangert – baseado em trabalhos de Poincaré,
Birkhoff, Lyusternik, Schnirelmann, Ballmann, Franks etc –
prova que qualquer métrica riemanniana em S 2 admite infinitas
geodésicas fechadas.
No caso das esferas S d com d > 2 essa questão está aberta.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Caos determinı́stico
Infinitas geodésicas fechadas
Para variedades com grupo fundamental suficientemente rico,
é possı́vel provar a existência de infinitas geodésicas fechadas
usando Teoria de Morse (mı́nimos da função comprimento).
Em 1993, Victor Bangert – baseado em trabalhos de Poincaré,
Birkhoff, Lyusternik, Schnirelmann, Ballmann, Franks etc –
prova que qualquer métrica riemanniana em S 2 admite infinitas
geodésicas fechadas.
No caso das esferas S d com d > 2 essa questão está aberta.
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Méthodes nouvelles
Caos determinı́stico
Pontos homoclı́nicos
Na busca para compreender o erro no seu trabalho, Poincaré
descobre o fenômeno dos pontos homoclı́nicos. Sabemos
agora que ele está na origem do chamado caos determinı́stico.
“É impressionante a complexidade desta figura, que eu nem mesmo tento
traçar. Nada é mais adequado para nos dar uma ideia da complicação do
problema dos três corpos e, em geral, de todos os problemas de Dinâmica...”
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Análise assintótica
Na sua tese, e em trabalhos posteriores, Poincaré encontra
inúmeros exemplos em que expansões assintóticas, ainda que
divergentes, são úteis para aproximar soluções de equações
diferenciais etc.
Duas funções f e g dizem-se assintóticas num ponto a se
lim
x→a
f (x)
= 1.
g(x)
Usualmente, consideramos a = ∞ e então escrevemos f ∼ g.
Exemplo: Fórmula de Stirling
n n
√
n! ∼ 2πn
e
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Análise assintótica
Na sua tese, e em trabalhos posteriores, Poincaré encontra
inúmeros exemplos em que expansões assintóticas, ainda que
divergentes, são úteis para aproximar soluções de equações
diferenciais etc.
Duas funções f e g dizem-se assintóticas num ponto a se
lim
x→a
f (x)
= 1.
g(x)
Usualmente, consideramos a = ∞ e então escrevemos f ∼ g.
Exemplo: Fórmula de Stirling
n n
√
n! ∼ 2πn
e
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Análise assintótica
Por vezes, dada f é possı́vel encontrar funções gk , k ≥ 1 tais
que f ∼ g1 e
f − (g1 + · · · + gk ) ∼ gk+1 para todo k .
P
P∞
Escrevemos f ∼ ∞
k=1 gk embora a série assintótica
k=1 gk
seja divergente, em geral.
Exemplo: Fórmula de Euler-MacLaurin
∞
n n X
√
B2k
log n! ∼ log 2πn
+
e
(2k)(2k − 1)n2k −1
k=1
onde os B2k são os números de Bernoulli (a série diverge).
Marcelo Viana
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Para saber mais
Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Funções automorfas
Poincaré alcançou fama internacional em 1881-1882 com a
sua teoria das funções automorfas, que ele desenvolveu para
resolver certas equações diferenciais.
Uma função meromorfa ϕ numa superfı́cie de Riemann S
diz-se automorfa se
ϕ=ϕ◦g
para todo g num grupo discreto de automorfismos de S.
Poincaré falava de função fuchsiana quando S é o disco e função kleiniana
nos demais casos.
Felix Klein não gostou destas homenagens... e chamou todas de funções
automorfas. Poincaré retrucou citando o grande poema Fausto de Goethe:
Name is Schaull und Rauch. (Um nome não passa de ruı́do e fumaça.)
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Funções automorfas
Poincaré alcançou fama internacional em 1881-1882 com a
sua teoria das funções automorfas, que ele desenvolveu para
resolver certas equações diferenciais.
Uma função meromorfa ϕ numa superfı́cie de Riemann S
diz-se automorfa se
ϕ=ϕ◦g
para todo g num grupo discreto de automorfismos de S.
Poincaré falava de função fuchsiana quando S é o disco e função kleiniana
nos demais casos.
Felix Klein não gostou destas homenagens... e chamou todas de funções
automorfas. Poincaré retrucou citando o grande poema Fausto de Goethe:
Name is Schaull und Rauch. (Um nome não passa de ruı́do e fumaça.)
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Funções automorfas
Poincaré alcançou fama internacional em 1881-1882 com a
sua teoria das funções automorfas, que ele desenvolveu para
resolver certas equações diferenciais.
Uma função meromorfa ϕ numa superfı́cie de Riemann S
diz-se automorfa se
ϕ=ϕ◦g
para todo g num grupo discreto de automorfismos de S.
Poincaré falava de função fuchsiana quando S é o disco e função kleiniana
nos demais casos.
Felix Klein não gostou destas homenagens... e chamou todas de funções
automorfas. Poincaré retrucou citando o grande poema Fausto de Goethe:
Name is Schaull und Rauch. (Um nome não passa de ruı́do e fumaça.)
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Matemática
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Aplicações
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Funções automorfas
Poincaré consegue calcular todos os grupos fuchsianos e
todas as funções fuchsianas. A teoria das funções automorfas
também conduz ao
Teorema de Uniformização
Toda superfı́cie de Riemann compacta conexa é isomorfa
1
à esfera de Riemann ou
2
ao quociente do plano por algum reticulado Zω1 + Zω2
3
ou ao quociente do disco por algum grupo fuchsiano.
Este resultado notável foi descoberto (sem demonstração) por
Poincaré e por Klein, cerca de 1881, e foi provado por Poincaré
e por Koebe, independentemente, em 1907.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Para saber mais
Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Funções automorfas
Inicialmente, Poincaré acreditava que funções fuchsianas não
existem:
Durante quinze dias me esforcei para demonstrar que não existiam [funções
fuchsianas]. Eu era muito ignorante. Todo o dia eu me sentava à mesa de
trabalho e aı́ passava uma hora ou duas, tentando várias combinações, e
não chegava a nenhum resultado.
Mas “os matemáticos transformam café em teoremas”:
Um serão, contra o meu costume, tomei café preto e não consegui dormir. As
ideias afluiam sem parar. Eu as sentia chocando entre si, até que duas delas
se acomodavam, digamos assim, para formar uma combinação estável. Pela
manhã, eu tinha provado a existência de uma classe de funções fuchsianas
[...]. Só faltava redigir os resultados, o que tomou apenas algumas horas.
Marcelo Viana
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Funções automorfas
Inicialmente, Poincaré acreditava que funções fuchsianas não
existem:
Durante quinze dias me esforcei para demonstrar que não existiam [funções
fuchsianas]. Eu era muito ignorante. Todo o dia eu me sentava à mesa de
trabalho e aı́ passava uma hora ou duas, tentando várias combinações, e
não chegava a nenhum resultado.
Mas “os matemáticos transformam café em teoremas”:
Um serão, contra o meu costume, tomei café preto e não consegui dormir. As
ideias afluiam sem parar. Eu as sentia chocando entre si, até que duas delas
se acomodavam, digamos assim, para formar uma combinação estável. Pela
manhã, eu tinha provado a existência de uma classe de funções fuchsianas
[...]. Só faltava redigir os resultados, o que tomou apenas algumas horas.
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Divulgação da Ciência
Várias variáveis complexas
Em 1883, Poincaré obtém o seu primeiro resultado importante
nesta área: Toda função meromorfa em C2 é quociente de
duas funções holomorfas.
Weierstrass havia provado o caso de funções a uma variável. Pierre Cousin
estende o resultado para n variáveis em 1994.
Mas a contribuição maior de Poincaré é a Teoria dos Resı́duos:
Cabe a Cauchy a glória de ter fundado a teoria das integrais entre limites
imaginários; esta teoria duplicou o poder da Análise, por assim dizer [...]
Parecia que não terı́amos mais que estender a teoria às integrais duplas e
assim obter conquistas tão belas como se obtêm das integrais simples [...]
no entanto, ao cabo de quarenta anos estamos praticamente no mesmo
ponto onde começamos.
Marcelo Viana
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Várias variáveis complexas
Em 1883, Poincaré obtém o seu primeiro resultado importante
nesta área: Toda função meromorfa em C2 é quociente de
duas funções holomorfas.
Weierstrass havia provado o caso de funções a uma variável. Pierre Cousin
estende o resultado para n variáveis em 1994.
Mas a contribuição maior de Poincaré é a Teoria dos Resı́duos:
Cabe a Cauchy a glória de ter fundado a teoria das integrais entre limites
imaginários; esta teoria duplicou o poder da Análise, por assim dizer [...]
Parecia que não terı́amos mais que estender a teoria às integrais duplas e
assim obter conquistas tão belas como se obtêm das integrais simples [...]
no entanto, ao cabo de quarenta anos estamos praticamente no mesmo
ponto onde começamos.
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Várias variáveis complexas
Em Sur les résidus des intégrales doubles (1887), Poincaré:
começa por formular a integral múltipla (a ‘integral de
superfı́cie’) de forma adequada
caracteriza quando a integral não depende da superfı́cie
de integração (apenas do bordo) dω = 0
descobre a fórmula de Stokes generalizada:
Z
Z
ω=
dω
∂Ω
Ω
e obtém o teorema fundamental dos resı́duos.
Este trabalho leva Poincaré a descobrir a homologia, em 1895,
e influenciará decisivamente o trabalho de Georges De Rham
sobre cohomologia (1932).
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Várias variáveis complexas
Em Sur les résidus des intégrales doubles (1887), Poincaré:
começa por formular a integral múltipla (a ‘integral de
superfı́cie’) de forma adequada
caracteriza quando a integral não depende da superfı́cie
de integração (apenas do bordo) dω = 0
descobre a fórmula de Stokes generalizada:
Z
Z
ω=
dω
∂Ω
Ω
e obtém o teorema fundamental dos resı́duos.
Este trabalho leva Poincaré a descobrir a homologia, em 1895,
e influenciará decisivamente o trabalho de Georges De Rham
sobre cohomologia (1932).
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Divulgação da Ciência
Topologia Algébrica
Dificuldades encontradas por Poincaré em diversos estudos o
convencem de que
Um método que nos fizesse conhecer as relações quantitativas no espaço
com mais de três dimensões poderia, numa certa medida, prestar serviços
análogos àqueles que nos prestam as figuras. Tal método só pode ser a
Analysis situs em mais que três dimensões.
O que Poincaré vai fazer para responder a essa necessidade é
impressionante.
Marcelo Viana
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Topologia Algébrica
Em Analysis situs (1895) e seus complementos (1899-1904):
dá uma definição de variedade (analı́tica) por meio de
cartas locais
torna precisa a noção de integral de uma forma diferencial
sobre uma subvariedade
define os espaços de homologia, cujas dimensões ele
chama ‘números de Betti’
prova a dualidade de Poincaré para variedades fechadas
orientáveis
estuda as ‘triangulações’ de variedades, o que o conduz a
definir o grupo fundamental de uma variedade.
generaliza a fórmula de Euler para poliedros quaisquer.
Marcelo Viana
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Conjectura de Poincaré
Poincaré observa que o grupo fuchsiano na uniformização de
uma superfı́cie de Riemann é o grupo fundamental da mesma.
Duas variedades fechadas de dimensão 2 que têm os mesmos
grupos de Betti são homeomorfas.
Mas Poincaré encontra (1904) uma variedade de dimensão 3
com homologia trivial e que não é homeomorfa a S 3 .
Será possı́vel que o grupo fundamental de uma variedade de
dimensão 3 se reduza ao elemento identidade e, no entanto, a
variedade não seja a esfera?
Poincaré observa: Mas essa questão nos levaria longe demais.
Marcelo Viana
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Conjectura de Poincaré
Poincaré observa que o grupo fuchsiano na uniformização de
uma superfı́cie de Riemann é o grupo fundamental da mesma.
Duas variedades fechadas de dimensão 2 que têm os mesmos
grupos de Betti são homeomorfas.
Mas Poincaré encontra (1904) uma variedade de dimensão 3
com homologia trivial e que não é homeomorfa a S 3 .
Será possı́vel que o grupo fundamental de uma variedade de
dimensão 3 se reduza ao elemento identidade e, no entanto, a
variedade não seja a esfera?
Poincaré observa: Mas essa questão nos levaria longe demais.
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Conjectura de Poincaré
Poincaré observa que o grupo fuchsiano na uniformização de
uma superfı́cie de Riemann é o grupo fundamental da mesma.
Duas variedades fechadas de dimensão 2 que têm os mesmos
grupos de Betti são homeomorfas.
Mas Poincaré encontra (1904) uma variedade de dimensão 3
com homologia trivial e que não é homeomorfa a S 3 .
Será possı́vel que o grupo fundamental de uma variedade de
dimensão 3 se reduza ao elemento identidade e, no entanto, a
variedade não seja a esfera?
Poincaré observa: Mas essa questão nos levaria longe demais.
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Conjectura de Poincaré
Conjectura
Se M é variedade de dimensão d com os mesmos grupos de
homotopia que a esfera S d então M ' S d .
d ≥ 5 por Stephen Smale em 1960 (Medalha Fields 1966),
d = 4 por Michael Freedman em 1982 (Medalha Fields 1986)
d = 3 por Grigory Perelman em 2003 (Medalha Fields em 2006).
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Divulgação da Ciência
Teoria da Relatividade
Em A Ciência e a Hipótese (1902, três anos antes do artigo em que
Einstein cria a Teoria da Relatividade Restrita), Poincaré escreve:
1 Não existe espaço absoluto, nós apenas concebemos
movimentos relativos.
2 Não existe tempo absoluto; dizer que duas durações são iguais
é uma afirmação que não tem qualquer sentido.
3 Não temos sequer como comprovar a simultaneidade de dois
eventos que tenham lugar em pontos distintos.
4 Até a nossa geometria euclideana não é mais que uma espécie
de convenção de linguagem.
Marcelo Viana
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Matemática
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Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Teoria da Relatividade
A contribuição de Poincaré para a relatividade do tempo vem
de 1898 quando, motivado por sua experiência no Bureau des
Longitudes, ele aponta que a ideia de simultaneidade (logo, de
duração) de eventos longı́nquos não tem sentido.
Na sua palestra no St. Louis Mathematics Congress, em 1904,
ele formula o Postulado da Relatividade:
As leis dos fenômenos fı́sicos devem ser as mesmas para um observador
fixo e para um observador em movimento de translação uniforme, de modo
que não temos, nem podemos ter nenhum meio para descobrir se nós
mesmos estamos ou não sujeitos a um tal movimento.
Ele insiste que este princı́pio vale para todos os fenômenos
fı́sicos, inclusive o eletromagnetismo.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Matemática
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Filosofia
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Teoria da Relatividade
A contribuição de Poincaré para a relatividade do tempo vem
de 1898 quando, motivado por sua experiência no Bureau des
Longitudes, ele aponta que a ideia de simultaneidade (logo, de
duração) de eventos longı́nquos não tem sentido.
Na sua palestra no St. Louis Mathematics Congress, em 1904,
ele formula o Postulado da Relatividade:
As leis dos fenômenos fı́sicos devem ser as mesmas para um observador
fixo e para um observador em movimento de translação uniforme, de modo
que não temos, nem podemos ter nenhum meio para descobrir se nós
mesmos estamos ou não sujeitos a um tal movimento.
Ele insiste que este princı́pio vale para todos os fenômenos
fı́sicos, inclusive o eletromagnetismo.
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Teoria da Relatividade
A contribuição de Poincaré para a relatividade do tempo vem
de 1898 quando, motivado por sua experiência no Bureau des
Longitudes, ele aponta que a ideia de simultaneidade (logo, de
duração) de eventos longı́nquos não tem sentido.
Na sua palestra no St. Louis Mathematics Congress, em 1904,
ele formula o Postulado da Relatividade:
As leis dos fenômenos fı́sicos devem ser as mesmas para um observador
fixo e para um observador em movimento de translação uniforme, de modo
que não temos, nem podemos ter nenhum meio para descobrir se nós
mesmos estamos ou não sujeitos a um tal movimento.
Ele insiste que este princı́pio vale para todos os fenômenos
fı́sicos, inclusive o eletromagnetismo.
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Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Teoria da Relatividade
Poincaré ajuda a encontrar a expressão correta das famosas
transformações de Lorentz:
x − vt
x0 = p
1 − v 2 /c 2
t − vx/c 2
t0 = p
.
1 − v 2 /c 2
Ele insiste que tais transformações precisam formar um grupo
e mostra que, então, as transformações acima são as únicas
possı́veis, num universo homogêneo e causal.
Lorentz: Poincaré, pelo contrário, obteve invariância perfeita das equações
do eletromagnetismo e formulou o ‘postulado da relatividade’, termos que ele
foi o primeiro a usar [...] Acrescentemos que, corrigindo as imperfeições do
meu trabalho, ele nunca me censurou por elas.
Marcelo Viana
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Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
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Teoria da Relatividade
Poincaré ajuda a encontrar a expressão correta das famosas
transformações de Lorentz:
x − vt
x0 = p
1 − v 2 /c 2
t − vx/c 2
t0 = p
.
1 − v 2 /c 2
Ele insiste que tais transformações precisam formar um grupo
e mostra que, então, as transformações acima são as únicas
possı́veis, num universo homogêneo e causal.
Lorentz: Poincaré, pelo contrário, obteve invariância perfeita das equações
do eletromagnetismo e formulou o ‘postulado da relatividade’, termos que ele
foi o primeiro a usar [...] Acrescentemos que, corrigindo as imperfeições do
meu trabalho, ele nunca me censurou por elas.
Marcelo Viana
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Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Teoria da Relatividade
Estes e outros resultados aparecem em Sur la dynamique de
l’électron, submetido aos Comptes Rendus de l’Académie des
Sciences de Paris em 5 de junho de 1905.
O famoso artigo de Albert Einstein Zur Elektrodynamik
bewegter Körper é submetido aos Annalen de Physik três
semanas depois, em 30 de junho de 1905.
Do ponto de vista prático, as teorias Poincaré e de Einstein são equivalentes.
Conceitualmente, a proposta de Einstein é muito mais inovadora.
Além disso, o ano de 1905 encerra a participação de Poincaré neste tema,
enquanto que para o Einstein é o inı́cio de uma trajetória fantástica.
Ainda assim, é claro que a contribuição de Poincaré à Relatividade está
longe de ser reconhecida como merece.
Marcelo Viana
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Matemática
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Teoria da Relatividade
Estes e outros resultados aparecem em Sur la dynamique de
l’électron, submetido aos Comptes Rendus de l’Académie des
Sciences de Paris em 5 de junho de 1905.
O famoso artigo de Albert Einstein Zur Elektrodynamik
bewegter Körper é submetido aos Annalen de Physik três
semanas depois, em 30 de junho de 1905.
Do ponto de vista prático, as teorias Poincaré e de Einstein são equivalentes.
Conceitualmente, a proposta de Einstein é muito mais inovadora.
Além disso, o ano de 1905 encerra a participação de Poincaré neste tema,
enquanto que para o Einstein é o inı́cio de uma trajetória fantástica.
Ainda assim, é claro que a contribuição de Poincaré à Relatividade está
longe de ser reconhecida como merece.
Marcelo Viana
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Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Equação dos telegrafistas
Poincaré trabalha em diversas questões práticas da telegrafia,
eletrotecnia, propagação de ondas, propagação do calor e
outras áreas de aplicação da Fı́sica e da Matemática.
Em 1893 ele resolve a equação dos telegrafistas, que descreve
a tensão V e a intensidade de corrente I num fio elétrico, em
função da posição x e do tempo t:
∂V
∂I
∂I
∂V
= −L − RI
= −C
− GV .
∂x
∂t
∂x
∂t
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Equação dos telegrafistas
Poincaré trabalha em diversas questões práticas da telegrafia,
eletrotecnia, propagação de ondas, propagação do calor e
outras áreas de aplicação da Fı́sica e da Matemática.
Em 1893 ele resolve a equação dos telegrafistas, que descreve
a tensão V e a intensidade de corrente I num fio elétrico, em
função da posição x e do tempo t:
∂V
∂I
∂I
∂V
= −L − RI
= −C
− GV .
∂x
∂t
∂x
∂t
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Transmissão de ondas
Em 12 de dezembro de 1901 Guglielmo Marconi faz a primeira
transmissão de rádio através do Atlântico (mais de 2.500km).
Sendo a Terra curva, como as ondas conseguiram chegar?
Poincaré ataca esse problema em 1909, mesmo ano em que
Marconi ganha o Prêmio Nobel. O seu trabalho invalida a tese
da propagação por difração na Terra, dando força à ideia da
propagação por reflexão no oceano e na ionosfera.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
Quem é Poincaré?
Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Transmissão de ondas
Em 12 de dezembro de 1901 Guglielmo Marconi faz a primeira
transmissão de rádio através do Atlântico (mais de 2.500km).
Sendo a Terra curva, como as ondas conseguiram chegar?
Poincaré ataca esse problema em 1909, mesmo ano em que
Marconi ganha o Prêmio Nobel. O seu trabalho invalida a tese
da propagação por difração na Terra, dando força à ideia da
propagação por reflexão no oceano e na ionosfera.
Marcelo Viana
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EDPs da Fı́sica Matemática
Poincaré dá muitas outras contribuições à teoria das EDPs:
solução do problema de Dirichlet (método da varredura);
existência da sequência de autovalores do laplaciano num
domı́nio limitado de R3 ;
desigualdade de Poincaré.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
Quem é Poincaré?
Sistemas Dinâmicos
Mecânica Celeste
Muito mais Ciência
Para saber mais
Matemática
Fı́sica
Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Filosofia da Ciência
Poincaré se interessa desde sempre pelas grandes questões
da Epistemologia (natureza do conhecimento) da Ciência:
Como conhecemos: pela experiência sensorial (empirismo)
ou por meio da razão, pela via dedutiva (racionalismo)?
O que conhecemos: os objetos (realismo) ou apenas uma
representação mental dos mesmos (idealismo)?
O pensamento de Poincaré, que é chamado de ocasionalismo
pragmático e de intuicionismo matemático, combina de forma
original os papéis da experiência, da razão e da linguagem na
composição do conhecimento cientı́fico.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
Quem é Poincaré?
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Filosofia da Ciência
Poincaré se interessa desde sempre pelas grandes questões
da Epistemologia (natureza do conhecimento) da Ciência:
Como conhecemos: pela experiência sensorial (empirismo)
ou por meio da razão, pela via dedutiva (racionalismo)?
O que conhecemos: os objetos (realismo) ou apenas uma
representação mental dos mesmos (idealismo)?
O pensamento de Poincaré, que é chamado de ocasionalismo
pragmático e de intuicionismo matemático, combina de forma
original os papéis da experiência, da razão e da linguagem na
composição do conhecimento cientı́fico.
Marcelo Viana
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Matemática
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Aplicações
Filosofia
Divulgação da Ciência
Ocasionalismo pragmático
Ele acredita que a experiência sensorial fornece à razão a
ocasião para formular as hipóteses (‘axiomas’) a partir das
quais é construı́do o conhecimento.
“Tais convenções são obra da atividade livre do nosso espı́rito, o qual, neste
domı́nio não aceita restrições. [...] Tais decretos serão, então, arbitrários?
Não, pois nesse caso seriam estéreis. A experiência nos deixa livre escolha
mas ela orienta essa escolha, nos ajudando a identificar o caminho mais
cômodo.”
Os axiomas da Geometria não são dados a priori da razão,
nem observações experimentais: eles são apenas hipóteses
convenientes. A geometria euclideana não é nem mais nem
menos verdadeira do que a geometria de Lobatchevsky.
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Ocasionalismo pragmático
Ele acredita que a experiência sensorial fornece à razão a
ocasião para formular as hipóteses (‘axiomas’) a partir das
quais é construı́do o conhecimento.
“Tais convenções são obra da atividade livre do nosso espı́rito, o qual, neste
domı́nio não aceita restrições. [...] Tais decretos serão, então, arbitrários?
Não, pois nesse caso seriam estéreis. A experiência nos deixa livre escolha
mas ela orienta essa escolha, nos ajudando a identificar o caminho mais
cômodo.”
Os axiomas da Geometria não são dados a priori da razão,
nem observações experimentais: eles são apenas hipóteses
convenientes. A geometria euclideana não é nem mais nem
menos verdadeira do que a geometria de Lobatchevsky.
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Matemática
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Divulgação da Ciência
Intuicionismo matemático
Esta posição conduz Poincaré na direção do intuicionismo
(que afirma que a Matemática, é apenas uma construção
mental) e do idealismo:
“Quando enunciamos uma tal proposição, estamos escolhendo a linguagem
na qual nos propomos falar do universo, não estamos fazendo nenhuma
afirmação sobre o universo em si mesmo.”
“... mas o que ela [a Ciência] pode alcançar não são as coisas em si
mesmas, como pensam os dogmatistas ingênuos, são apenas as relações
entre as coisas; para além dessas relações, não existe outra realidade que
possa ser conhecida.”
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Intuicionismo matemático
Esta posição conduz Poincaré na direção do intuicionismo
(que afirma que a Matemática, é apenas uma construção
mental) e do idealismo:
“Quando enunciamos uma tal proposição, estamos escolhendo a linguagem
na qual nos propomos falar do universo, não estamos fazendo nenhuma
afirmação sobre o universo em si mesmo.”
“... mas o que ela [a Ciência] pode alcançar não são as coisas em si
mesmas, como pensam os dogmatistas ingênuos, são apenas as relações
entre as coisas; para além dessas relações, não existe outra realidade que
possa ser conhecida.”
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Divulgação da Ciência
Natureza do raciocı́nio matemático
Se o raciocı́nio matemático é puramente dedutivo então toda a
Matemática está contida nos axiomas? Senão, de onde vem o
rigor da Matemática?
Poincaré vê no método de indução matemática um ingrediente
fundamental, que torna a Matemática fecunda sem com isso
tirar nada do seu rigor.
“Temos a faculdade de conceber que é possı́vel acrescentar um elemento a
uma coleção [...] a partir disso sentimos que o nosso poder não tem limites e
que poderı́amos contar indefinidamente, embora nunca tenhamos contado
senão números finitos de elementos.”
Marcelo Viana
Henri Poincaré
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Natureza do raciocı́nio matemático
Se o raciocı́nio matemático é puramente dedutivo então toda a
Matemática está contida nos axiomas? Senão, de onde vem o
rigor da Matemática?
Poincaré vê no método de indução matemática um ingrediente
fundamental, que torna a Matemática fecunda sem com isso
tirar nada do seu rigor.
“Temos a faculdade de conceber que é possı́vel acrescentar um elemento a
uma coleção [...] a partir disso sentimos que o nosso poder não tem limites e
que poderı́amos contar indefinidamente, embora nunca tenhamos contado
senão números finitos de elementos.”
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Natureza do raciocı́nio matemático
“Não passará desapercebido que existe uma grande semelhança [da
indução matemática] com os procedimentos habituais de indução. Mas há
também uma diferença fundamental. A indução aplicada às ciências fı́sicas é
sempre incerta, porque ela se baseia na crença numa ordem geral do
Universo, a qual é externa a nós. Pelo contrário, a indução matemática, ou
seja, a demonstração por recorrência, se impõe necessariamente, porque
ela não é mais que a afirmação de uma propriedade do próprio espı́rito.”
Marcelo Viana
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Divulgação da Ciência
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Ainda em vida, Poincaré alcança status de celebridade como
infatigável divulgador da Ciência junto da sociedade.
São mais de 150 obras não técnicas, das quais muitas
dirigidas ao grande público, incluindo:
La science et l’hypothèse (1902)
La valeur de la science (1905)
Science et méthode (1908)
Ce que disent les choses (1911) (escrito para crianças do
ensino primário)
Dernières pensées (1913, publicação póstuma)
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Visite http://www.poincare.fr
Confira a magnı́fica série de artigos
Assista o vı́deo http://webdoc-hpoincare.univ-nancy2.fr/
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