polinômios e equações polinomiais

Aula 01
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES
POLINOMIAIS
do desenvolvimento do polinômio calculando o
valor numérico P(1), ou seja, substituímos o “x” por
1 e resolvemos:
Soma dos coeficientes do polinômio:
Exemplo 3
Exemplo 1
3 x4 – 7x3 - 4x2 + 10x + 5
Soma dos Coeficientes: 3 – 7 – 4 + 10 + 5 = 7
Raízes de um polinômio:
Exemplo 2
Raiz ou zero de um polinômio é o valor (ou valores)
que anula esse polinômio.
P(raiz) = 0
São os "k" valores para os quais o polinômio
assume o valor ZERO, ou seja, P(k)=0.
Soma dos Coeficientes: 16 + 40 + 25 = 81
E no caso do expoente do binômio ser um valor
maior podemos determinar a soma dos coeficientes
Exemplo:
Raiz Igual A “1”:
Exemplos:
Pesquisa de raízes racionais:
4) Considerando o polinômio
P (x ) = x 3 + ax 2 + bx + 8 , qual das
alternativas pode representar o seu conjunto solução
a) S = { -4, -2, -1 }
b) S = { -4, -3, 2 }
c) S = { -2, -1, 3 }
d) S = { -1, -2, -5 }
e) S = { 2, 4, 6 }
5) A soma dos coeficientes do polinômio
P (x ) = (5x 4 − 7)10 é igual a
Exercícios:
1) O valor de k para que o polinômio
P (x ) = 2x 3 − kx + 5x − 1 seja divisível por x
–1é
a) – 2048
b) – 1024
c) 1024
d) 512
e) 2048
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
2) O polinômio
P (x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + 6 não pode ter
como uma de suas raízes
a) 1
b) – 3
c) 2
d) – 3
e) 4
3) Sabendo que o polinômio
P (x ) = x 4 − 8x 3 + mx 2 − 7x + 5 possui 1
como uma das suas raízes, conclui-se que o valor de
mé
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
Gabarito:
1- D
2- E
3- A
4- A
5- C
Aula 02
Polinômios
Dispositivo prático de Briot-ruffini:
Raízes reais e raízes imaginárias
Termo independente
Todo polinômio que apresentar termo independente
diferente de zero não terá raízes nulas. Porém se o
termo independente for nulo (zero) então podemos
dizer que o ZERO é raiz deste polinômio, e sua
multiplicidade será igual ao menor valor do
expoente da variável "x".
Todo polinômio tem um número par de raízes
complexas, pois as raízes complexas são aos pares
(o número complexo e seu conjugado). Portanto um
polinômio de grau ímpar terá no mínimo uma raiz
real!
Raízes reais: a quantidade de raízes reais tem a
mesma qualidade do grau do polinômio:
Polinômio com grau ímpar possui quantidade ímpar
de raízes reais.
Polinômio com grau par possui quantidade par de
raízes reais.
Teorema do resto
“O resto da divisão de um polinômio P(x) por um
binômio do tipo (x – a) é o valor numérico para
P(a)”
Ou seja, para determinar o resto da divisão de um
polinômio por um binômio do primeiro grau
devemos substituir o “x” pela raiz do divisor.
(igualar a zero e isolar o “x”)
Obs: Se este resto for igual a zero, ou seja, P(a) = 0
então dizemos que o polinômio P(x) é DIVISÍVEL
pelo binômio (x – a), e, portanto "a" é uma raiz do
polinômio P(x).
Ex1: O resto da divisão de
P(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 por
x+2=0
x = -2
x +2 é
9
2. (-2)3 + 5 . (-2)2 – 4 . (-2) – 3
2.(-8) + 5 . 4 + 8 – 3
-16 +20 + 8 – 3 = 9
Ex2: O resto da divisão de P (x) = 2x2 – x – 1 por
P (x)= x – 1 é ZERO, pois fazendo-se
x – 1 = 0, temos que x = 1 e como a soma dos
coeficientes de P(x) resulta zero, “1” também é raiz
desse polinômio.
Exercícios
4) (UFMA MA) Sabendo que 2 é raiz da equação
algébrica x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0 , então o produto
das outras duas raízes desta equação é:
1) (UFPR PR) O resto da divisão de P(x)= x4 – 2x3
+ 2x2 + 5x +1 por x-2 é:
a) 2
a) 1
b) 8
b) 20
c) 10
c) 0
d) -6
d) 19
e) -4
e) 2
5) (FAFI MG) O resto da divisão de P(x)= x5 – 3x4
+ 2x3 – x2 + x – 1 por q(x)= x – 3 é:
2) (UFRN RN) Seja P (x)= x3+ 6x2 – x – 30 . Se
P(2) = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é:
a) um múltiplo de 7.
a) {-2, -3, -5}
b) um número primo.
b) {2, -3, -5}
c) um múltiplo de 12.
c) {2, -2, -2}
d) um divisor de 100.
d) {2, 3, 5}
e) maior que 50.
e) {2, 6, 30}
3) (PUC SP) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f=
x3 + x2 – 2x – 2. As demais raízes desse polinômio
são os números:
a) irracionais.
b) não reais.
c) racionais não inteiros.
d) inteiros positivos.
e) inteiros e opostos entre si.
Gabarito
1-D
2-B
3-A
4-B
5–B
Aula 03
Funções do 2º grau
Forma geral
Onde “a”,” b” e “c” pertencem ao conjunto de
números reais e a ≠0
Estudo dos Coeficientes
Exemplo: Podemos afirmar que os coeficientes da
função f(x) = ax2 + bx + c de gráfico:
Estudo do Vértice
O vértice de uma função de 2º grau é o ponto de
MÁXIMO ou de MÍNIMO da função. Então o
vértice V (xv , yv) é dado por:
xv = −
b
2a
ou
xv =
x'+ x' '
2
yv = −
∆
= f ( xv )
4a
ou
yv = axv + bxv + c
2
b) 250 m, 0 s
Forma fatorada da função
1º) Elabora-se a forma f(x) = ( ).( ).(
a) 6,25 m, 5s
)...
O número de fatores é igual ao número de raízes.
c) 250 m, 5 s
d) 250 m, 200 s
e) 10.000 m, 5 s
2º) Em cada parêntese coloca-se “x” acompanhado
de uma raiz com o sinal trocado.
3º) Resolve-se o produto entre os parênteses.
O termo independente deve coincidir com o corte
no eixo vertical.
2) (UM SP) O vértice da parábola y = x2 + bx + 6
está no ponto (2, k). O valor de k é:
a) 1
b) 2
Exemplo:
f(X)= (X+2).(X-1)
f(X)= X2 – X + 2X – 2
f(X)= X2 + X – 2
c) 3
d) 4
e) 5
3) (UFES ES) O vértice da parábola de equação y =
2x2 – 4x + t será um ponto do eixo das abscissas se
o valor de t for igual a:
a) 2
b) 1
O termo independente “- 2” está de acordo com o
gráfico? E se não coincidir?
c) – 1
Deve-se multiplicar toda a função pelo fator
adequado de forma que o termo independente
coincida com o “corte” no eixo “y”.
e) – 3
Exercícios
1) (UFRGS RS) O movimento de um projétil,
lançado para cima verticalmente, é descrito pela
equação y= - 40x + 200x onde y é a altura, em
metros, atingida pelo projétil x segundos após o
lançamento. A altura máxima atingida e o tempo
que esse projétil permanece no ar correspondem,
respectivamente, a:
d) – 2
4) (FAFI MG) O gráfico de uma função
f(x) = a2 + bx + c está representado abaixo.
Podemos afirmar que:
a) a<0; b<0; e c<0
b) a<0; b<0; e c>0
c) a<0; b>0; e c <0
d) a<0; b>0; e c >0
e) a>0; b<0; e c<0
5) (UFPA PA) A parábola de equação
y = x2 – 5x – 14 é simétrica em relação à reta:
a) y = x
b) x = - 2
c) x = 7
d) x = 5
2
e) y = - x
Gabarito
1–C
2–B
3–A
4–D
5 –D
Aula 04
Geometria analítica I
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS:
Quando as coordenadas dos pontos apresentam as
abscissas (x) e ordenadas (y) diferentes, realizamos
a operação entre eles:
Quando as coordenadas dos pontos apresentam as
abscissas (x) iguais ou as ordenadas (y) iguais,
realizamos a operação entre os diferentes:
dAB = 7-2
dCD = 12 + 3
Ponto Médio
dAB = 8+3
dCD = 12 -5
Como o determinante resultou zero, significa que os
pontos A, B e C estão alinhados.
A, B e C são colineares.
A, B e C pertencem à mesma reta.
*Quando três pontos não estão alinhados formam
um triângulo.
Área de um triângulo dados os seus vértices: dados
três pontos A (XA;YA), B (XB;YB) e C (XC;YC)
não colineares, podemos encontrar a área do
triângulo com vértices nos pontos A, B e C.
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO
DE TRÊS PONTOS:
Para que três pontos quaisquer A (XA;YA),
B
(XB;YB) e C (XC;YC) sejam colineares o
determinante correspondente a esses pontos deve
ser nulo:
Exemplo:
Verifique se os pontos A (-1, 3), B(-4, -3) e C(2, 9)
são colineares.
1
4
2
3
1
3 1
9 1
6
3
9
12
36
6
27
27
det
27
det 0
27
Exemplo:
Calcule a área do triângulo com vértices em A(3,
2), B(3, 8) e C(11, 2).
3
3
2 1
8 1
A
A
11 2 1
88
24
6
6
6
22
100
52
det
48
2
24
2
48
2
det 52 100
det
48
Exercícios:
(OSEC SP) Considere o triângulo ABC, onde A(-1,
1), B(5, 0) e C(1, 2). Então, o comprimento da
mediana relativa ao vértice A é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
(UM SP) Sejam os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(4, 6),
D(2, 4), E(3, 8) e F(k, 1). Se os triângulos ABC e
DEF têm a mesma área, então um dos valores de k
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
(FEI SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes
coordenadas no plano cartesiano:
(0, 0), (m, 8), (n, m + 3).
Se Z é o ponto médio do segmento XY, então:
a) m = 2
b) m = 1
c) n = 3
d) m = 3
e) n = 2
(UFRGS RS) Se um ponto P do eixo das abcissas é
equidistante dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3), a abcissa
de P vale:
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 3
(FEI SP) Os vértices de um triângulo são A(5, -3),
B(x, 2) e C(-1, 3), e sua área mede 12 cm2. O valor
de x pode ser:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 8
Gabarito:
1–D
2–B
3–A
4–A
5–D
Aula 05
GEOMETRIA ANALÍTICA II
Exercícios
1.( UEPI) A equação da reta perpendicular à reta y
= –x + 1 e que passa pela intersecção das retas 2x –
3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0 é:
a) 2x + 2y + 7 = 0
b) 5x – 5y + 1 = 0
c) 7x – 7y – 4 = 0
d) 7x + 7y – 6 = 0
e) –2x + 2y – 5 = 0
5. (F. M. Itajubá-MG) As equações das retas que
passam pelo ponto (1, –1) e são uma paralela e
outra perpendicular à reta
2x + y – 3 = 0, são respectivamente:
a) y – 2x – 1 = 0 e 2y + x – 3 = 0
b) y + 2x – 1 = 0 e 2y – x + 3 = 0
c) –y – 2x + 1 = 0 e 2y + x – 3 = 0
d) –y + 2x + 1 = 0 e 2y – x + 3 = 0
e) Nenhuma das respostas anteriores.
2. (UESC-BA) Considerando-se duas retas, r e s, e
um plano a do espaço, pode-se afirmar:
a) Se r e s não possuem pontos em comum, então
são paralelas.
b) Se r e s são ambas paralelas a “a”, então são
paralelas entre si.
c) Se r e s são ambas perpendiculares a “a”, então
são paralelas entre si.
d) Se r é paralela a “a” e s está contida em a, então r
é paralela a s.
e) Se r é perpendicular a “a” e s está contida em a,
então r é perpendicular a s.
3. (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3),
(–2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é:
a) 8
b) 9
c) 11
d) 10
e) 5
4. (Unifor-CE) Os gráficos das retas de equações 3x
+ 2y – 3 = 0, 5x + 2y – 7 = 0, x = 2 e
y=3
2
a) não se interceptam.
b) interceptam-se em mais de três pontos.
c) interceptam-se em apenas três pontos.
d) interceptam-se em apenas dois pontos.
e) interceptam-se em um único ponto.
Gabarito
1–C
2–C
3–D
4–E
5–B
Aula 06
Arranjos simples ou
Combinações Simples
Ver resolução no vídeo
Ver resolução no vídeo
Exercícios
(MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado
deverá ser pintado com uma única cor, escolhida
dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois
círculos consecutivos nunca serão pintados com a
mesma cor, então o número de formas de se pintar
os círculos é:
a) 100
Ver resolução no vídeo
b) 240
c) 729
d) 2916
e) 5040
02. Do cardápio de uma festa constavam dez
diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro
seriam servidos quentes. O garçom encarregado de
arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a
mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de
salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De
quantos modos diferentes, teve o garçom a
liberdade de selecionar os salgadinhos para compor
a travessa, respeitando as instruções?
no segundo, as equipes enfrentarão os times do
outro grupo. Ao término da fase de classificação, os
dois primeiros colocados de cada grupo avançarão
para a fase final, que será disputada em turno único,
num só grupo, com cada classificado jogando
contra todos os outros times. O time que obtiver a
primeira colocação na fase final será declarado
campeão do torneio. De acordo com este
regulamento, o total de jogos realizados durante o
torneio é igual a:
a) 90
a) 102
b) 21
b) 66
c) 240
c) 77
d) 38
d) 72
e) 80
e) 108
03. (PUC-RIO 2008)
O número total de maneiras de escolher 5 dos
números 1, 2, 3, …, 52 sem repetição é:
a) entre 1 e 2 milhões.
b) entre 2 e 3 milhões.
c) entre 3 e 4 milhões.
d) menos de 1 milhão.
e) mais de 10 milhões.
04. (UDESC 2010)
Doze equipes participarão de um torneio
internacional de vôlei; os participantes foram
divididos em dois grupos de seis equipes cada. A
fase classificatória deste torneio prevê a realização
de dois turnos. No primeiro turno, cada equipe
jogará contra os adversários do seu próprio grupo e,
Exercícios
1-D
2–A
3–B
4–D
Aula 07
Solução de um sistema de equações lineares:
O conjunto-solução do sistema é formado pelos
EQUAÇÃO LINEAR:
De um modo geral, denomina-se equação linear
toda equação que pode ser escrita na forma:
a1x1 + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + ... + an xn = b
na qual:
x1, x2, x3, x4, ...xn
são as incógnitas
a1,a2, a3, a4,...an
são números reais chamadas
coeficientes das incógnitas
b é o termo independente
> os expoentes das variáveis são iguais a “1”.
> as incógnitas x1, x2, x3, geralmente aparecem
como x, y e z
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:
Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S de
m equações lineares em n incógnitas, que pode ser
representado desta forma:
ìï a11x1 + a12 x 2 + a13 x 3 + a14 x 4 + ... + a1n xn = b1
ïï
ï a x + a22 x 2 + a23 x 3 + a24 x 4 + ... + a2n xn = b2
S = íï 21 1
ïï ...................................................................
ïï
ïïî am1x1 + am2 x 2 + am3 x 3 + am4 x 4 + ... + amn xn = bm
> as equações que formam o sistema estão
associadas pelos valores das variáveis que são os
mesmos em cada uma delas.
respectivos valores das variáveis que satisfazem as
igualdades.
Exercícios
1) O sistema linear abaixo é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5) O valor de m para que o sistema abaixo admita
infinitas soluções é
a) sistema possível e determinado
b) sistema possível e indeterminado
c) sistema impossível
d) sistema homogêneo
e) sistema natural
2) Quanto ao conjunto solução, o sistema linear
abaixo pode ser classificado como
a) 1
b) c)
d) 2
1
2
e) - 2
1
2
a) sistema possível e determinado
b) sistema possível e indeterminado
c) sistema impossível
d) sistema homogêneo
e) sistema natural
3) Para que o sistema abaixo seja possível e
determinado é necessário que
2b
5
2b
b) a = 5
5b
c) a ¹ 2
a) a ¹ -
2b
5
5b
e) a = 2
d) a ¹
Gabarito
1–A
4) O valor de m para que o sistema abaixo seja
indeterminado é:
2–B
3–A
4–E
5–E
Aula 08
NÚMEROS COMPLEXOS
PARTÍCULA IMAGINÁRIA “i”:
Observe a resolução da equação do segundo grau
abaixo através da fórmula de Bháskara:
> Quando o expoente do “i” for maior do que 4,
podemos dividir esse expoente por 4 e tomar o resto
como expoente correspondente e dessa forma
consultar a lista:
i0=1
Como o discriminante (D= b2 – 2ac) esulta um
valor negativo o que impossibilita um conjunto
solução no universo dos números reais. Dessa
forma ocorre uma ampliação desse conjunto com a
inclusão das raízes de números negativos com
índice par originando o conjunto dos números
complexos.
i1=i
i2= -1
i3= -i
Exemplo
5i63 – 9i8742 – 3i536
i = √−1
5i3 - 9i2 - 3i0
5.(- i) - 9.(- 1) - 3.1
- 5i + 9 - 3
6 - 5i
> A soma de quatro potências consecutivas de
“i” resulta zero.
Exercício
Resolução:
maginário puro : parte real = 0
a + b = ???
Z = (a + b - i)(1- i)
Resolução:
Desde i17 até i30 temos 14 termos. Cada grupo de 4 a
soma resulta zero, então sobram dois termos
(podemos considerar os dois últimos ou os dois
primeiros):
Considerando
29
30
1
a
soma
2
i + i = i + i = i- 1
dos
(d)
dois
Z = a - ai + b - bi - i + i2
Z = a + b - 1- ai - bi - i
parte real = 0 :
a + b - 1= 0
a + b = 1 (e)
últimos:
FORMA ALGÉBRICA:
a = parte real
bi = parte imaginária
b = coeficiente da parte imaginária
Resolução:
número real : parte imaginária = 0
Z =
(x – 3i)(3 + xi)
Z = 3x + x 2i - 9i - 3xi2
Z = 3x + x 2i - 9i + 3x
Z = 6x + (x 2 - 9)i
x2 - 9 = 0
x2 = 9
x= ± 9
x= ±3
(b)
x = ???
a) - 1+
b) c)
3i
d) 3 + i
3+ i
e) 1-
3i
1
3
+
i
2
2
3) Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária.
Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i
4) Dado o número complexo z = – 5i + 5, o número
complexo conjugado de z é:
a) – 5i – 5
b) + 5i – 5
c) – 5i + 5
d) + 5i + 5
e) 5i
Exercícios
1) Qual o valor de i14 , onde i =
- 1
a) -i
b) i
c) - 1
d) 1
e) 14 i
5) Qual o valor de m para que o produto (2 +
mi).(3 + i) seja um número imaginário puro?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 10
2) O ponto P, representado na figura é a imagem do
complexo
Gabarito
1-C
2-E
3-A
4-D
5-B
Aula 09
sen20o
cos 70o
cos35o
cos55o
sen1o
cos89o
Também notamos que as tangentes dos ângulos
complementares ( e ) são invertidas:
tan
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
é igual a 180°.
Como no triângulo retângulo um dos ângulos mede
90°, temos que a soma dos outros dois resulta 90°:
(
e
são complementares)
Observa-se no quadro acima que o e que, então
podemos dizer que o seno de um ângulo é igual ao
cosseno de seu complementar e vice-versa.
Exemplos:
1
tan
tan30o
1
tan 60o
tan 80o
1
tan10o
tan
1
tan
Resolução:
a)
x cat adj
tan gente
36 cat oposto
tan30
3
3
x
x
o
3
108 3
3
108
3
1 36
2
y
y 2.36
y 72 m
hipotenusa
1
2
x
3
x
3
x
cosseno
c.a.
hip.
x
90
90
2
45
36 3 m
y hipotenusa
seno
36 cat oposto
sen30o
90
cat adj
cos 60o
c.o.
c.a.
36
x
36.3
x
b)
c.o.
hip.
y cat oposto
seno
90 hipotenusa
sen 60o
3
2
y
y
y
90
90. 3
2
45 3
c.o.
hip.
1) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo
retângulo medem a e 3a, respectivamente, então, a
tangente do ângulo oposto ao menor lado é
x
hipotenusa
18
cat.adjac.
cos 30
3
2
x
x
x
o
10
10
d)
2
4
1
c)
2
2
2
e) 2 2
36
3
3
a)
b)
c.a.
hip.
18
x
2.18
36
cosseno
3
3
x
36 3
3
3
2) Na figura, são dados: α, β e NQ = a . Assim, a
medida de MN pode ser obtida por
12 3 m
x
hipotenusa
18
cat.oposto.
sen 60o
3
2
x
x
x
18
x
2.18
c.o.
hip.
3
x
a) a . senα .senb
36
3
36
seno
3
3
3
12 3 m
36 3
3
b) a . cosα .senb
senα .senb
a
senα .cosb
e)
a
c) a . senα .cosb
3)
Com
os
(tgθ . tga )
- 1
Exercícios
d)
dados da
é igual a
figura
que
segue,
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 6
4) O retângulo tem lados adjacentes medindo 6 e
9,5 e o paralelogramo tem área 9. O cosseno de “a”
é
a) 0,85
b) 0,8
c) 0,75
d) 0,6
e) 0,15
5) No triângulo retângulo da figura ,
BC = 10 cm e cos (a) = 0,8. O valor de AB é
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2
Gabarito
1–B
2–C
3–E
4–B
5–B
Aula 10
a)log2 4 = x
b)log3 27 = x
2 = 4
3 = 27
5 x = 125
2 x = 22
x= 2
3 x = 33
x= 3
5 x = 53
x= 3
d)log4 1024 = x
4 x = 1024
2 x
(2 )
= 210
22x = 210
2x = 10
x= 5
> Quando um logaritmo não tem sua base expressa,
temos que essa base é 10 e esse logaritmo é
chamado de logaritmo decimal.
> Não existe logaritmo de zero e também de
número negativo. (só existe logaritmo de número
positivo)
> Não existe logaritmo com base zero, com base
negativa e também não existe logaritmo de “1”.
c)log5 125 = x
x
x
1
= x
8
1
2x =
8
1
2x = 3
2
2x = 2- 3
e)log2
x= - 3
Conferir resolução na vídeoaula
Devemos mudar a base do logaritmo basicamente
em duas situações:
> quando os dados fornecidos pela questão e o
logaritmo procurado apresentam bases diferentes.
> quando a questão apresenta dois logaritmos com
bases diferentes na mesma expressão ou equação.
> Para realizar a mudança de base utilizamos a
expressão:
log 4 log 22 2.log 2 2x
log3 4 =
=
=
=
log 3
log 3
log 3
y
Exercícios
01) Se logx 8 =
2
3
1
b)
2
c) 1
a)
3
, então log4x é igual a
2
d) 2
e) 4
02) O logaritmo decimal de
10 é igual a
a) 1998
a) 2
b) 1
c)
b) 1999
c) 2000
1
2
d) -
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48)
d) 2001
1
2
e) 2002
e) – 2
03) O valor de log (217,2) - log (21,72) é
a) – 1
b) 0
c) 1
d) log (217,2 - 21,72)
e) log (217,2)
log (21,72)
04) Se log 2 = m , então log5 2 = m vale
a) m – 1
b) 1 – m
c)
m
1- m
d) 1- m
m
e) 5m
05) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de
6000 unidades de certo produto e, desde então, sua
produção tem crescido à taxa de 20% ao ano.
Nessas condições, em que ano a produção foi igual
ao triplo da de 1996?
Gabarito
1–C
2–C
3–C
4–C
5–E
Aula 11
a10 = a1 + 9r
a10 = 2000 + 9.400
a10 = 2000 + 3600
a10 = 5600m
S8 = 2 + 5 + 8 + 11+ 14 + 17 + 20 + 23
S8 = 100
S8 = 25 x 4
S8 = (a1 + a8 ) x 4
Sn =
S100
S100
(a1 + an ).n
2
(1+ 100).100
=
2
= 101.50
S100 = 5050
PA(x - r, x, x + r)
x - r + x + x + r = 180o
3x = 180o
x = 60o (ângulo médio)
5=
2+ 8
2
14 =
11+ 17
2
8=
5 + 11
2
17 =
11 =
14 + 20
2
8 + 14
2
Exercícios
1) Em uma progressão aritmética, em que o
primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a posição
ocupada pelo elemento – 13 é
a) 8ª
b) 7ª
c) 6ª
d) 5ª
(x + 5) + (4x + 1)
5x - 7 =
2
2(5x - 7) = x + 5 + 4x + 1
10x - 14 = 5x + 6
10x - 5x = 6 + 14
5x = 20
x= 4
e) 4ª
2) Uma esfera rola num plano inclinado
percorrendo 5m no primeiro minuto, 12m no
segundo, 19m no terceiro e assim por diante. Após
18 minutos, a distância percorrida, em metros, será
igual a
c) 200
d) 165
e) 150
a) 124
b) 207
c) 1161
5) Um móvel percorre 30 km na primeira hora, 26
km na segunda hora e assim por diante em
progressão aritmética. Para percorrer 120 km
gastará
d) 2232
a) 5h
e) 2322
b) 6h
c) 7h
3) Com o objetivo de realizar uma excursão, cada
aluno de uma turma de 30 alunos, concordou em
economizar R$ 10,00 na primeira semana e , em
cada semana seguinte, R$ 2,00 a mais que na
anterior. No final de 15 semanas a turma
economizou
d) 8h
e) 10h
a) R$ 11.100,00
b) R$ 10.800,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.300,00
e) R$ 4.500,00
4) A produção de certa indústria nos meses de
janeiro, fevereiro e março foi respectivamente de
50, 65 e 80 unidades. Mantendo-se a produção nesta
progressão, o número de unidades produzidas em
dezembro do mesmo ano é de
Gabarito
a) 245
1–B
b) 215
2–C
3–B
4–D
5–E
Aula 12
GEOMETRIA ESPACIAL
Muitas questões de geometria espacial exploram a
inscrição de figuras com uma tendência de buscar a
relação entre os seus respectivos volumes.
Os volumes, tanto da figura circunscrita como a
inscrita, podem ser calculados através das fórmulas
usuais, mas em várias situações a aplicação das
relações volumétricas, torna essa determinação mais
rápida e bem menos trabalhosa.
Resolução na videoaula
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Exercícios
01. O volume de uma esfera inscrita em um cubo é
igual a 972π. O valor que mais se aproxima do
volume desse cubo é
a) 243 π
b) 486 π
c) 972 π
d) 1215 π
e) 1944 π
02. A figura abaixo representa um cilindro
circunscrito a uma esfera. Se V1 é o volume da
esfera e V2 é o volume do cilindro, então a razão
V2
é
V2 - V1
a) 1
3
04. (UERJ) Para revestir externamente chapéus em
forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da
base medindo 10 cm, serão utilizados cortes
retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm
por 50 cm. Admita que todo o tecido de cada corte
poderá ser aproveitado.O número mínimo dos
referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é
igual a:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
b) 1
2
c) 1
05. (UNIRIO)
d) 2
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra
a figura anterior. Sabendo-se que o volume da
pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, em
m3, é igual a:
e) 3
03. (Ita) O raio da base de um cone circular reto é
igual à média aritmética da altura e a geratriz do
cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m3,
temos que o raio da base e a altura do cone medem,
respectivamente, em metros:
a) 9
b) 12
c) 15
a) 9 e 8
d) 18
b) 8 e 6
e) 21
c) 8 e 7
d) 9 e 6
e) 10 e 8
Gabarito
1–E
2–E
3–B
4–B
5–D