6ª Lista de exercícios de Lógica Básica

6ª Lista de exercícios de Lógica Básica
1. Escreva um teorema de indução na complexidade de termos de uma linguagem (veja o exerc. 8 da
lista 5).
2. Use o exercício 1 para definir comprimento de um termo como o número de símbolos do alfabeto
que ocorrem no termo, exceto os de pontuação.
3. Use o exercício 2 para provar que a extensão v ∗ de uma valoração v a todos os termos de uma
linguagem é única.
4. Considere o seguinte exercício visto em sala:
Seja M um modelo para L . Para todo termo t de L , se v e w duas valorações que coincidem nas
variáveis que ocorrem em t , então v ∗ (t ) = w ∗ (t ).
Se, em sala, você viu uma resolução usando indução no comprimento de t , então resolva usando
o exercício 1.
Agora, se em sala você viu uma resolução usando o exercício 1, então resolva usando indução no
comprimento de t .
5. Na linguagem da aritmética L N com o modelo TN = (N, 0, 1, +, ·) e uma interpretação s que associa
a variável x ao natural 2, mostre que (TN , s) � x = +(1, 1).
6. Diga para quais valorações as seguintes fórmulas são verdadeiras em TN .
(a) ∀x ((∃z(x · z = y)) → ∃z ((1 + 1) · z = x)))
(b) (∃x(x + x = y)) → (∃y(y + x = y))
7. Seja L uma linguagem de primeira ordem com constante {a}, função unária {G}, predicado unário
{R} e predicados binários {P,Q}. Seja A o modelo
• R A (n) := {n ∈ N : n é par};
• D := N
• a A := 2;
• P A := {(n, m) ∈ N × N : n ≤ m};
• G A (n) := n + 1;
• Q A = �.
Para cada uma das proposições, indique se é verdadeira ou falsa na estrututra.
(a) ∃xG(x) ∧ ∀x(G(x) = x);
(e) ∀x∃yP (x, y);
(c) ¬ R(a) → ∀x∀yQ(x, y);
(g) ∃y∀xP (y, x);
�
�
��
(h) ∀x R(x) ∨ ∃y y = G(x) ∧ R(y) .
(f) ∃y∀xP (x, y);
(b) ∃x∃yQ(x, y);
(d) ∀x(R(x) → ∀xR(G(G(x)));
8. Mostre que são equivalentes
∀x(φ ∧ ψ) ≡ ∀xφ ∧ ∀xψ
∃xφ ∨ ∃xψ ≡ ∃x(φ ∨ ψ)
∀x∀yϕ ≡ ∀y∀xϕ
∃x∃yϕ ≡ ∃y∃xϕ
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9. Seja L F a linguagem dos corpos com constantes 0 e 1, símbolos funcionais + e ·. Chamaremos de
axiomas de corpo o seguinte conjunto de sentenças da linguagem L F :
(C1) 0 �= 1;
(C6) ∀x∀y∀z ((x + y) + z = x + (y + z));
(C3) ∀x ((x �= 0) → (x · 1 = x));
(C8) ∀x∃y (x + y = 0);
(C2) ∀x (x + 0 = x);
(C7) ∀x∀y∀z ((x · y) · z = x · (y · z));
(C4) ∀x∀y (x + y = y + x);
(C9) ∀x ((x �= 0) → ∃y (x · y = 1));
(C5) ∀x∀y (x · y = y · x);
(C10) ∀x∀y∀z (x · (y + z) = (x · y) + (x · z).
(10.1) Considere o modelo N do exemplo proposto em aula (D = {1, 2, 3}). Mostre que N
satisfaz todos os axiomas de corpo.
(10.2) Considere o modelo do exercício anterior e v uma valoração satisfazendo v(x) = 1,
v(y) = 2 e v(z) = 3. Verifique quais das seguintes fórmulas abaixo são verdadeiras na interpretação
M , v)
(a) x + y = 0;
(b) ∀y((y �= 0) → (y · x = y));
(c) ∀x(x · 0 = 0);
(10.3) Para cada fórmula α contendo variáveis livres do exercício anterior, considere o fecho
universal de α a sentença ∀x∀y∀z(α). Verifique se essas sentenças são verdadeiras no modelo N
do exercício 9.1.
(10.4) Verifique que o modelo R = (R, 0, 1, +, ·) satisfaz os axiomas de corpo.
10. Seja LG a linguagem dos grupos com constante e e símbolo funcional ◦. Chamaremos de axiomas
de grupo o seguinte conjunto Γ de sentenças da linguagem LG :
(G1) ∀x ((x ◦ e = x) ∧ (e ◦ x = x));
(G2) ∀x∃y (x ◦ y = e);
(G3) ∀x∀y∀z (x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z).
Seja α a sentença ∀x (x ◦ x = e).
Mostre que a sentença α é independente dos axiomas, mostrando um modelo para Γ ∪ {α} e outro
modelo para Γ ∪ {¬α}.
11. Tome G o seguinte modelo para LG
• D := {1, 2};
• eG := 1;
• ◦G := {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)}.
Verifique se os axiomas são verdadeiros nesse modelo.
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Omissão de parênteses
As omissões de parênteses são de acordo com as mesmas convenções utilizadas na lógica proposicional,
com a modificação de que ∀ e ∃ ter precedência sobre todos os conectivos lógicos:
• omitimos os parênteses mais externos, por exemplo, escrevendo α → β em vez de (α → β) e ¬α
em vez de (¬α).
• ∀ tem precedência sobre ¬ que tem precedência sobre ∧; considerando as abreviações ordem de
precedência é ∀, ∃, ¬, ∧, ∨, →, e ↔.
• Finalmente, repetições de conectivos são agrupados pela direita, por exemplo, α → β → γ é lido
como (α → (β → γ)).
Por exemplo, ∃x k ¬α → ∀x n β é lido como ((¬∀x k (¬(¬α))) → (∀x n β)).
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