Lógica Matemática PROF. JEAN

Lógica Matemática
PROF. JEAN
1
LÓGICA MATEMÁTICA - CONTEÚDO
Definição de Termo e Proposição
Valor Lógico
Proposição Simples e Proposição Composta
Conectivos
Tabela-Verdade
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
TERMO (Palavra) – Definição:
Definição de um objeto.
Exemplo:
Paula
Um filme de terror
Triângulo retângulo
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO – Definição:
Todo o conjunto de termos ou símbolos
que exprimem um pensamento
de sentido completo.
Exemplo:
Todo homem é mortal.
A Lua é um satélite da Terra.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO
As PROPOSIÇÕES
transmitem pensamentos,
isto é,
afirmam fatos ou exprimem juízos
que formamos a
respeito de determinados entes.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
Lógica Matemática
Adota regras fundamentais do pensamento:
I - PRINCÍPIO (Axioma) DA NÃO CONTRADIÇÃO:
Uma proposição NÃO pode ser
FALSA e VERDADEIRA ao mesmo tempo.
O Brasil é pentacampeão de futebol.
O Brasil possui pena de morte.
Verdade (V)
Falso (F)
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
Lógica Matemática
Adota regras fundamentais do pensamento:
II - PRINCÍPIO (Axioma) DO TERCEIRO EXCLUÍDO:
Toda proposição ou é Verdadeira ou Falsa,
isto é, verifica-se sempre um destes casos
e nunca um terceiro.
LÓGICA BIVALENTE
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
VALOR LÓGICO
O Valor Lógico de uma PROPOSIÇÃO é:
VERDADE se esta for VERDADEIRA;
FALSIDADE se a PROPOSIÇÃO for FALSA.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
VALOR LÓGICO
Dos 2 princípios e do valor lógico:
Toda proposição tem um,
e somente um,
dos valores V, F.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)
Proposição NÃO contém nenhuma outra
proposição como parte integrante
de si mesmo.
Minha casa é grande.
Seu olhos são azuis.
Está calor.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO SIMPLES (ÁTOMOS)
São designadas pelas letras latinas
minúsculas p,q,r,s,...,
chamadas letras proposicionais.
p: Minha casa é grande.
q: Seu olhos são azuis.
r: Está calor.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
Formada pela combinação de 2 ou mais
PROPOSIÇÕES.
Minha casa é grande e meu carro é azul.
Seu olhos são azuis ou verdes.
Se está calor então é verão.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÃO COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
São designadas pelas letras latinas
maiúsculas P,Q,R,S,...,
chamadas letras proposicionais.
P: Minha casa é grande e meu carro é azul.
Q: Seu olhos são azuis ou verdes.
R: Se está calor então é verão.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS (MOLÉCULAS)
Também chamadas de
fórmulas proposicionais ou fórmulas.
Notação:
P(q,r,s) – significa que P
é uma proposição composta das
proposições atômicas q,r e s.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
CONECTIVO – Definição:
Termos usados para formar novas
proposições a partir de outras.
E
OU
SE...
ENTÃO...
...SE E
SOMENTE SE...
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
CONECTIVO – Exemplos:
P: Minha casa é grande e meu carro é azul.
Q: Choverá amanhã ou cairá uma ponte.
R: Se sou maringaense então sou paranaense.
S: O triângulo é equilátero se e
somente se é equiângulo.
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
TABELA-VERDADE:
Exibe todos os possíveis valores lógicos da
proposição composta correspondentes a
todas as possíveis atribuições de
valores lógicos às proposições simples componentes.
Sejam p e q 2 átomos. Os valores lógicos
possíveis para cada um deles é:
p
1 V
2 F
q
1 V
2 F
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
TABELA-VERDADE:
Seja P uma molécula: P(p,q).
A tabela-verdade para P é:
1
2
3
4
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Arranjos
Binários
com
repetição de
2 elementos:
VeF
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
TABELA-VERDADE:
Seja Q uma molécula: Q(p,q,r).
p
1
2
3
4
5
6
7
8
V
V
V
V
F
F
F
F
q
r
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Arranjos
Ternários
com
repetição de
2 elementos:
VeF
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LÓGICA MATEMÁTICA – INTRODUÇÃO ao CÁLCULO PROPOSICIONAL
NOTAÇÃO
V(p): Valor lógico da proposição atômica p.
V(p) = V ou V(p)=F
V(P): Valor lógico da proposição molecular P.
V(P) = V ou V(P)=F
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Operadores Lógicos
Assim como operamos com números, as
proposições também podem ser “operadas”
utilizando os operadores lógicos. São eles:
Conjunção - E (Λ)
Disjunção - Ou (V)
Condicional – Se ... então ( )
Bi--condicional – Se e somente se (↔)
Bi
21
E
p
q
pΛq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Valor V somente quando ambas as
proposições p e q forem iguais a V!!!
22
p: A neve é branca.
(V)
q: 2 < 5 (V)
p Λ q : A neve é branca e 2 < 5 (V)
p: O enxofre é verde.
(F)
q: 7 é um número primo. (V)
p Λ q : O enxofre é verde e 7 é um
número primo (F)
23
OU
p
q
pVq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Valor F somente quando ambas as
proposições p e q forem iguais a F!!!
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p: Paris é a capital da França.
(V)
q: 9 – 4 = 5 (V)
p V q : Paris é a capital da França
ou 9 – 4 = 5 (V)
p: Roma é a capital da Rússia. (F)
q: π é um número irracional. (V)
p V q : Roma é a capital da Rússia
ou π é um número irracional (V)
p: O Jean é cabeludo.
(F)
q: O Maradona é gente boa. (F)
p V q : O Jean é cabeludo ou o
Maradona é gente boa. (F)
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Condicional
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Valor F somente quando o
antecedente (p) for igual a V e o
consequente (q) for igual a F!!!
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p: Hitler era austríaco.
(V)
q: 10 + 3 = 13 (V)
p → q : Se Hitler era austríaco
então 10 + 3 = 13. (V)
p: O mês de maio tem 31 dias. (V)
q: A Terra é plana.(F)
p → q : Se o mês de maio tem 31
dias então a Terra é plana. (F)
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Bi--condicional
Bi
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Valor V somente quando ambas as
proposições p e q forem iguais!!!
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p: Roma fica na Europa.
(V)
q: A neve é branca. (V)
p ↔ q : Roma fica na Europa se e
somente se a neve é branca. (V)
p: A Terra é plana.
(F)
q: π é um número racional. (F)
p ↔ q : A Terra é plana se e
somente se π é um número
racional. (V)
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Negação
Dada uma proposição p, sua negação será
denotada por ~p (não p).
Se p é verdadeira então ~p será falsa e vice
versa.
31
Negação
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
~p = Paula não está usando tênis preto.
32
Negação
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
~p = Paula não está usando tênis preto.
Ex:
p = Esta frase possui cinco palavras.
33
Negação
Ex:
p = Paula está usando tênis preto.
~p = Paula não está usando tênis preto.
Ex:
p = Esta frase possui cinco palavras.
~p = Esta frase não possui cinco palavras.
34
Algumas observações sobre a negação
A negação de “sempre” é
35
Algumas observações sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez
que não”
36
Algumas observações sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez
que não”
A negação de “nunca” é
37
Algumas observações sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez
que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez
que”
38
Algumas observações sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez
que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez
que”
A negação de “p e q” é
39
Algumas observações sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez
que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez
que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
40
Algumas observações sobre a negação
A negação de “sempre” é “existe uma vez
que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez
que”
A negação de “p e q” é “~p ou ~q”
A negação de “p ou q” é
41
Algumas observações sobre a negação
•
A negação de “sempre” é “existe uma vez
que não”
A negação de “nunca” é “existe uma vez
que”
A negação de “todos” é “existe algum que
não”
A negação de “nenhum” é “existe algum
que”
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(CESGRANRIO – CAPES/2008) Chama-se
tautologia à proposição composta que
possui valor lógico verdadeiro, quaisquer
que sejam os valores lógicos das
proposições que a compõem. Sejam p e q
proposições simples e ~p e ~q as suas
respectivas negações. Em cada uma das
alternativas abaixo, há uma proposição
composta, formada por p e q. Qual
corresponde a uma tautologia?
43
a) p ^ q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ^q
V
F
F
F
Não é uma tautologia, é uma contingência
contingência!!
44
b) p ^ ~q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p ^ ~q
F
V
F
F
Não é uma tautologia, é uma contingência
contingência!!
45
c) (p ^ q) → (~p ^ q)
p
q
~p p ^ q ~p ^ q (p ^ q) → (~p ^ q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
F
V
V
V
Não é uma tautologia, é uma contingência
contingência!!
46
d) (p v q) → (p ^ q)
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p vq p ^q
V
V
V
F
V
F
F
F
(p v q) → (p ^ q)
V
F
F
V
Não é uma tautologia, é uma contingência
contingência!!
47
e) (p ^ q) → (p ^ q)
p
q
V
V
F
F
V
F
V
F
p ^q p ^q
V
F
F
F
(p ^ q)→
→ (p ^ q)
V
F
F
F
V
V
V
V
É uma tautologia!
48
Tabela verdade
Dada uma composição de proposições,
podemos construir sua tabela verdade.
A tabela verdade é uma tabela que mostra o
valor lógico da composição a partir do valor
lógico de suas premissas.
Ex:
(p Λ (~q v r))
(~r ↔ q)
49
(p Λ (~q v r))
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~q
F
F
V
V
F
F
V
V
(~r ↔ q)
~r ~q v r pΛ
Λ (~qvr) ~r↔
↔q prop
F
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
50