Inequação Logarítmica - NS Aulas Particulares
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Inequação Logarítmica
1. (Fuvest 2015) Resolva as inequações:
a) x3 x2 6x 0;
b) log2 x3 x2 6x 2.
2. (Uerj 2015) Ao digitar corretamente a expressão log10 (2) em uma calculadora, o retorno obtido no
visor corresponde a uma mensagem de erro, uma vez que esse logaritmo não é um número real.
Determine todos os valores reais de x para que o valor da expressão log0,1(log10 (log0,1(x))) seja um
número real.
1 x
, então os valores de
1 x
x para os quais f(x) 1 são todos os valores que estão no domínio de f e são
3. (Uece 2014) Se a função f : (1,1) R, é definida por f(x) log10
9
.
11
9
b) maiores que .
11
9
c) menores que
.
11
9
d) maiores que
.
11
a) menores que
4. (Upf 2014) As populações de duas cidades, M e N, são dadas em milhares de habitantes
pelas funções
M(t) log8 (1 t)6
N(t) log2 (4t 4)
Onde a variável t representa o tempo em anos. Após certo instante t, a população de uma
dessas cidades é sempre maior do que a da outra. O valor mínimo desse instante t é:
a) 1
b) 0
c) 2
d) 3
e) 4
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5. (Uepb 2012) A equação x2 4x log2 (m 3) 0 não admite solução real quando
a) m 12
b) m 13
c) m 10
d) m 5
e) m 13
6. (Uepb 2012) A solução da inequação logarítmica log 1 x log 1 (x 2) 3 é
a) S x
/ x 0
b) S x
/ x 4
c) S x
/ 0 x 4
d) S x
/ 2 x 4
e) S x
/ 0 x 2
2
2
7. (Mackenzie 2011) Assinale, dentre os valores abaixo, um possível valor de x tal que
log 1 x log4 7.
4
1
14
14
b)
15
1
c)
5
a)
2
2
3
e)
5
d)
8. (Fuvest 2011) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a
desigualdade
log16 1 x 2 log4 1 x
1
.
2
9. (Ufrgs 2010) Um número real satisfaz somente uma das seguintes inequações.
I) log x 0.
II) 2log x log (4x)
2
III) 2x 8 26x
Então, esse número está entre
a) 0 e 1.
b) 1 e 2.
c) 2 e 3.
d) 2 e 4.
e) 3 e 4.
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10. (Fuvest 2006) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação log 2(2x + 5) log2(3x - 1) >1 é o intervalo:
a) ]- ∞, - 5/2[
b) ]7/4, ∞[
c) ]- 5/2, 0[
d) ]1/3, 7/4[
e) ]0, 1/3[
11. (Pucpr 2005) Os valores de x que satisfazem à inequação log 4(x + 3) ≥ 2 estão contidos no
intervalo:
a) x ≥ 2
b) - 2 ≤ x ≤ 2
c) 0 ≤ x ≤ 20
d) 2 ≤ x ≤ 15
e) 13 ≤ x < ∞
12. (Mackenzie 1999) O menor valor inteiro de x tal que
é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 9
13. (Mackenzie 1996) Relativamente às afirmações a seguir, assinale:
a) se somente III estiver correta.
b) se somente I e III estiverem corretas.
c) se somente II e III estiverem corretas.
d) se somente I e II estiverem corretas.
e) se somente II estiver correta.
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14. (Puccamp 1995) As soluções reais da inequação a seguir são todos os números tais que
a) -3 < x < -2
b) x > -3
c) x > -2
d) x < -2
e) 0 < x < 3
15. (Fuvest 1994) É dada a função f definida por:
f(x) = log2x - log4(x-3)
a) Determine os valores de x para os quais f(x) ≤ 2.
b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 2.
16. (Unesp 1993) Resolva a inequação (16 - x2) . log3 (x - 2) > 0.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) x3 x2 6x 0 x (x2 x 6) 0
Sabendo que as raízes da equação x (x2 x 6) 0 são 2, 0 e 3, temos o estudo do
sinal da expressão x3 x2 6x e, assim, resolver a inequação x3 x2 6x 0.
Portanto, o conjunto solução da inequação é:
S x / 2 x 0 ou x 3
b) Condição de existência do logaritmo: x (x2 x 6) 0 2 x 0 ou x 3
log2 (x3 x2 6x) 2 log x3 x2 6x log2 4 x3 x2 6x 4 0
Sabendo que x 1 é raiz da expressão x3 x2 6x 4, temos:
x3 x2 6x 4 0 (x 1) (x2 2x 4) 0
As raízes da equação (x 1) (x2 2x 4) 0 são 1 5, 1 e 1 5.
Daí, temos o estudo do sinal da expressão x3 x2 6x 4 0
Fazendo agora a intersecção destes intervalos com a condição de existência, temos:
Portanto, a solução da inequação logarítmica será dada por:
S 2, 1 5 1, 0 3, 1 5
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Resposta da questão 2:
I) x > 0
II) log0,1 x 0 log0,1 x log0,11 x 1
III) log10 log0,1 x 0 log10 log0,1 x log10 1 log0,1 x 1 log0,1 x log0,1 0,1 x 0,1
Portanto, x
/ 0 x 0,1 é a condição para que log0,1(log10 (log0,1(x))) seja real.
Resposta da questão 3:
[C]
Domínio da função:
f(x) 1 log
1 x
0 x
1 x
/ 1 x 1
1 x
1 x
9 11x
9
log10
10
0x
ou x 1.
1 x
1 x
1 x
11
Devemos então considerar a alternativa [C] como verdadeira.
Resposta da questão 4:
[D]
Supondo M(t) N(t), para algum t real positivo, vem
log8 (1 t)6 log2 (4t 4) log 3 (1 t)6 log2 4 log2 (1 t)
2
6
log2 (1 t) log2 (1 t) log2 4
3
log2 (1 t) log2 4
t 3.
Portanto, após 3 anos, a população da cidade M será sempre maior do que a da cidade N.
Resposta da questão 5:
[E]
A equação não possui solução real se, e somente se, seu discriminante for negativo, ou seja,
( 4)2 4 1 log2 (m 3) 0 log2 (m 3) 4
log2 (m 3) log2 24
m 3 16
m 13.
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Resposta da questão 6:
[D]
Pelas condições de existência dos logaritmos, devemos ter x 2. Logo,
log 1 x log 1 (x 2) 3
2
2
x2
1
log 1 x (x 2) log 1
2
2
2
3
x2
x 2 2x 8 0
x2
2 x 4
x2
{x
| 2 x 4}.
Resposta da questão 7:
[A]
log 1 x log4 7
4
log 1 7
log 1 x
4
4
log 1 4
4
log 1 x log 1
4
4
1
7
1
x
7
Logo, x é igual a
1
.
14
Resposta da questão 8:
1 x 2 0
Condição de existência
1 x 0
Escrevendo na base 4, temos:
1 x 1
log4 (1 x 2 )
1
log4 1 x
2
2
Multiplicando a desigualdade por 2, temos:
1 x2
1 x2
log4 (1 x2 ) log4 1 x 1 log4
1
1
4
(1 x 2 )
1 x2
Resolvendo, temos:
3
3
S x R / x
5
5
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Resposta da questão 9:
[B]
logx 0 logx log1 x 1 considerando a condição de existência temos 0 x 1.
2logx log(4x) logx2 log4x x2 4x x2 4x 0 0 x 4, considerando a
condição de existência temos 0 x 4.
2
2x 8 26x x2 8 6x x2 6x 8 0 2 x 4
Região que pertence a apenas um dos intervalos.
Resposta da questão 10:
[D]
Resposta da questão 11:
[E]
Resposta da questão 12:
[B]
Resposta da questão 13:
[C]
Resposta da questão 14:
[A]
Resposta da questão 15:
a) V = {x ∈ IR │ 4 ≤ x ≤ 12}
b) V = {x ⊂ IR │ 3 < x < 4 ou x > 12}
Resposta da questão 16:
v = ]3;4[
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