PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS VESTIBULAR– 2012 – 2

PROVA DE MATEMÁTICA DA UEFS
VESTIBULAR– 2012 – 2
RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.
Questão 41
Em um grupo de 40 casas, sabe-se que 28 são brancas, 19 possuem jardim e 12 possuem
piscina.
Considerando-se essa infomação e as proposições
I. Há, pelo menos, 7 casas brancas com jardim;
II. Não há nenhuma casa com jardim e piscina;
III. Há, pelo menos, 9 casas sem jardim nem piscina;
pode-se afirmar, com certeza, que
A) a proposição II é verdadeira.
B) as proposições I e II são verdadeiras.
C) as proposições II e III são verdadeiras.
D) as proposições I e III são verdadeiras.
E) as proposições I, II e III são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
2a+2b+2c +3x+y+w+z = 59
(a+b+c+x+y+z+w)+(a+b+c+2x) = 59
40 + (a+b+c+2x) = 59
a+b+c+2x = 19.
Se b+c+x = 12, a+x = 7 ⇒ a afirmativa I é
verdadeira.
Nada se pode concluir da afirmativa II, logo é falsa.
Se a+b+x = 19, y = 9 ⇒ a afirmativa III é
verdadeira.
RESPOSTA: Alternativa D.
Questão 42
O número de elementos do conjunto { x∈Z; x2 < 10000 } é
A) 200
B) 199
C) 198
D) 100
E) 99
1
RESOLUÇÃO:
As raízes da função y = x2 < 10000 são − 100 e 100.
Analisando o esboço do gráfico da função y = x2 – 10000,
conclui-se que assume valores negativos no intervalo
] –100, 100[ ao qual pertencem [100 – (–100)] – 1 = 199
números inteiros.
RESPOSTA: Alternativa B.
Questão 43
Dados os números reais a, b, c e d, tais que c < a < b e (a − b) (b − c) (c − d) < 0, sobre o
conjunto X = { x∈R; (x − d) < |d − a| }, pode-se afirmar:
A) a ∈ X e b ∉ X
B) b ∈ X e c ∉ X
C) a ∉ X e c ∈ X
D) [a, b] ⊂ X
E) X ∩ [a, b] = ]a, b]
RESOLUÇÃO:
Sendo c < a < b e (a − b) (b − c) (c − d) < 0, (a − b) < 0 e (b − c) > 0, então (c − d) > 0. Logo c >
d ⇒ d < c < a < b ⇒ d – a < 0.
(x − d) < |d – a| ⇒ d – a < x – d < a – d ⇒ 2d – a < x < a ⇒ a ∉X.
RESPOSTA: Alternativa C.
Questão 44
No plano de Argand-Gauss, um número complexo z = x + iy, com x > 0 e y > 0, o seu
conjugado e a origem dos eixos coordenados são os vértices de um triângulo equilátero.
Se z − z = 2 , então z 5 + 16 z é igual a
A) 2 3 − i
B) 16( 3 + i)
C) 2(1 + 3i)
D) 8
E) 0
RESOLUÇÃO:
z − z = 2 ⇒ x + iy − (x − iy) = 2 ⇒ 2iy = 2 ⇒ 4y 2 = 2 ⇒
2y = 2 ⇒ y = 1 ⇒ x =
2 3
= 3⇒
2
z = 3 +i e z = 3 −i ⇒
z = 3 + 1(cos30° + isen30° ) = 2(cos30° + isen30° )

3 i 
z 5 = 25 (cos150° + isen150°) = 32 −
+
= −16 3 + 16i
 2
2 

16 z = 16 3 − 16i ⇒ z 5 + 16 z = 0
RESPOSTA: Alternativa E.
2
Questão 45
Um atleta deverá treinar durante 25 dias para uma competição, sendo que, no primeiro dia, ele
fará um treino de 1 hora e irá, a cada dia, aumentar a duração do treino em x minutos.
Se ele pretende treinar um total de 100 horas, então x deve ser igual a
A) 10
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
RESOLUÇÃO:
A série que representa as condições da questão é: (1, 1+x, 1+2x,...,1+24x).
Se ele pretende treinar um total de 100 horas, então
(1 + 1 + 24x )× 25 = 100 ⇒ (1 + 12x )× 25 = 100 ⇒ 1 + 12x = 4 ⇒ x = 1 h = 15min .
2
4
RESPOSTA: Alternativa B
Questão 46
Sendo k um número real, a equação (x2 + kx + 9) (2x2 − 4x + k) = 0 não terá solução real se
A) 2 < k < 6
B) k > 2
C) k < 2 ou k > 6
D) k < 6
E) − 6 < k < 6
RESOLUÇÃO:
k 2 − 36 < 0
16 − 8k < 0
A equação (x2 + kx + 9) (2x2 − 4x + k) = 0 não terá solução real se 
As raízes da primeira função do sistema são − 6 e 6; a da segunda é 2.
Na figura ao lado está representado o estudo da variação dos
sinais das duas funções.
k 2 − 36 < 0
é
16 − 8k < 0
A solução do sistema 
S1 ∩ S 2 =] − 6,6[ ∩ ]2, ∞[ = ]2,6[ .
RESPOSTA: Alternativa A.
3
Questão 47
O crescimento de uma cultura bacteriana segue uma progressão geométrica. Se, às 7:00h, havia
1200 bactérias e, às 19:00h, há 9600, espera-se que, às 23:00h, o número de bactérias seja cerca
de
A) 11600
B) 12400
C) 15000
D) 17800
E) 19200
RESOLUÇÃO:
A série que representa o crescimento da cultura bacteriana é:
(1200, 1200q, 1200q2, ..., 9600,..., 1200q16).
9600 = 1200q12 ⇒ q12 = 8 ⇒ q12 = 23 ⇒ q4 = 2 ⇒ q16 = 24 ⇒
1200q16 = 1200×16 = 19200
RESPOSTA: Alternativa E.
Questão 48
Os números reais positivos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica.
Se o produto das raízes do polinômio p(x) = ax2 + bx + c é igual a 16, então a soma dessas
raízes é
A) 8
B) 4
C) – 10
D) – 8
E) – 4
RESOLUÇÃO:
Se o produto das raízes do polinômio p(x) = ax2 + bx + c é igual a 16, então:
c
= 16 ⇒ c = 16a .
a
Como os números reais positivos a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica:
podem ser representados da seguinte forma: a, aq e aq2.
Logo aq2= 16a ⇒ q = 4 ⇒ b = 4a ⇒ que a soma das raízes é
−4a
= −4 .
a
RESPOSTA: Alternativa E.
Questão 49
Sabendo-se que o polinômio P(x) = x3 − 3x2 − 6x + 8 tem a soma de duas de suas raízes igual a
5, pode-se afirmar que o valor absoluto do produto das duas menores raízes é
A) 8
B) 4
C) 2
D) 1
E) 0
RESOLUÇÃO:
x'+ x' '+ x' ' ' = 3
⇒ x' ' ' = −2 ⇒ P(x) é divisível por x + 2.

x'+ x' ' = 5
Dividindo P(x) por x + 2:
4
Logo, P(x) = x3 − 3x2 − 6x + 8 = (x + 2)(x2 – 5x + 4) ⇒ que x’ =1, x’’ = 4 e x’’’ = −2 ⇒ o
produto das duas menores raízes é −2, que tem como valor absoluto 2.
RESPOSTA: Alternativa C.
Questão 50
Em uma promoção, ao comprar um computador, o consumidor leva um pacote no qual ele deve
escolher
• 2 periféricos distintos, dentre 5 opções, sendo que o primeiro terá 10% de desconto e o
segundo 5%;
• 3 jogos distintos, dentre 7 títulos disponíveis.
Nessas condições, o número de pacotes diferentes à disposição dos consumidores é
A) 12
B) 31
C) 55
D) 330
E) 700
RESOLUÇÃO:
A quantidade de maneiras diferentes de escolher os dois periféricos entre as cinco opções
é: A 5,2 = 20 .
A quantidade de maneiras diferentes de escolher três, dentre os 7 títulos disponíveis, é:
C 7,3 =
7× 6×5
= 35.
3× 2
Nessas condições, o número de pacotes diferentes à disposição dos consumidores é:
20 × 35 = 700.
RESPOSTA: Alternativa E.
Questão 51
Uma academia cobra taxa de inscrição, mais mensalidades, cujo valor é fixo e não depende do
tempo de permanência. Uma pessoa que frequentar essa academia por três meses gastará em
média, mensalmente R$95,00. Se ela ficar durante o ano inteiro, essa média cairá para R$80,00.
Nessas condições, pode-se concluir que a taxa de inscrição é de
A) R$15,00
B) R$60,00
C) R$75,00
D) R$87,50
E) R$135,00
RESOLUÇÃO:
3y

= 285 12 x + 3 y = 3420 12 x + 3 y = 3420 9 x = 540
x +
⇒
⇒
⇒
12

x + y = 960
3x + 3y = 2880
 x = 60
 x + y = 960
RESPOSTA: Alternativa B.
5
Questão 52
O conjunto-solução da inequação é 2 x
2
A) x ∈ R;−2 ≤ x ≤ 
5
2


4
≤
2x
5
2

3
2


−1
B) x ∈ R; x ≤ −2 ou x ≥ 

5


D) x ∈ R; x ≤ ou x ≥ 2
2




C) x ∈ R;− x ≤ x ≤ 2
E) R
RESOLUÇÃO:
2x
2
−1
≤
4
2x
⇒
2x
2
x
−1
.2 2 − 4
x
22
≤ 0 ⇒ 2x
2
x
−1
.2 2 − 4 ≤ 0 ⇒ 2 x
2
x
−1
.2 2 ≤ 2 ⇒ x 2 − 1 +
x
≤2⇒
2
2x 2 + x − 6 ≤ 0
Raízes da equação 2x 2 + x − 6 = 0 :
x=
3
− 1 ± 1 + 48
3
⇒ x = −2 ou x = ⇒ 2x 2 + x − 6 ≤ 0 ⇒ −2 ≤ x ≤
4
2
2
RESPOSTA: Alternativa A.
Questão 53
As senhas do website L são formadas por uma sequência de 5 símbolos, que podem ser uma das
26 letras ou um dos 10 dígitos numéricos. O website M usa sequências de n símbolos, mas
permite apenas números.
Supondo-se que a segurança de cada um seja dada pelo número de senhas possíveis e
considerando-se log 6 = 0,78, para que a segurança de M seja maior ou igual a de L, o valor de
n deve ser, pelo menos,
A) 5
B) 6
C) 8
D) 13
E) 18
RESOLUÇÃO:
Número de senhas do website L: 365
Número de senhas do website M:10n
10 n ≥ 365 ⇒ n.log10 ≥ 5log36 ⇒ n ≥ 10log6 ⇒ n ≥ 7,8 ⇒ n ≥ 8
RESPOSTA: Alternativa C.
6
Questão 54
Um fio fino de 30cm é completamente enrolado, de maneira bem justa, em um círculo de raio
2cm.
Se M e N forem as duas extremidades do fio e S, o centro do círculo, então, considerando-se π
≅ 3,14, pode-se afirmar que a medida, em radianos, do ângulo MŜN , está no intervalo
A) [ 0, 1 [
B) [ 1, 2 [
C) [ 2, 3 [
D) [ 3, 4 [
E) [ 4, 5 [
RESOLUÇÃO:
Comprimento do círculo é 2 × 3,14 × 2 = 12,56cm .
Com o fio serão dadas 2 voltas e mais (30cm – 25,12cm) = =
4,88cm
4,88
α
=
12,56
0,61 1,57
⇒
=
⇒ α = 2,44 radianos ⇒ α∈[ 2, 3 [
2π
6,28
α
RESPOSTA: Alternativa C.
Questão 55
Em um triângulo retângulo, sejam S a soma das medidas dos comprimentos dos catetos; T, a
diferença entre eles e H, a medida do comprimento da hipotenusa.
Se x for a medida do menor ângulo interno desse triângulo, então cos2x é igual a
A) S + T
B)
S+T
H
C) S . T D)
S.T
H
2
E) 2
S2 − T 2
H2
RESOLUÇÃO:
S – B – B = T ⇒ 2B = S – T ⇒
B=
S−T
2
S−T 1 S−T
S−B
senx =
× =
cosx =
=
2
H
2H e
H
2
S−
S−T
2 = S+T
H
2H
2
4ST ST
S+ T  S−T 
=
 −
 =
2H
2H
4H 2 H 2

 

cos2x = cos2x – sen2x = 
RESPOSTA: Alternativa D.
Questão 56
O número de soluções da equação 3cos2 x = 2 + 2senx, no intervalo [0, 2π], é
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
7
RESOLUÇÃO:
3cos2 x = 2 + 2senx ⇒ 3(1 − sen 2 x) = 2 + 2senx ⇒ 3sen 2 x + 2senx − 1 = 0 ⇒
senx =
− 2 ± 4 + 12
1
1
⇒ senx = −1 ou senx = ⇒ x = π ou x = arcsen ⇒ 3 soluções no intervalo
3
6
3
[0, 2π].
RESPOSTA: Alternativa D.
Questão 57
Na figura, os segmentos MN e ST são diâmetros do
círculo.
Se o ângulo STN mede 75o e o raio do círculo, 6cm, então
a distância do ponto S ao segmento MN mede, em cm,
A)
3 2
2
B) 3
C) 3 2
D) 3 3
E) 6
RESOLUÇÃO:
Sendo o triângulo NOT isósceles, o ângulo NÔT mede 30°,
bem como, o ângulo MÔS.
No triângulo retângulo OPS,
d
d 1
= sen30° ⇒ = ⇒ d = 3 .
6
6 2
RESPOSTA: Alternativa B.
Questão 58
O volume da menor caixa cúbica que pode ser usada para guardar uma esfera de aço com 8cm3
de volume, considerando-se π ≅ 3,14 é de, aproximadamente,
A) 8cm3
B) 12cm3
C) 16cm3
D) 20cm3
E) 24cm3
RESOLUÇÃO:
A menor caixa cúbica que pode ser usada para guardar uma esfera
de raio R tem aresta igual a 2R.
Sendo o volume da esfera igual a 8cm3:
4πR 3
4πR 3
6
V=
⇒
= 8 ⇒ R3 = .
3
3
π
O volume do cubo é V = 8R3 = 8 ×
6
π
=
48
= 15,286..
3,14
RESPOSTA: Alternativa C.
8
Questão 59
Se r é a reta descrita pela equação x + 2y = 5 e s é a reta perpendicular a r que passa pela origem
do eixos coordenados, então r e s se interceptam no ponto
A) (1, 2)


3
2
B)  2, 
5
2


C)  0, 
D) (3, 1)
1 9
2 4
E)  , 
RESOLUÇÃO:
1
2
5
2
Da equação x + 2y = 5 tem-se: y = − x + .
Sendo s uma reta perpendicular a r e que passa pela origem do eixos coordenados, sua equação
é: y = 2x.
1
5

y = − x +
Resolvendo-se o sistema 
2
2 tem-se a intercessão das duas retas:
 y = 2x

1
5
1
5


x = 1
y = − x +
2x = − x +
2
2⇒
2
2⇒

y = 2
 y = 2x
5x = 5
RESPOSTA: Alternativa A.
Questão 60
Seja r a reta que passa pelo ponto (− 4, 4) e intercepta o eixo das abscissas em x = 4, e seja λ a
circunferência de centro C(−3, 1) e raio 5 u.c.
Nessas condições, é correto afirmar:
A) λ intercepta o eixo das ordenadas.
B) r passa pelo centro de λ.
C) λ e tangente ao eixo das abscissas.
D) r é secante a λ.
E) r é tangente a λ.
RESOLUÇÃO:
A circunferência tem equação:
( x + 3) 2 + ( y − 1) 2 = 5 .
A reta passa pelos pontos (− 4, 4) e (4, 0) e sua
equação é da forma:
y − 4 = a(x + 4) ⇒ 0 − 4 = a(4 + 4) ⇒ a =
−1
⇒a
2
1
2
equação da reta é y = − x + 2 .
Substituindo este valor de y na equação da
circunferência:
2
1
 1

( x + 3) 2 +  − x + 1 = 5 ⇒ x 2 + 6 x + 9 + x 2 − x + 1 − 5 = 0 ⇒ 5 x 2 + 20 x + 20 = 0 ⇒
4
 2

x 2 + 4 x + 4 = 0 ⇒ ∆ = 0 ⇒ a reta r e a circunferência λ são tangentes.
RESPOSTA: Alternativa E.
9