CENTRO UNVERSITÁRIO UNA NOÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO

CENTRO UNVERSITÁRIO UNA
NOÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO
Professor: Rodrigo Eustáquio Borges
A disciplina Lógica Matemática tem como objetivo
capacitar o aluno a reconhecer e aplicar os conceitos
fundamentais de lógica clássica, em situações
específicas, verbalizando proposições formais da lógica,
construindo fórmulas lógicas para proposições e
argumentos, que possam ser validados ou refutados,
por meio de provas valendo-se de equivalências e
inferências lógicas.
RACIOCÍNIO LÓGICO
?
SOLUÇÃO
DADOS
PROBLEMA
Ao utilizarmos os dados do problema para
chegarmos a uma conclusão, estamos usando
o raciocínio lógico.
Um pedreiro usa o prumo para verificar se a
parede está vertical.
O pensador usa a lógica para verificar se o
pensamento está correto.
Ex.:1 - Um entre quatro amigos cometeu um furto.
Eles foram interrogados e responderam o seguinte:
Alberto disse: “Bruno é o culpado”.
Bruno disse: “Daniel é o culpado”.
Carlos disse: “Eu não sou culpado”.
Daniel disse: “Bruno mentiu”.
Se apenas um falou verdade, quem é o culpado?
LÓGICA MATEMÁTICA
A lógica matemática nasce da tentativa de
elaborar uma linguagem científica universal que
elimine os erros que podem ocorrer a partir da
linguagem natural na construção do discurso
científico.
Deus é amor.
O amor é cego.
Stevie Wonder é cego.
Logo Stevie Wonder é Deus.
Frase é o elemento de comunicação que
relaciona palavras entre si de modo a estabelecer
uma mensagem com sentido completo.
As frases podem ser de vários tipos:
Declarativa:
Imperativa:
Interrogativa:
Exclamativa:
“O Sol é uma estrela.”
“Não faça isto!”
“Onde você mora?”
“Parabéns!”
A linguagem natural nem sempre é clara e
precisa, sendo muito comum a ocorrência de
ambiguidades que geram dúvidas sobre o
significado do que se está falando.
Por isso, um dos objetivos da lógica é
estabelecer uma linguagem formal, onde se pode
expressar com clareza, precisão e emitir juízo de
verdadeiro ou falso para determinadas frases.
Proposição é um conceito primitivo (aceito sem
definição). Mas nada impede que se estabeleçam
as suas características para melhor entendimento.
Proposição é uma frase declarativa (com
sujeito e predicado), à qual pode ser atribuído, sem
ambiguidade, um dos valores lógicos: verdadeiro
(V) ou falso (F).
Exemplos:
1) São proposições:
a) O Japão fica na África.
b) O Brasil é banhado pelo Oceano Atlântico.
c) 3 + 4 = 7
d) 5 > 8
2) Não São proposições:
a) 3 + 4
Não tem predicado.
b) Onde você vai?
Sentença interrogativa.
c) Os estudantes jogam vôlei.
O sujeito não está claramente especificado e a sentença
não pode ser classificada em V ou F.
Proposição simples é única, ou seja, não contém
nenhuma outra proposição como parte integrante.
Indicaremos
tais
proposições
por
letras
minúsculas de nosso alfabeto.
Exemplos:
p: O México fica na América do Norte.
q: O número 16 é quadrado perfeito.
Proposição composta ou fórmula é formada por
duas ou mais proposições relacionadas pelo
conectivos lógicos. Serão indicadas por letras
maiúsculas de nosso alfabeto.
Notação:
P (p,q,r,...) indica que a proposição composta P é
formada pelas proposições simples p, q, r, ...
As proposições que fazem parte de uma
proposição composta podem ser, elas mesmas,
proposições compostas.
CÁLCULO
PROPOSICIONAL
Ao falar ou escrever combinamos frases
simples por meio de conectivos, como e,
para formar sentenças compostas.
O valor lógico da proposição composta
depende dos valores lógicos de seus
componentes e dos conectivos usados.
Se
combinarmos
as
seguintes
afirmações verdadeiras, “Elefantes são
grandes” e “ Bolas são redondas”,
usando o conectivo e, obtemos a seguinte
proposição verdadeira: “Elefantes são
grandes e bolas são redondas”.
CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas
atômicas podem ser combinadas entre si e, para
representar tais combinações usaremos os
conectivos lógicos:
CONECTIVO
e
ou
Se ... então
Se e somente se
não
SÍMBOLO
∧
∨
→
↔
¬ ou ~
Valor Lógico
O valor de uma proposição é chamado valor
lógico.
Os valores lógicos possíveis são:
verdade (V)
falsidade (F)
Notação:
V(p) indica o valor lógico da proposição p.
Assim,
se a proposição p for verdadeira, V(p) = V
se a proposição p for falsa, V(p) = F
O valor lógico de uma proposição composta
depende exclusivamente dos valores lógicos das
suas proposições componentes e dos conectivos
lógicos que as ligam.
Exemplos:
p: O Sol é verde.
V(p) = F
q: Um hexágono tem seis lados. V(q) = V
LEIS DO PENSAMENTO
CORRETO
• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si
mesmo.
• Princípio da não-Contradição: diz que nenhuma
afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo
• Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas
proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
TABELA VERDADE
Tabela-verdade é uma maneira prática de
dispor organizadamente os valores lógicos
envolvidos em uma proposição composta.
Para uma proposição simples (p) temos:
p
V
F
Para uma proposição composta por duas
proposições simples, temos:
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
ATIVIDADE
Quantas linhas teria uma proposição
composta por três proposições simples?
Negação
¬ p ou ~ p
Expressão em português: (p: Vai chover amanhã)
Não vai chover amanhã.
É falso que vai chover amanhã.
p
~p
V
F
F
V
CONJUNÇÃO
ᴧ
Expressão em português: e
p: Elefantes são grandes.
q: Bola de futebol é redonda.
Elefantes são grandes e bola de futebol é redonda.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pᴧq
V
F
F
F
A
conjunção
de
duas
proposições (p
q)
é
verdadeira se, e somente se,
cada
componente
for
verdadeiro.
DISJUNÇÃO
ᴧ
A lua é quadrada ou a neve é branca.
p ᴧ q ( p e q) são chamados disjuntos
p
q
pᴧq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
A sentença “chove ou faz frio” é
verdadeira nos seguintes casos:
só chove;
só faz frio;
chove e faz frio.
CONDICIONAL
→
p: A lua é quadrada.
q: A neve é branca.
Se a lua é quadrada então a neve é branca. p → q
(p é o antecedente e q o consequente)
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
BICONDICIONAL
↔
p: A lua é quadrada.
q: A neve é branca.
A lua é quadrada se e somente se a neve é
branca. p ↔ q
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
CONSTRUÇÕES
COMPOSTAS
Se a lua é quadrada e a neve é branca então a
lua não é quadrada.
((p
∧
q)
→
~ p)
CONVENÇÃO PELA DIREITA
Exemplo:
a fórmula p ∨ q ∧ ~ r
ser entendida como:
((( p
∨ q) ∧
→p → ~ q deve
(~ r)) → ( p
→ ( ~ q)))
TAUTOLOGIA
OU
FÓRMULA
LOGICAMENTE
VÁLIDA
Fórmula que possui apenas valor V em sua
tabela verdade, independente dos valores das
proposições que a compõem.
Exemplo : p ∨ ~ p
p
~p
p V ~p
V
F
F
V
V
V
ATIVIDADE
Verifique
se
as
sentenças
representam uma TAUTOLOGIA
abaixo
a) (p∧ ~ q ) → ( p ∨ q )
b) ~ (p ∧ q ) ↔ (~ p∨ ~ q )
ATIVIDADE
(
)
Dadas as fórmulas A: p → q ∧ r e B : ~
vamos verificar se A ⇒ B.
p q r ~p q ᴧ r p → (q ∧ r ) ~ (q∧r)
(q ∧ r ) →~ p
~ (q ∧ r ) → ~ p
A
⇒B
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NOÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO
PARTE II
Professor: Rodrigo Eustáquio Borges
ARGUMENTOS
Argumento é um conjunto de proposições com uma
estrutura lógica de maneira tal que algumas delas
acarretam ou tem como consequência outra proposição.
p1 . p 2 . p 3 ..... p n que
Isto é, o conjunto de proposições
tem como consequência outra proposição q.
p1 . p 2 . p 3 ..... p n
Chamaremos as proposições
de
premissas do argumento, e a proposição q de conclusão
do argumento.
EXEMPLOS
1. Se eu passar no concurso, então irei
trabalhar.
Passei no concurso.
__________________________________
Irei Trabalhar.
∴
2. Se ele me ama então casa comigo.
Ele me ama.
___________________________________
Ele casa comigo.
∴
3. Todos os brasileiro são humanos.
Todos os paulistas são brasileiros.
___________________________________
Todos os paulistas são humanos.
∴
p1 

p2 
p3 

.
 ⇒

.

.


pn 
NOTAÇÃO:
No
caso
geral
representaremos os argumentos
escrevendo as premissas e separando
por uma barra horizontal seguida da
conclusão com três pontos antes.
premissas
∴ Q ⇒ conclusão
VALIDADE DE UM
ARGUMENTO
Conforme citamos anteriormente uma proposição é
verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos
que ele é válido ou não válido.
A validade é uma propriedade dos argumentos dedutivos que
depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições
(premissas e conclusões) e não do conteúdo delas.
Sendo assim podemos ter as
seguintes
combinações
para
os
argumentos válidos dedutivos:
a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.
Exemplo:
Todos os apartamentos são pequenos.( V )
Todos os apartamentos são residências.( V )
______________________________________
∴ Algumas residências são pequenas.( V )
b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma
conclusão verdadeira.
Exemplo:
Todos os peixes tem asas.( F )
Todos os pássaros são peixes.( F )
______________________________
Todos os pássaros tem asas.( V )
∴
c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma
conclusão falsa.
Exemplo:
Todos os peixes tem asas.( F )
Todos os cães são peixes.( F )
_______________________________
∴
Todos os cães tem asas.( F )
Todos os argumentos anteriores são válidos, pois se suas
premissas fossem verdadeiras então as conclusões
também as seriam.
Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas
as suas premissas são verdadeiras acarreta que sua
conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento é
não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem
verdadeiras e sua conclusão falsa.
Atividade
Verifique se o argumento é válido ou não:
Todas as mulheres são bonitas.
Todas as princesas são mulheres.
___________________________________
Todas as princesas são bonitas.
∴
ARGUMENTOS
DEDUTIVOS E
INDUTIVOS
Os argumentos são divididos em dois grupos:
• dedutivos
• indutivos
O argumento será dedutivo quando suas
premissas fornecerem prova conclusiva da
veracidade da conclusão, isto é, o argumento é
dedutivo quando a conclusão é completamente
derivada das premissas.
Exemplo:
Todo ser humano tem mãe.
Todos os homens são humanos.
________________________________
Todos os homens tem mãe.
∴
O argumento será indutivo quando suas premissas não
fornecerem o apoio completo para ratificar as
conclusões.
Exemplo:
O Cruzeiro é um bom time de futebol.
O Flamengo é um bom time de futebol.
O Palmeiras é um bom time de futebol.
O Vasco é um bom time de futebol.
_________________________________________
Todos os times brasileiros de futebol são bons.
∴
Portanto nos argumentos indutivos a conclusão
possui informações que ultrapassam as
fornecidas nas premissas.
Sendo assim, não se aplica, então, a definição de
argumentos válidos ou não válidos para
argumentos indutivos.
SENTENÇAS ABERTAS
Há expressões como:
a) X + 1 = 7
b) X > 2
c)
x = 2x
3
2
que contêm variáveis e cujo valor lógico ( verdadeira ou falsa)
vai depender do valor atribuído à variável.
Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções
proposicionais ou sentenças abertas. Tais sentenças
não são proposições pois seu valor lógico ( V ou F) é
discutível, dependem do valor dado às variáveis.
Há, entretanto, duas maneiras de
sentenças abertas em proposições:
1ª) Atribuir valor às variáveis
2ª) Utilizar quantificadores.
transformar
QUANTIFICADORES
Quantificador universal
O quantificador universal, usado para transformar sentenças
abertas em proposições, é indicado pelo símbolo
que se
lê: “qualquer
∀ que seja” , “ para todo”. “ para cada”.
Ex.:
(∀x )(x + 1 = 7) " qualquer que seja o número x, temos x + 1 = 7".
(∀x )(x 3 = 2 x 2 )" para todo
número x, x 3 = 2 x 2 ".
(∀y )(y 2 + 1 > 0)" para todo número y,
y 2 + 1 positivo".
Quantificador existencial
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo
“existe”, “existe pelo menos um”, “existe um”.
Ex:
que
(∃x )se lê:
(∃x )(x + 1 = 7) " existe um número x tal que x + 1 = 7".
3
2
3
2
(∃x )(x = 2 x )" existe um número x tal que x = 2 x ".
(∃y )(y 2 + 1 ≤ 0)" existe um número y tal que y 2 + 1 é positivo".
Negação de proposições
quantificadas
Uma sentença quantificada com o quantificador universal,
do tipo
(∀x)( p(xé)) ,negada assim: substitui-se o
quantificador universal pelo existencial e nega-se
p(x ),
obtendo:
(∃x)(~ p(x)) .
I) Sentença:
Negação:
II) Sentença:
Negação:
(∀x)(x + 3 = 5)
(∃ x )( x
+ 3 ≠ 5)
(∀x)(x + 3 = x2 + x)
(∃x)(x + 3 ≠ x2 + x)
Uma sentença quantificada com o quantificador existencial,
(∃ x é)(negada
p ( x )) , assim: substitui-se o
do tipo
quantificador existencial pelo universal e nega-se
obtendo: p(x ),
(∀x)(~ p(x)) .
I) Sentença:
Negação:
II) Sentença:
Negação:
(∃x)(x = x)
(∀ x )( x
≠ x)
 1 1
(∃a) a + ≥ 
 2 3
 1 1
(∀a) a + < 
 2 3
PROPOSIÇÕES
UNIVERSAIS E
PARTICULARES
As proposições serão classificadas em:
• universais
• particulares
As proposições universais são aquelas em que o
predicado refere-se a totalidade do conjunto.
Exemplo:
“Todos os homens são mentirosos” é universal
e simbolizamos por “todo S é P”.
Nesta definição incluímos o caso em que o
sujeito é unitário.
Exemplo:
“O cão é mamífero”.
DIAGRAMAS DE EULER
1 - Todo S é P ( universal afirmativa)
2 - Nenhum S é P ( universal negativa )
As proposições particulares são aquelas em que
o predicado refere-se apenas a uma parte do
conjunto.
Exemplo:
“Alguns homens são mentirosos” é particular e
simbolizamos por “algum S é P”.
3 - Algum S é P ( particular afirmativo )
4 - Algum S não é P
Resumindo: