1.1.3. Ângulo e arco generalizados Exemplo

Tema 1 Geometria
1.1. Trigonometria
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Decorrem desta definição, e do facto de o comprimento de um arco ser directamente proporcional à sua amplitude, as relações expressas na tabela seguinte:
Arco de circunferência
Amplitude,
em graus
360°
180°
90°
45°
30°
60°
Comprimento
2pr
pr
Amplitude,
em radianos
2p
p
1
pr
2
p
2
1
pr
4
p
4
1
pr
6
p
6
1
pr
3
p
3
Para converter a amplitude de um ângulo de graus em radianos ou vice-versa procede-se do
seguinte modo:
1.1.3. Ângulo e arco generalizados
Recorde-se que, aquando do estudo das rotações, surge a necessidade de distinguir ângulos
com amplitudes semelhantes, mas orientações distintas. Deste modo, considera-se, por convenção, que um ângulo orientado tem amplitude positiva quando a rotação se faz no sentido
contrário ao dos ponteiros do relógio. Será negativa no outro caso.
+ 45°
– 45°
A’
Considere-se, agora, um ponto A , pertencente a uma circunferência que roda para a posição A' , fazendo uma rotação de centro O
(centro da circunferência) e ângulo de amplitude a .
O
a
A
Repare que a posição A' pode ser a mesma para diferentes amplitudes a . Centremo-nos no exemplo ilustrado a seguir:
Exemplo
a) 35°
A’
A’
1. Escreva as seguintes amplitudes em radianos:
b) 51,4°
c) 60° 21'
+ 45°
O
Resolução:
A
O
+ 405°
A’
A’
A
A
O
+ 765°
O
– 315°
A
a) Como base para o seu raciocínio, pode usar a regra de três simples, dado existir proporcionalidade directa entre as
duas unidades de medida.
p ––––––––––– 180°
x ––––––––––– 35°
Resulta que 35° =
b) 51,4° =
35
* p ) 0,61 rad .
180
2. Escreva as seguintes amplitudes em graus:
2p
p
a)
rad
b)
rad
7
5
ou
ou
ou
ou
p
rad
4
a=
p
+ 2p rad
4
Amplitude positiva
c) 5 rad
Resolução:
12
a = 45° - 360°
a=
p
+ 4p rad
4
a=
(
)
b)
p
- 2p rad
4
)
Amplitude negativa
2.° Q
1.° Q
2.° Q
1.° Q
3.° Q
4.° Q
3.° Q
4.° Q
2p
2 * 180
rad =
= 72°
5
5
c) p ––––––––––– 180°
5 ––––––––––– x
5 rad =
5 * 180
) 286,48°
p
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p ––––––––––– 180°
p
––––––––––– x
7
p
180
rad =
) 25,71°
7
7
a = 45° + 2 * 360°
p
+ 2kp rad , com k å Z ,
De facto, na rotação de centro O e amplitude (45 + 360k)º ou
4
a posição A' é a mesma.
Para representar um ângulo orientado, é habitual usar-se um sistema de eixos coordenados,
onde se consideram quatro quadrantes (1.° Q , 2.° Q , 3.° Q e 4.° Q) .
Considera-se o semieixo positivo das abcissas o lado de origem do ângulo.
21 °
c) 60° 21' = 60 +
= 60,35°
60
60,35
60,35° =
* p ) 1,05 rad
180
a) De novo, pode fazer uso da regra de três simples.
a = 45° + 360°
a=
51,4
* p ) 0,90 rad
180
(
a = 45°
13