1 BC 0211 7Introdução 8 Probabilidade e Estatistica Quarta Lista 1

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BC 0211 –Introdução à Probabilidade e Estatística
Quarta Lista
1. Para a seguinte distribuição de probabilidade discreta,
x
P (x)
2
0; 1
3
0; 3
4
0; 3
5
0; 2
6
0; 1
(a) Construa o grá…co de barras desta distribuição de probabilidade.
(b) Calcule E(X) e V ar(X):
(c) Determine P (2 < X <= 4) e P (X >= 4):
2. Numa dada universidade observa-se que 60% dos alunos matriculam-se em carreiras da área de
exatas e os 40% restantes matriculam-se em carreiras da área de humanas. Se num determinado
dia são realizadas 20 matrículas, calcular a probabilidade de:
(a) Ter igual número de matrículas em ciências exatas e em ciências humanas.
(b) Que pelo menos 8 matrículas sejam da área das ciências exatas.
(c) Não ter mais do que 12 matrículas em ciências exatas.
(d) Que o número de matrículas em ciências exatas seja menor que em ciências humanas.
3. Uma empresa eletrônica observa que o número de componentes que falham antes de cumprir 100
horas de funcionamento é uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. Se o número
médio destas falhas é oito,
(a) qual a probabilidade de que um componente falhe em 25 horas?
(b) Qual a probabilidade de que falhem não mais de dois componentes em 50 horas?
4. Cada amostra de ar tem 10% de probabilidade de conter uma molécula rara particular. Suponha
que as amostras são independentes com respeito a presença da molécula rara. Achar a probabilidade
de que nas 18 amostras seguintes, exatamente duas tenham a molécula rara. Sugestão: Seja X a
variável aleatória que fornece o número das amostras com a molécula rara. Esta variável é binomial
com n = 18 e p = 0; 1 e deseja-se P (X = 2):
5. Suponha que o número de imperfeições em um arame de cobre segue uma distribuição de Poisson
com uma média de 2; 3 imperfeições por milímetro.
(a) Determine a probabilidade de ocorrerem duas imperfeições em um milímetro de arame.
(b) Determine a probabilidade de ocorrer dez imperfeições em 5 milímetros de arame.
(c) Determine a probabilidade de ocorrer pelo menos uma imperfeição em 2 mm de arame.
6. Chamadas telefônicas são recebidas à taxa de 48 por hora no balcão de reservas de uma companhia
aérea.
(a) Calcule a probabilidade de receberem três chamadas em um intervalo de tempo de cinco
minutos.
(b) Calcule a probabilidade de receberem exatamente dez chamadas em 15 minutos.
(c) Suponha não haver nenhuma chamada em espera no momento. Se o recepcionista demora
cinco minutos para completar a chamada atual, quantas ligações você acha que permanecerão
em espera nesse tempo? Qual é a probabilidade de não haver nenhuma ligação em espera?
(d) Se nenhuma chamada está em processamento neste momento, qual a probabilidade de o recepcionista ter três minutos de tempo pessoal sem ser interrompido?
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7. Quando uma máquina nova funciona adequadamente, somente 3% dos itens produzidos apresentam defeitos. Suponha escolhermos aleatoriamente duas peças produzidas na máquina e estarmos
interessados no número de peças defeituosas encontradas.
(a) descreva as condições sob as quais essa situação seria um experimento binomial.
(b) Desenhe um diagrama de árvore, ilustrando esse problema como um experimento de dois
ensaios.
(c) Quantos resultados experimentais resultam em encontrarmos exatamente um defeito?
(d) Calcule as probabilidades de não encontrarmos defeitos, encontrarmos exatamente um defeito
e encontrarmos dois defeitos.
8. Um empresa produz computadores pessoais em duas fábricas: uma em São Paulo e outra no Rio.
A fábrica de São Paulo tem 40 empregados e a do Rio, 20: Pede-se a uma amostra aleatória de dez
empregados para preencher um questionário de benefícios.
(a) Qual é a probabilidade de nenhum dos empregados da amostra trabalhar na fábrica do Rio.
(b) Qual é a probabilidade de um dos empregados da amostra trabalhar na fábrica do Rio.
(c) Qual é a probabilidade de dois empregados ou mais dos empregados da amostra trabalharem
na fábrica do Rio.
(d) Qual é a probabilidade de nove dos empregados da amostra trabalhar na fábrica de São Paulo.
9. Apresente e resolva um exercício que envolva uma variável aleatória discreta.
10. Este exercício é um desa…o à iniciativa dos alunos. Ele envolve uma distribuição de probabilidade denominada hipergeométrica, não desenvolvida em classe. Entretanto, com os conhecimentos
adquiridos durante o curso, é possível resolvê-lo. Sentindo-se inseguro, consulte a Internet ou um
livro de Probabilidade ou Estatística. Vamos ao enunciado: Por engano 3 peças defeituosas foram
misturadas com boas formando um lote com 12 peças no total. Escolhendo ao acaso 4 dessas peças,
determine a probabilidade de encontrar
(a) pelo menos duas defeituosas.
(b) no máximo 1 defeituosa.
(c) no mínimo 1 boa.