Lista de Exercícios 38 - Substituição Trigonométrica

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso
Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Lista de Exercícios – Substituição Trigonométrica
1) Avalie a integral.
2 3
a)
x3
∫
16 − x 2
0
2
b)
∫t
2
1
3
t2 −1
dx
dx
dt
c)
∫
d)
∫
1 − 4x 2 dx
e)
∫
x2 − 9
dx
x3
f)
g)
∫ 5 + 4x − x
∫ x 1 − x dx
h)
∫
i)
∫
x 2 + 16
2
dx
4
dt
t − 6t + 13
x2
dx
4x − x 2
2
2) Determine a área da região limitada pela hipérbole 9 x 2 − 4 y 2 = 36 e a
reta x = 3 .
1 2
r θ para a área de um setor circular com raio
2
r e ângulo central θ . (Sugestão: Suponha 0 < θ < π e coloque o
2
centro do círculo na origem; assim ele terá a equação x 2 + y 2 = r 2 .
Então A é a soma da área do triângulo POQ e a área da região
PQR , na figura abaixo.)
3) Prove a fórmula A =
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Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
4) Uma barra carregada de comprimento L produz um campo elétrico
no ponto P (a, b ) dado por
E (P ) =
L −a
∫
−a
λb
(
4πε 0 x 2 + b 2
)
3
dx
2
onde λ é a densidade de carga por unidade de comprimento da
barra e ε 0 , a permissividade do vácuo (veja a figura). Avalie a
integral para determinar uma expressão para o campo elétrico
E (P ) .
5) Determine a área da região em forma de lua crescente limitada
pelos arcos dos círculos de raios r e R . (Veja a figura.)
6) Um tanque reservatório de água tem o formato de um cilindro com
diâmetro de 10 pés. Ele está montado de forma que as seções
transversais circulares são verticais. Se a profundidade da água é
7 pés, qual porcentagem da capacidade total está sendo usada?
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