Capítulo 1 Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições

i
Sumário
1
2
Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições
1
1.1
Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Função de Distribuição Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Variáveis Aleatórias Mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Funções de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Índice Remissivo
13
ii
Capítulo 1
Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições
Imaginemos que existe a definição de que a temperatura de João Pessoa é considerada quente se é
maior do que 27 graus Celsius, é considerada confortável se está entre 20 e 27 graus Celsius, e é
considerada fria se é menor do que 20 graus Celsius. Suponha que nosso espaço amostral para o
experimento medir a temperatura de João Pessoa pela manhã. Suponha que nosso espaço amostral,
que contém todos os resultados possíveis para a temperatura, é Ω = R. Se queremos determinar se a
temperatura é fria, confortável ou quente, a melhor ferramenta para isso é definir uma função X : Ω →
{fria,confortável,quente}. Ou seja, uma função que associa a cada valor de temperatura, a quantidade
fria, confortável ou quente. Por exemplo, X(10) = frio; X(34) = quente, e X(22) = confortável.
Neste exemplo, foram medidas temperaturas, 10, 34 e 22, respectivamente.
Essa função X que utilizamos é o que chamamos de uma variável aleatória. Ou seja, é um rótulo que
damos para os valores possíveis no espaço amostral.
Na prática, o mais comum é utilizar variáveis aleatórias, onde associamos cada valor do espaço amostral a um número real, ao invés de um conjunto arbitŕario. Isso se deve ao fato, de que existem muitas
distribuições de probabilidade conhecidas tomando como valores números reais. Portanto, ao considerar uma variável aleatória que toma valores reais, estamos pegando um problema de probabilidade
genérico, e transformando num problema de probabilidade de números reais, e assim podemos utilizar
toda a teoria de distribuições discretas e contínuas para resolver o problema.
Desta forma, mais precisamente, temos a
Definição: Variável Aleatória
Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω → R uma função X que associa a cada elemento ω ∈ Ω
um número real X(ω) ∈ R.
Exemplo 1.1 Exemplo de variável aleatória
Suponha que sorteamos 3 pessoas em João Pessoa e observamos se é homem ou mulher. Suponha que
queremos saber o número de mulheres sorteadas. Para isso, defina a variável aleatória X : Ω → R, onde
X pode assumir os valores, 0,1,2 e 3. Se denotamos homem por H e mulher por M, temos que Ω =
{MMM, MMH, MHM, HMM, MHH, HMH, HHM, HHH}, e portanto X(MMM) = 3, X(MMH) =
X(MHM) = X(HMM) = 2, X(MHH) = X(HMH) = X(HHM) = 1, X(HHH) = 0.
Definição: Imagem Inversa
Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω → R uma variável aleatória. Dado qualquer subconjunto
B ⊂ R, definimos a imagem inversa de B pela variável aleatória X como o conjunto X −1 (B) =
1 / 13
{ω ∈ Ω; X(ω) ∈ B}. Ou seja, X −1 (B) consiste dos elementos de Ω que são levados no conjunto
B pela variável aleatória X.
A partir da imagem inversa de X −1 (B) podemos construir uma nova medida de probabilidade induzida
pela variável aleatória X.
Definição: Probabilidade induzida pela variável aleatória X
Definimos a probabilidade P(X ∈ B) como sendo P(X −1 (B)), ou seja, como a probabilidade do
evento X −1 (B). Da mesma forma, definimos P(X = a) como sendo P(X −1 ({a})), ou seja, a
probabilidade da variável aleatória assumir o valor a.
Exercício
Escreva o que significa P(X ≤ b) para algum número real b.
Solução
Seguindo a mesma ideia da definição, temos que P(X ≤ b) deve ser definido como a probabilidade de X ser menor ou igual a b, assim, é a probabilidade de X pertencer ao intervalo da reta
(−∞, b]. Portanto, P(X ≤ b) = P(X −1 ((−∞, b])).
Exercício
Suponha que na cidade de João Pessoa, temos a mesma quantidade de homens e de mulheres, e que cada sorteio de pessoas é feito com reposição e independentemente do(s) sorteio(s)
anterior(es). Seja X a variável aleatória que indica o número de mulheres sorteadas. Calcule:
P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) e P(X ≤ 2).
Solução
Temos que P(X = 0) = P(HHH) = 18 ; P(X = 1) = P({HHM, HMH, MHH}) = P(HHM) +
P(HMH) + P(MHH) = 83 ; P(X = 2) = P(HMM, MHM, MMH) = P(HMM) + P(MHM) +
P(MMH) = 38 . Finalmente,
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =
1 3 3 7
+ + = .
8 8 8 8
Poderíamos também ter resolvido utilizando a técnica de tomar complementares. Como X só
pode assumir valores 0, 1, 2 e 3, temos que,
P(X ≤ 2) = 1 − P(X > 2) = 1 − P(X = 3) = 1 − P(MMM) = 1 −
1.1
1 7
= .
8 8
Variáveis Aleatórias Discretas
Como falamos anteriormente, nosso objetivo em considerar variáveis aleatórias tomando como valores números reais, se deve ao fato de haver uma teoria bem completa em torno dessas variáveis
aleatórias. Dentre as variáveis aleatórias reais, existem dois grandes grupos: as variáveis aleatórias
discretas e as variáveis aleatórias contínuas. Nosso objetivo nesta seção consiste em definir, e apresentar vários exemplos de variáveis aleatórias discretas.
Definição: Variável aleatória discreta
Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω → R uma variável aleatória. Se existe uma sequência
números a1 , a2 , a3 , . . ., tais que X só pode assumir um dos valores dessa sequência. Então
dizemos que X é uma variável aleatória discreta.
2 / 13
Nota
Note que apesar da sequência a1 , a2 , a3 , . . . ser uma sequência infinita, o conjunto de valores
possíveis para a variável aleatória X pode ser finito ou infinito enumerável. Por infinito enumerável, nós queremos dizer um conjunto infinito que pode ser indexado pelo conjunto dos
números naturais, ou seja, pelo qual podemos escrever uma sequência numérica cobrindo
todos os números.
No caso de variáveis aleatórias discretas, sabemos que vale a seguinte identidade:
P(X ∈ {a1 , a2 , a3 , . . .}) = 1,
pois X necessariamente só assume valores nesse conjunto {a1 , a2 , a3 , . . .}. Portanto, utilizando a
aditividade contável da medida de probabilidade, obtemos
∞
1 = P(X ∈ {a1 , a2 , a3 , . . .}) = ∑ P(X = ai ),
i=1
e portanto temos que ∑∞
i=1 P(X = ai ) = 1, e além disso, sabemos que para cada i, vale P(X = ai ) ≥ 0.
Estes fatos motivam a seguinte definição:
Definição: Função de probabilidade
Seja Ω um espaço amostral e seja X : Ω → R uma variável aleatória discreta, e seja a1 , a2 , a3 , . . . ,
o conjunto de valores possíveis de X. Definimos a função de probabilidade da variável aleatória
X como uma função p(ai ), que associa a cada ai a probabilidade da variável aleatória X assumir
o valor ai , isto é, definimos p(ai ) = P(X = ai ).
Nota
Pelo que já vimos, uma função de probabilidade satisfaz as seguintes propriedades: . para
todo i, p(xi ) ≥ 0; . ∑∞
i=1 p(xi ) = 1.
Exercício
Suponha que uma urna contém 6 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. Quatro bolas são tiradas
aleatoriamente da urna, com reposição, e é observada a cor da bola, antes da bola ser devolvida
à urna. Seja X a variável aleatória que indica o número de bolas vermelhas que foram retiradas
da urna. Obtenha a função de probabilidade de X.
Solução
Denote por V a bola vermelha e por A, a bola azul. Pelas informações do problema, temos que
4
6
e a de se retirar uma bola azul é 10
.
a probabilidade de se retirar uma bola vermelha é 10
Assim, P(V ) =
4
10
= 0, 4 e P(A) =
6
10
= 0, 6.
O espaço amostral do problema é dado por
Ω = {VVVV,VVVA,VVAV,VAVV, AVVV,VVAA,VAVA,
VAAV, AVAV, AAVV, AVVA,VAAA, AVAA, AAVA, AAAV, AAAA}.
É fácil ver que o conjunto de valores possíveis para a variável aleatória X é {0, 1, 2, 3, 4}.
3 / 13
Assim:
p(0) = P(X = 0) = P(AAAA) = (0, 6)4 ;
p(1) = P(X = 1) = P(AAAV, AAVA, AVAA,VAAA)
= P(AAAV ) + P(AAVA) + P(AVAA) + P(VAAA)
= (0, 6)3 0, 4 + (0, 6)3 0, 4 + (0, 6)3 0, 4 + (0, 6)3 0, 4 = 4(0, 6)3 0, 4;
p(2) =
=
=
+
=
P(X = 2) = P(VVAA,VAVA,VAAV, AVAV, AAVV, AVVA)
P(VVAA) + P(VAVA) + P(VAAV ) + P(AVAV ) + P(AAVV ) + P(AVVA)
(0, 6)2 (0, 4)2 + (0, 6)2 (0, 4)2 + (0, 6)2 (0, 4)2
(0, 6)2 (0, 4)2 + (0, 6)2 (0, 4)2 + (0, 6)2 (0, 4)2
6(0, 6)2 (0, 4)2 ;
p(3) =
=
=
=
P(X = 3) = P(VVVA,VVAV,VAVV, AVVV )
P(VVVA) + P(VVAV ) + P(VAVV ) + P(AVVV )
(0, 4)3 0, 6 + (0, 4)3 0, 6 + (0, 4)3 0, 6 + (0, 4)3 0, 6
4(0, 4)3 0, 6;
finalmente, p(4) = P(X = 4) = P(VVVV ) = (0, 4)4 .
1.2
Variáveis Aleatórias Contínuas
As variáveis contínuas são aquelas na qual a variável aleatória pode assumir uma quantidade nãoenumerável de valores. Isto faz com que a probabilidade de assumir um valor específico seja 0. Ou
seja, se X é uma variável aleatória contínua, para todo número real a, temos que P(X = a) = 0. A
intuição para este fato inusitado, é que temos tantos valores possíveis para X, que faz com que a
probabilidade de assumir um valor em particular seja 0. Neste caso, a probabilidade de X assumir um
valor é trocada pela probabilidade de X pertencer a um intervalo da reta. Além disso, no cálculo da
probabilidade, a soma é “trocada” por uma integral, conforme veremos na próxima definição.
Definição: Variável Aleatória Contínua
Dizemos que X é uma variável aleatória contínua se existe uma função real f : R → R, a qual
chamamos de função de densidade de X, que satisfaz as seguintes condições:
• Para todo x real, f (x) ≥ 0;
Z ∞
f (x)dx = 1;
•
−∞
• Se f (x) satisfaz as duas primeiras condições, então temos que para quaisquer a e b, −∞ <
a < b < ∞, vale P(a ≤ X ≤ b) =
Z b
f (x)dx.
a
Nota
Note portanto, que pela definição, para checar se uma função f (x) é uma função de densidade é suficiente verificar duas coisas:
1. se para todo x real, temos f (x) ≥ 0;
Z ∞
2. se
f (x)dx = 1.
−∞
4 / 13
[IMPORTANT]:
Como mencionamos anteriormente, a definição de variável aleatória contínua implica que para todo
a real, P(X = a) = 0. De fato, como X possui uma função de densidade f , temos que
Z a
P(X = a) =
f (x)dx = 0.
a
Uma consequência deste fato é que P(a ≤ X ≤ b) = P(a < x < b) = P(a < x ≤ b) = P(a ≤ X < b).
Exercício
Suponha que X seja uma variável aleatória contínua com a função de densidade
(
2x, 0 < x < 1;
f (x) =
.
0, caso contrário.
a. Mostre que f (x) é uma função de densidade;
b. Calcule P(X ≤ 1/2);
c. Calcule P(X ≤ 1/2|1/3 ≤ X ≤ 2/3) (probabilidade condicional).
Solução
a.
Temos da definição de f (x) que para todo x real, f (x) ≥ 0. Basta verificar agora que
R∞
−∞ f (x)dx = 1. Note que f (x) = 0 fora do intervalo [0, 1], e portanto
Z 1
Z ∞
f (x)dx =
−∞
0
1
2xdx = x2 0 = 1.
Assim, f (x) é função de densidade
b.
P(X ≤ 1/2) =
Z 1/2
0
1/2 1
2xdx = x2 = .
4
0
c.
P(X ≤ 1/2|1/3 ≤ X ≤ 2/3) =
=
P(1/3≤X≤1/2)
P(1/3≤X≤1/2)
R 1/2
2xdx
1/3
R 2/3
2xdx
1/3
1/2
x2
1/3
=
=
2/3
2
x 5/36
3/9
1/3
=
1.3
5
12 .
Função de Distribuição Acumulada
Na teoria matemática da probabilidade é possível mostrar que, dada uma variável aleatória X, a probabilidade de qualquer evento pode ser obtida a partir das probabilidades P(X ≤ a), onde a é número
real. Ou seja, conhecendo P(X ≤ a) para todo a real, significa dizer que conhecemos P(X ∈ A) para
qualquer evento A. Este resultado é um importante resultado de Teoria da Medida, e mostra o quão
rica é a função F(a) = P(X ≤ a). Por conta disso, ela recebe um nome:
5 / 13
Definição: Função de Distribuição Acumulada
Seja Ω um espaço amostral, e seja X : Ω → R uma variável aleatória discreta ou contínua.
Defina a função FX : R → R dada por FX (a) = P(X ≤ a), onde a é número real. FX é denominada a função de distribuição acumulada da variável aleatória X, ou simplesmente função de
distribuição.
• Se X for uma variável aleatória discreta, então
FX (a) =
p(a j ),
∑
j;a j ≤a
onde a soma é feita sobre os indíces j, tais que a j ≤ a.
• Se X for uma variável aleatória contínua, então
Z a
FX (a) =
f (x)dx.
−∞
Exercício
Seja X uma variável aleatória discreta tomando valores 0,1 e 2. Suponha que sua função de
probabilidade é dada por p(0) = 1/2, p(1) = 1/3 e p(2) = 1/6. Obtenha FX .
Solução
Se a < 0, então FX (a) = P(X < a) ≤ P(X < 0) = 0. Como FX (a) = P(X ≤ a) ≥ 0, segue que
para todo a < 0, FX (a) = 0.
Suponha agora, 0 ≤ a < 1, então FX (a) = P(X ≤ a) = P(X = 0) = p(0) = 1/2.
Seja agora, 1 ≤ a < 2. Então, FX (a) = P(X ≤ a) = P(X = 0) + P(X = 1) = p(0) + p(1) =
1/2 + 1/3 = 5/6.
Finalmente, se a ≥ 2, então FX (a) = P(X ≤ a) = P(X ≤ 2) = 1.
Assim,

0,



1/2,
FX (a) =

5/6,



1,
a<0
0 ≤ a < 1,
.
1 ≤ a < 2,
a ≥ 2.
Exercício
Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade
(
2x, 0 < x < 1;
f (x) =
.
0, caso contrário.
Já sabemos que f é função de densidade por um exercício anterior. Obtenha sua função de
distribuição FX .
Solução
Temos que se a < 0, então P(X ≤ a) ≤ P(X < 0) = 0. Assim, para a < 0, temos FX (a) = 0.
Para 0 ≤ a ≤ 1, temos
P(X ≤ a) =
Z a
0
Assim, para 0 ≤ a ≤ 1, vale FX
a
2xdx = x2 0 = a2 .
(a) = a2 .
6 / 13
Finalmente, se a > 1, então P(X ≤ a) = P(X ≤ 1) = 1.
Portanto, para a > 1, segue FX (a) = 1.
Desta forma,


0, 0 ≤ a < 0,
FX (a) = a2 , 0 ≤ a ≤ 1, .


1, a ≥ 1.
Nota
Observe que se a ≤ b, então sempre que X(ω) ≤ a, teremos X(ω) ≤ a ≤ b, o que implica,
X(ω) ≤ b. Assim, vale a inclusão de conjuntos {ω ∈ Ω; X(ω) ≤ a} ⊂ {ω ∈ Ω; X(ω) ≤ b}.
Logo, P(X ≤ a) ≤ P(X ≤ b).
Portanto, temos que se a ≤ b, então FX (a) ≤ FX (b), ou seja, FX é uma função nãodecrescente.
Nota
É possível mostrar que para qualquer variável aleatória X , vale lima→−∞ FX (a) = 0 e
lima→∞ FX (a) = 1.
Importante
Note ainda que se X é uma variável aleatória discreta com conjunto de valores possíveis
dado por {a1 , a2 , a3 , . . .}, ordenados de tal forma que a1 < a2 < a3 < a4 < . . ., então temos
que
p(ai ) = P(X = ai ) = P(X ≤ ai ) − P(X ≤ ai−1 ) = FX (ai ) − FX (ai−1 ).
Ou seja, podemos obter a função de probabilidade de X a partir da função de distribuição de
X desta forma.
Nota
Note que esta última observação nos diz que se temos uma função de distribuição de uma
variável aleatória discreta, então o conjunto de valores que a variável aleatória X pode assumir é exatamente o conjunto dos pontos de descontinuidade da função de distribuição FX .
Assim, se a1 é o menor ponto de descontinuidade de X , então P(X = a1 ) = FX (a1 ), e depois
disso, se FX é descontínua no ponto ai , então teremos que P(X = ai ) = FX (ai ) − FX (ai−1 ).
Exercício
Suponha que X é uma variável aleatória discreta com função de distribuição FX dada por

0,
a < 0,



1/4, 0 ≤ a < 1,
FX (a) =

1/2, 1 ≤ a < 2,



1,
a ≥ 2.
Obtenha a função de probabilidade p(ai ).
7 / 13
Solução
Os pontos de descontinuidade da função de distribuição FX são 0, 1 e 2. Portanto, pelo que
vimos, temos que p(0) = FX (0) = 1/4, p(1) = FX (1) − FX (0) = 1/2 − 1/4 = 1/4, e finalmente,
p(2) = FX (2) − FX (1) = 1 − 1/2 = 1/2.
Temos um resultado análogo para variáveis aleatórias contínuas.
Importante
Seja agora X uma variável aleatória contínua. Então, vale que
Z x
FX (x) =
f (t)dt.
−∞
Ou seja, estamos dizendo que FX é uma primitiva para a função de densidade f . Desta
forma, podemos “recuperar” a função de densidade, a partir da função de distribuição, por
simples derivação em todos os pontos em que FX for derivável:
f (a) =
dFX (a)
= FX0 (a).
da
Exercício
Suponha que X é uma variável aleatória contínua com função de distribuição FX dada por
(
0,
a < 0,
.
FX (a) =
1 − e−a , a ≥ 0.
Obtenha a função de densidade f (x).
Solução
Sabemos que a função de densidade f (x) é dada pela derivada da função de distribuição em
todos os pontos em que esta for derivável.
Assim, se x < 0, temos que f (x) = FX0 (x) = 0. Se x > 0, então f (x) = FX0 (x) = e−x . Em x = 0,
FX não é derivável, então podemos supor f (x) = 0, já que o valor de uma função em um único
ponto não altera o valor da integral.
Portanto, a função de densidade f da variável aleatória X é dada por
(
0,
0 ≤ x ≤ 0,
f (x) = −x
.
e , x > 0.
1.4
Variáveis Aleatórias Mistas
Podemos ter também um terceiro tipo de variável aleatória: a variável aleatória mista. Ela consiste
em uma variável aleatória cuja probabilidade é uma mistura entre as variáveis aleatórias contínuas e
discretas. Assim, se X é uma variável aleatória mista, então existem números reais a1 , a2 , a3 , . . . , tais
que para algum i, P(X = ai ) > 0, e tais que
∞
∑ P(X = ai) = p < 1,
i=1
8 / 13
ou seja, isso garante que ela tem esse comportamento da variável aleatória discreta, mas não é uma
variável aleatória discreta, pois a soma não é igual a 1.
Assim, seja FX a função de distribuição da variável aleatória X. Definimos a parte discreta da função
de distribuição de X como FXd (x) = ∑i;ai ≤x P(X = ai ). Defina p(ai ) = P(X = ai ), então dizemos que
a função p é a função de probabilidade da parte discreta da variável aleatória X.
Nota
Note que se X fosse uma variável aleatória discreta, teríamos FX = FXd .
Agora, defina FXc (x) = FX (x) − FXd (x), a parte contínua da função de distribuição da variável
Z aleatória
X. Assim, se X é uma variável aleatória mista, existe uma função f (t) ≥ 0, tal que FXc (x) =
Z ∞
e
x
f (t)dt,
−∞
f (t)dt = 1 − p. Dizemos que a função f é a função de densidade da parte contínua de X.
−∞
Nota
Observe então que se X é uma variável aleatória discreta, então FXc (x) = 0, para todo x; e
se X é uma variável aleatória contínua, então FXd (x) = 0, donde temos FX (x) = FXc (x).
Portanto, podemos concluir que FX (x) = FXc (x) + FXd (x), ou seja, vale:
FX (x) = P(X ≤ x) =
Z x
f (t)dt +
−∞
∑
P(X = ai ).
i;ai ≤x
Assim, suponha que é dada uma função de distribuição FX de uma variável aleatória mista X, e que
queremos encontrar a função de probabilidade da parte discreta de X, e a função de densidade da
parte contínua de X.
Para tanto, começamos procurando por pontos de descontinuidade de FX . Suponha que temos os
pontos a1 , a2 , . . ., então, para encontrar a função de probabilidade da parte discreta de X, basta calcular
para cada i, o número p(ai ) = P(X = ai ) = P(X ≤ ai ) − P(X < ai ).
Uma vez, encontrada a função de probabilidade da parte discreta de X, definimos FXc (x) = FX (x) −
FXd (x), e obtemos a função de densidade da parte contínua de X por derivação: f (x) = FXc 0 (x), ou seja,
derivamos a parte contínua da função de distribuição FX .
Exercício
Seja X uma variável aleatória mista com função de distribuição


x ≤ 0,
0,
FX (x) = x,
0 < x < 1/2,


1, x ≥ 1/2.
Obtenha a função de probabilidade da parte discreta de X e a função de densidade da parte
contínua de X.
9 / 13
Solução
Observe que FX só possui apenas um ponto de descontinuidade no ponto x = 1/2. Assim, temos
que a função de probabilidade da parte discreta é dada por p(1/2) = P(X ≤ 1/2) − P(X <
1/2) = FX (1/2) − P(X < 1/2) = 1 − 1/2 = 1/2. Pois, como para x < 1/2, vale, P(X < x) = x,
temos, P(X < 1/2) = 1/2.
Portanto, temos que se x < 1/2, então FXd (x) = 0, e se x ≥ 1/2, então FXd (x) = 1/2. Daí, se x <
1/2, FXc (x) = FX (x) − FXd (x) = x, e se x ≥ 1/2, temos FXc (x) = FX (x) − FXd (x) = 1 − 1/2 = 1/2.
Desta forma, temos que


x ≤ 0,
0,
c
FX (x) = x,
0 < x < 1/2, .


1/2, x ≥ 1/2.
Assim, derivando, obtemos que a função de densidade da parte contínua de X é dada por
(
0, x ≤ 0 ou x ≥ 1/2,
f (x) =
.
1, 0 < x < 1/2.
1.5
Funções de Variáveis Aleatórias
Definição: Função de uma Variável Aleatória
Seja X uma variável aleatória tomando valores reais. Seja Im(X) = X(Ω) = {X(ω); ω ∈ Ω}
a imagem de X, ou seja, o conjunto dos valores que a variável aleatória X pode assumir. Seja
g : Im(X) → R uma função real. Então, a função Y = g(X) é uma nova variável aleatória, e
dizemos que Y é uma função da variável aleatória X.
Relembre a definição de imagem inversa: para um subconjunto dos reais A ⊂ R a imagem inversa de
A pela função g é o conjunto g−1 (A) = {x ∈ Im(X); g(x) ∈ A}.
Assim, temos que para todo evento A ⊂ R, vale P(Y ∈ A) = P(g(X) ∈ A) = P(X ∈ g−1 (A)). Portanto, podemos calcular probabilidades com relação à variável aleatória Y a partir diretamente de
probabilidades envolvendo apenas a variável aleatória X.
Exemplo 1.2 Exemplo de função de variável aleatória discreta
Seja X uma variável aleatória discreta tomando valores no conjunto 1, 2, 3, . . .. Suponha que P(X =
n) = (1/2)n . Defina a função g : {1, 2, 3, . . .} → R dada por f (2k) = 1, k = 1, 2, 3, . . ., e f (2k − 1) =
−1, para k = 1, 2, 3, . . .. Ou seja, g(x) é igual a 1 se x é par, e é igual a -1 se x é ímpar. Desta forma,
definindo Y = g(X), temos que
(
1,
se X for par,
Y=
−1, se X for ímpar.
Assim, temos que P(Y = 1) = P(g(X) = 1) = P(X ∈ g−1 ({1})). Note que g(x) = 1 se, e somente se,
x é par, ou seja, g−1 ({1}) = {2, 4, 6, . . .}. Assim,
P(Y = 1) = P(X ∈ {2, 4, 6, . . .}) = (1/2)2 + (1/2)4 + (1/2)6 + · · · = 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 + · · ·
1/4
= 1−1/4
= 1/3.
Por outro lado, P(Y = −1) = 1 − P(Y = 1) = 1 − 1/3 = 2/3.
Observe que outra forma equivalente de calcular P(Y = 1), seria observar que Y = 1 se, e somente se,
X é par, e portanto {Y = 1} = {X ∈ {2, 4, 6, . . .}}. E portanto, P(Y = 1) = P(X ∈ {2, 4, 6, . . .}).
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Exemplo 1.3 Exemplo de função de variável aleatória contínua
Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por f (x) = 2x, se x ∈ (0, 1), e
0 caso contrário. Seja Y = 3X + 1. Vamos encontrar a função de densidade de Y , que denotaremos
por fY (y).
Primeiramente, note que como Im(X) = (0, 1), e assim Im(Y ) = (1, 4). Observe, agora, que P(Y ≤
y) = P(3X + 1 ≤ y). Sabemos que 3X + 1 ≤ y se, e somente se, X ≤ (y − 1)/3. Portanto, vale
FY (y) = P(3X + 1 ≤ y) = P(X ≤ (y − 1)/3) = FX ((y − 1)/3).
Finalmente, se y ≤ 0, então FY (y) = P(Y ≤ y) = 0, e se y ≥ 4, temos FY (y) = P(Y ≤ y) = 1. Portanto,
se y < 0, então fY (y) = FY0 (y) = 0, e se y > 4, então fY (y) = FY0 (y) = 0.
Agora, se y ∈ (1, 4), temos que FY (y) = FX ((y − 1)/3), e portanto, pela regra da cadeia
fY (y) = FY0 (y) = FX0 ((y − 1)/3) · 1/3 = f ((y − 1)/3) · 1/3 =
2((y − 1)/3) 2(y − 1)
=
.
3
9
Exercício
Considere X variável aleatória contínua com a densidade do exemplo anterior. Seja g(x) = e−x .
Obtenha a função de densidade de Y = g(X) = e−X , fY (y).
Solução
Como Im(X) = (0, 1), temos que Im(Y ) = (1/e, 1). Assim, se y < 1/e, então FY (y) = P(Y ≤
y) = 0, e se y > 1, então FY (y) = P(Y ≤ y) = 1. Isto implica que se y < 1/e, fY (y) = FY0 (y) = 0,
e se y > 1, temos fY (y) = FY0 (y) = 0.
Falta considerarmos y ∈ (1/e, 1). Assim, temos que Y ≤ y se, e somente se, e−X ≤ y, que por
sua vez, vale se, e somente se, X ≥ − ln(y). Portanto, FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X ≥ − ln(y)) =
1 − FX (− ln(y)). Onde temos que
P(X ≥ − ln(y)) = 1 − P(X < − ln(y)) = 1 − P(X ≤ − ln(y)) = 1 − FX (− ln(y)),
pois P(X = − ln(y)) = 0, já que X é uma variável aleatória contínua.
Desta forma, obtemos, usando a regra da cadeia, que para y ∈ (1/e, 1),
fY (y) = FY0 (y) = (1 − FX (− ln(y))0 = − fX (− ln(y)) ·
−1 −2 ln(y)
=
.
y
y
Exercício
Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f . Seja Y = X 2 . Encontre a
função de densidade da variável aleatória Y , fY .
Solução
Observe que X 2 ≥ 0. Daí, se y < 0, segue que FY (y) = P(Y ≤ y) = 0, e portanto, para y < 0,
vale fY (y) = 0.
Suponha agora que y ≥ 0, e note que Y ≤ y se, e somente se, X 2 ≤ y. Esta última desigualdade
vale se, e somente se, X 2 − y ≤ 0. Resolvendo essa inequação, obtemos que X 2 − y ≤ 0 se,
√
√
e somente se, X ≥ − y e X ≤ y. Assim, vale a igualdade entre os conjuntos {Y ≤ y} =
√
√
{− y ≤ X ≤ y}.
Portanto, como X é variável aleatória contínua, segue que,
√
√
√
√
√
√
FY (y) = P(Y ≤ y) = P(− y ≤ X ≤ y) = P(X ≤ y) − P(X < − y) = FX ( y) − FX (− y).
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Daí, pela regra da cadeia, vale que
1
−1
1
√
√
√
√
FY0 (y) = f ( y) · √ − f (− y) · √ = √ ( f ( y) + f (− y)) .
2 y
2 y 2 y
Portanto, fY (y) =
1
√
2 y
√ √
f ( y) + f (− y) .
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Capítulo 2
Índice Remissivo
C
Contínua, 4
Parte discreta, 9
V
Variável Aleatória, 1
Contínua, 4
Discretas, 2
Função, 10
Imagem inversa, 1
Mista, 8
D
Densidade
Parte contínua, 9
densidade, 4
Discretas, 2
Distribuição, 5
Parte contínua, 9
Parte discreta, 9
Distribuição acumulada, 5
F
Função, 10
Densidade
Parte contínua, 9
densidade, 4
Distribuição, 5
Parte contínua, 9
Parte discreta, 9
Distribuição acumulada, 5
Probabilidade
Parte discreta, 9
Função de, 3
I
Imagem inversa, 1
Induzida por uma variável aleatória, 2
M
Mista, 8
P
Parte contínua, 9
Parte discreta, 9
Probabilidade
Função de, 3
Induzida por uma variável aleatória, 2
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