Apostila de Geometria Analítica

GEOMETRIA ANALÍTICA
PROF. ENZO MARCON TAKARA
EDIÇÃO 2016
1
1- PLANO CARTESIANO ORTOGONAL
Considere num plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das abscissas, e y (Oy),
eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o plano α é o plano cartesiano e o ponto O é a
origem do sistema.
IMPORTANTE
Localizações notáveis do plano cartesiano ortogonal
1) Origem (0,0)
2) Um ponto do eixo x ( a,0)
3) Um ponto do eixo y ( 0,a)
4) Um ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares ( a , a) ou ( -a , -a)
5) Um ponto da bissetriz dos quadrantes pares ( -a , a ) ou ( a , -a)
EXERCÍCIO BÁSICO
01-(Unifesp 2002) Um ponto do plano cartesiano é representado pelas coordenadas (x + 3y, - x - y) e
também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de coordenadas. Nestas condições, x
igual a
a) -8. b) -6. c) 1. d) 8. e) 9.
y
é
GABARITO
1)A
2-DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema
cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A e B por meio do Teorema de Pitágoras.
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EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-Calcule a distância entre os pontos A( 1 , 3 ) e
B( -1,4)
02-Calcular a distância entre o ponto P (-6,8) à
origem.
03-(PUCCAMP) Sabe-se que os pontos A = (0;
0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices
consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas
07-Determine P, pertencente a bissetriz dos
quadrantes pares, equidistante de A (8,-8) e B( 12,-2)
08-(UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado
ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD,
em unidades de área, é
a) 4
b) 4 2
c) 8
d)8 2 e) 16
condições, o comprimento da BD é
a) 2 b) 3 c) 2 2 d) 5 e) 5
09-(PUC) O ponto B = (3, b) é eqüidistante dos
pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo o ponto B é:
a) (3, 1)
b) (3, 6)
c) (3, 3).
d) (3, 2)
e) (3, 0)
04-(UFRG) Sendo os pontos A = (- 1, 5) e B = (2,
1) vértices consecutivos de um quadrado, o
comprimento da diagonal desse quadrado é
10-(CESGRANRIO) A distância entre os pontos
a) 2.b) 2 2 . c) 3 2 . d) 5. e) 5 2
M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale:
a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8.
05-Dados A (x,5) , B (-2,3) e C ( 4,1), obtenha x para
que A seja equidistante de B e C.
GABARITO
06-Determine P, pertencente ao eixo x, sabendo que é
equidistante aos pontos A(1,3) e B (-3,5)
1) 5 2)10 3)D 4) E 5) x=2 6)P (-3,0) 7) (-5,5)
8)A 9)C 10)B
3- PONTO MÉDIO
Sejam os pontos A, B, e um ponto M, que divide AB ao meio, podemos dizer que as coordenadas XM e YM do ponto
médio M são obtidos por meio da média aritmética das abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais
M é ponto médio.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1)Calcular o comprimento da mediana AM do
triângulo ABC cujos vértices são os pontos
A(0,0), B(3,7) e C( 5,-1).
2) Dados os vértices consecutivos , A(-2,1) e
B(4,4), de um paralelogramo, e o ponto E (3,-1),
intersecção de suas diagonais, determinar os
outros dois vértices.
3-(IBMEC) Considere o triângulo ABC, onde A (2,
3), B (10, 9) e C (10, 3) representam as
coordenadas dos seus vértices no plano
cartesiano. Se M é o ponto médio do lado AB,
então, a medida de MC vale:
a) 2
3
b) 3 c) 5
d) 3
2
e) 6
4-(FEI) O simétrico do ponto A=(1,3) em relação
ao ponto P=(3,1) é:
a) B = (5, -1)
b) B = (1, -1)
c) B = (-1, 3)
d) B = (2, 2)
e) B = (4, 0)
5-(PUCMG) Os catetos AC e AB de um triângulo
retângulo estão sobre os eixos de um sistema
cartesiano. Se M = (-1, 3) for o ponto médio da
hipotenusa BC , é correto afirmar que a soma das
coordenadas dos vértices desse triângulo é igual
a:
3
a) - 4 b) - 1 c) 1 d) 4
a) (2, 7). b) (4, -5). c) (1, -6). d) (-4, 5). e) (6, 3).
06- (Puc-rio) Os pontos (-1, 6), (0, 0) e (3, 1) são
três vértices consecutivos de um paralelogramo.
Assinale a opção que apresenta o ponto
correspondente ao quarto vértice.
GABARITO
1)5 2) C (8,-3) e D (2,-6) 3)C 4)A 5) D 6)A
4-BARICENTRO
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3
medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto
ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde
A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :
Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias
aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC
onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) O baricentro de um triângulo é G( 1,6) e dois
de seus vértices são A(2,5) e B (4,7). Determinar
o terceiro vértice
d) (1, 5/3) e) (0, 3/2)
2) Calcule a distância do baricentro do triângulo
A ( 1,4), B( 2,7) e C (3,1) à origem.
1) C( -3,6) 2) 2 5 3)D
GABARITO
3)- (Fei) Dado um triângulo de vértices (1,1);
(3,1); (-1,3) o baricentro (ponto de encontro das
medianas) é:
a) (1, 3/2) b) (3/2, 1) c) (3/2, 3/2)
4
5-ÁREA DE TRIÂNGULO / ALINHAMENTO DE 3 PONTOS
5.1 - Área de um triângulo
Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por
S=
1
D onde
2
D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .
Temos portanto:
A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.
5.2 - Condição de alinhamento de três pontos
Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois
considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é
que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .
Exercício resolvido:
Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :
a) 4
b) 3
c) 3,5 d) 4,5 e) 2
Solução:
Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:
5
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:
- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0
y = 9/2 = 4,5.
Portanto a alternativa correta é a letra D.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-Para que valores de x os pontos A (x,x),
B(3,1) e C ( 7,-3), são colineares ?
02-Para que valores de a os pontos A (0,a) , B
(a, -4) e C (1 , 2) são vértices de um triângulo ?
03-Dados A(3,1) e B (5,5), obter o ponto em que
a reta AB intercepta o eixo das ordenadas.
04-Dados A ( 2,-3) e B ( 8,1), obter o ponto em
que a reta AB intercepta a bissetriz dos
quadrantes ímpares.
05-Dados A (7,4) e B( -4,2) , obter o ponto em
que a reta AB intercepta a bissetriz dos
quadrantes pares.
06-(UERJ) A área do triângulo, cujos vértices
são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:
a) 6.
b) 8
c) 9.
d) 10. e) 12
07-(PUC) O valor de x para que os pontos (1,3),
(-2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é:
a) 8.
b) 9
c) 11 d) 10 e) 5
08-(UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1),
Q = (2, 5) e R = (x, 4), com x > 0. Sabendo-se
que a área do triângulo é 20, a abscissa x do
ponto R é:
a) 8
b) 9
c) 10 d) 11 e) 12
09-(PUC) Calcule a área do triângulo de vértices
A = (1,2), B = (2,4) e C = (4,1).
a) 5/2 b) 3
c) 7/2 d) 4
e) 9/2
10-(PUCRIO) Os pontos (0,8), (3,1) e (1,y) do
plano são colineares. O valor de y é igual a:
a) 5 b) 6 c) 17/3 d) 11/2 e) 5,3
GABARITO
1) x=2 2) a≠-1 e a ≠ 4 3) (0,-5) 4) ( -13,-13)
5) (-30/13 , 30/13) 6)A 7)D 8)E 09)C 10)C
6- INCLINAÇÃO E COEFICIENTE ANGULAR DE
UMA RETA
6.1- COEFICENTE ANGULAR DA RETA CONHECENDO O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO
Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar
essa mesma reta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou
formarão uma reta).
Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para
formar uma reta, podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus
infinitos pontos e sabendo o valor do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.
Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o
seu coeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.
A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário
a partir de um ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu
coeficiente angular (m) igual a: m = tg β.
A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação
da inclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares:
6
Exemplo 1:
Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.
Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1.
Exemplo 2:
Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.
Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2.
Exemplo 3:
Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular
não irá existir, pois não é possível calcular a tg 90°.
Exemplo 4:
Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 180°, portanto, o
seu coeficiente angular será igual a: m = tg 180º = 0.
6.2-COEFICIENTE ANGULAR CONHECENDO AS COORDENADAS DE DOIS PONTOS
O coeficiente angular de uma reta ( m) é a tangente do ângulo de inclinação m = tgα
Porém em muitos casos não vamos conhecer o ângulo de inclinação, mas sim as coorcenadas de dois
pontos, A xa , y a e B xb , yb
7
Prolongando-se a reta que passa por A e é paralela ao eixo x, formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
m tg
cateto oposto
cateto adjacente
yA
xA
yB
xB
yB
xB
yA
xA
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01- (Ufrs 2007) Considere os coeficientes
angulares das retas r, s e t que contêm os lados
do triângulo representado a seguir.
Podemos afirmar que
a) o coeficiente linear de I é negativo.
b) o coeficiente linear de II é positivo.
c) ambos os gráficos possuem coeficiente linear
zero.
d) o coeficiente angular do gráfico II é maior que o
do gráfico I.
e) o coeficiente angular do gráfico I é maior que o
do gráfico II.
GABARITO
1)C 2)D
A sequência das retas r, s e t que corresponde à
ordenação crescente dos coeficientes angulares é
a) r, s, t. b) r, t, s. c) s, r, t.
d) s, t, r. e) t, s, r.
2- (Ufscar 2004) Considere a relação gráfica:
8
7- EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA RETA
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser
obtida a partir de um ponto A(x A, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x A, yA). Vamos obter
a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.
A equação fundamenta da reta é:
PARA FACILITAR A(x A, yA) =A x0 , y0
m
y y0
x x0
y
y0
m x x0
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1) Determine a equação da reta de 135 de
inclinação e que passa pelo ponto A (1,4).
2) Determine a equação da reta que passa pelos
pontos A (2,3) e B( 1,5)
c) x - 3y + 3 = 0
d) 3x - y - 1 = 0
e) 3x + y + 1 = 0
6-(Puccamp ) Na figura a seguir têm-se as retas r
e s, concorrentes no ponto (1;3).
3) (Unitau) A equação da reta que passa pelos
pontos (3, 3) e (6, 6) é:
a) y = x.
b) y = 3x.
c) y = 6x.
d) 2y = x.
e) 6y = x.
4- (Ufpe) A equação cartesiana da reta que
passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semieixo
positivo ox um ângulo de 60° é:
b)
2x-y= 2-1
3x+y=1- 3
c)
3x-y=
a)
3-1
3
3
x+y=12
2
3
3
e)
x-y=
-1
2
3
d)
Se os ângulos assinalados têm as medidas
indicadas, então a equação da reta
a) r é 3 x + 3y - 6 = 0
b) s é x + y + 4 = 0
c) r é - 3 x + 3y + 6 = 0
d) s é x + y - 4 = 0
e) r é - 3 x + 3y + 9 = 0
5-(Fei ) A equação da reta que intercepta o eixo
Ox no ponto x = 3 e o eixo Oy no ponto y = -1 é:
a) x - 3y - 1 = 0
b) x - 3y - 3 = 0
9
07-(Unirio )
A área desse triângulo é
A equação geral da reta anterior representada é:
a) 3x -
3y+6=0
b) 3x +
3y+6=0
c)
3x-y-2=0
d) y =
3x+2 3
e) y =
3
(x+2)
3
a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20
11- (Ufpi ) Se a reta de equação (k + 5)x - (4 -
k2)y + k2 - 6k + 9 = 0 passa pela origem, então
seu coeficiente angular é igual a:
a) 0 b) 5/4 c) -1 d) -8/5 e) 1/2
8-(Puc-rio) A reta x + y = 1 no plano xy passa
pelos pontos
a) (5, -4) e (1/2, 1/2).
b) (0, 0) e (1/2, 1/2).
c) (0, 0) e (1, 1).
d) (1, 0) e (1, 1).
e) (5, -4) e (4, -5).
12-(Ufmg ) Sejam A e B dois pontos da reta de
equação y = 2x + 2, que distam duas unidades
da origem. Nesse caso, a soma das abscissas
de A e B é
a) 5/8. b) -8/5 c) -5/8. d) 8/5.
9-(Ufrs ) Considere a figura a seguir.
13- (Pucpr ) Para que a reta (k - 3)x - (4 - k2)y +
k2 - 7k + 6 = 0 passe pela origem dos eixos
coordenados, o valor da constante k deve ser:
a) ± 2 b) ± 3 c) 1 e 6 d) -1 e -6 e) 2 e 3
14-(Ufpr ) Considere, no plano cartesiano, o
triângulo de vértices A = (0, 0), B = (3, 1) e
C = (1, 2) e avalie as afirmativas a seguir.
Uma equação cartesiana da reta r é
3
3
- x b) y =
(1-x)
3
3
c) y = 1 - 3 x d) y = 3 (1-x)
a) y =
e) y =
3 (x-1)
10-(Fatec) No plano cartesiano, considere o
triângulo determinado pelo ponto A e pelos
pontos de abscissas -3 e 7, representado a
seguir.
I. O triângulo ABC é isósceles.
II. O ponto D = (2, 1/2) pertence ao segmento
AB.
III. A equação da reta que passa pelos pontos B
e C é 2x + y = 5.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas II e III são
verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
15-(UFPR-12)Na figura abaixo estão representados,
em um sistema cartesiano de coordenadas, um
quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado
hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa
10
por um vértice de cada quadrado. Nessas condições,
a equação da reta r é:
d) x y
3
e) 2x y
3
Gabarito
1) y= -x+5 2) y=-2x+7 3) A 4)C 5)B 6)D 7)A 8)A
9)B 10)E 11)D 12)B 13)C 14)A 15)A
a) x 2y
4 b) 4x 9y
0 c) 2x 3y
1
8- TIPOS DE EQUAÇÃO DA RETA
8.1-Equação geral da reta
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:
Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.
11
8.2-Equação reduzida da reta
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular
m = tg(α):
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente
angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida
diretamente da equação geral ax + by + c = 0:
Onde:
8.3-Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).
Vamos escrever a equação da reta r:
12
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
Não é possível usar a equação segmentária da reta quando a reta for paralela a um dos eixos ou passa
pela origem.
8.4-Equação paramétrica da reta
As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá
fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta.
As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t.
Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes
passos:
Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra.
x=t+9
x–9=t
y = 2t – 1
y = 2 (x – 9) – 1
y = 2x – 18 – 1
y = 2x – 19
2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s.
8.5-Reta horizontal
É toda reta do tipo y=k.
8.6-Reta vertical.
É toda reta do tipo x=k . (ESTA RETA NÃO É FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU)
13
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(UNESP) Seja B (0, 0) o ponto da reta de
equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1,
1) é igual a distância de A à origem. Então a
abscissa de B é igual a:
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5
Nessa figura, está representada a reta r de
equação y = ax + 6. Se A = (-a-4, -a-4) pertence
à reta r, o valor de a é
2-(UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta
suporte da mediana do triângulo ABC, traçada
pelo vértice A, é:
a) y = 1
b) x = 1
c) x = y
d) x - y = 1
e) x + y = 1
6- (Ufrs) Um ponto P (x,y) descreve uma
trajetória no plano cartesiano, tendo sua posição
a cada instante t (t ≥ 0) dada pelas equações.
x
2t
A distância percorrida pelo ponto
y
3t
2
.
P (x,y) para 0 ≤ t ≤ 3 é
a) 2 b) 3 c) 13 d) 3 13 e) 61
3-(PUC) Considere a parábola de equação
y = -x²+ 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida
pelo vértice da parábola e tem uma inclinação de
135°, então a equação de r é
a) x + y -6 = 0
b) x - y + 2 = 0
c) x + y - 2 = 0
d) x - y - 4 = 0
e) x + y - 4 = 0
4- (Cesgranrio ) A equação da reta mostrada na
figura a seguir é:
a) - 5 b) - 2 c)
6
d) 2 e) 5
5
7-(Ufmg ) Um triângulo isósceles ABC tem como
vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0, 6).
O vértice C está sobre a reta y = x - 4. Assim
sendo, a inclinação da reta que passa pelos
vértices B e C é
a) 7/17 b) 10/23 c) 9/20 d) 12/25
08- (Fgv) O ponto da reta de equação
y = (1/2)x + 3, situado no 1 . quadrante e
equidistante dos eixos x e y, tem coordenadas
cuja soma é:
a) menor que 11.
b) maior que 25.
c) um múltiplo de 6.
d) um número primo.
e) um divisor de 20.
a) 3x + 4y - 12 = 0
c) 4x + 3y + 12 = 0
e) 4x - 3y + 12 = 0
b) 3x - 4y + 12 = 0
d) 4x - 3y - 12 = 0
GABARITO
1)D 2)A 3)A 4)B 5)A 6)D 7)A 8)C
5-(Ufmg ) Observe a figura a seguir.
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9- POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS NO PLANO
Duas retas podem ser representadas em um plano cartesiano de forma paralela ou concorrente. Mas cada uma
dessas formas possui características e elementos que ajudam na identificação da forma que estão dispostas no plano,
sem ser preciso construir o gráfico.
9.1-Retas paralelas
Duas retas são paralelas se não tiverem nenhum ponto em comum ou todos em comum e seus coeficientes angulares
forem iguais ou não existirem.
As retas u e t são paralelas e distintas. E por serem perpendiculares ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não
irão existir.
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E por serem perpendiculares
ao eixo Ox os seus coeficientes angulares não irão existir.
As retas u e t são paralelas e distintas. E os seus coeficientes angulares serão iguais.
PORTANTO
mu
mt e q u
qt
As retas u e t são paralelas e coincidentes, pois possuem todos os pontos em comum. E os seus coeficientes
angulares serão iguais.
PORTANTO
mu
mt e q u
qt
15
9.2-Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuírem apenas um ponto em comum. E seus coeficientes angulares poderão ser
diferentes ou um existir e o outro não.
As retas u e t são coincidentes e as inclinações das retas são diferentes de 90°. Assim, seus coeficientes angulares
serão diferentes.
As retas u e t são concorrentes e a inclinação da reta t é de 90°, sendo assim seu coeficiente angular não irá existir,
mas o coeficiente da reta u existe, pois não é perpendicular ao eixo Ox.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
03-(Cesgranrio ) As retas x + ay - 3 = 0 e 2x - y +
01-(Ufmg ) Observe a figura.
5 = 0 são paralelas, se a vale:
a) - 2 b) - 0,5 c) 0,5 d) 2 e) 8
04- (Cesgranrio) Se as retas y + (x/2) + 4 = 0 e
my + 2x + 12 = 0 são paralelas, então o
coeficiente m vale:
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
Nessa figura, os pontos B, C e D são colineares,
B = (2,3) e a área do triângulo OCD é o dobro da
área do paralelogramo OABC. Então, C é o
ponto de coordenadas
3
5
12
5
05-(Ufmg ) A reta r é paralela à reta de equação
3x-y-10=0. Um dos pontos de interseção de r
com a parábola de equação y=x 2-4 tem abscissa
1. A equação de r é
a) x + 3y + 8 = 0
b) 3x - y + 6 = 0
c) 3x - y - 6 = 0
d) x - 3y - 10 = 0
02-(Unaerp) A equação, no plano, x - 3 = 0,
06 (Ufmg ) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e
NÃO intercepta a reta de equação
y = (x/2) - 5. Considerando-se os seguintes
pontos, o ÚNICO que pertence à reta r é
a) (7, 6) b) (7, 13/2) c) (7, 7) d) (7, 15/2)
representa:
a) Um ponto do eixo das abcissas
b) Uma reta perpendicular ao eixo das
ordenadas
c) Uma reta perpendicular à reta x + y = 0
d) Uma reta concorrente à reta x + y = 0
e) Uma reta paralela à reta y - 3 = 0
07-(Fatec) Seja a reta r, de equação y=(x/2) +17.
Das equações a seguir, a que representa uma
reta paralela a r é
a) 2y = (x/2) + 10
b) 2y = - 2x + 5
c) 2y = x + 12
d) y = - 2x + 5
e) y = x + 34
a) 2,
b) 2,
c) (2, 1)
d) (3, 2) e) (2, 2)
16
08- (cftmg ) As retas x + ky = 3 e 2x - y = - 5 são
paralelas; logo o valor de k é
a) - 2 b) -1/2 c) 1/2 d) 2
09- (Ufrrj ) Sabendo que as retas mx + (m - 2)y =
m e (m + 3)x + (m + 5)y = m + 1 são paralelas, o
valor de m será:
a) 1/2. b) - 1/2. c) 3/2. d) - 3/2. e) 5/2.
10- (Unemat 2010) Dada a equação de reta (s):
2x - y +1 = 0 , a equação de reta paralela a s
pelo ponto P(1,1) será:
a) 2x - y = 0
b) 2x + y +1 = 0
c) 2x + y -1 = 0
d) 2x - y -1 = 0
e) 2x - y + 2 = 0
1)B 2)D 3)B 4)C 5)C 6)B 7)C 8)B 9)D 10)D
10-INTERSECÇÃO ENTRE RETAS / CURVAS
Relembrado a definição de retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se, somente se, possuírem um único
ponto em comum, ou seja, a intersecção das duas retas é o ponto em comum.
Considerando a reta t e u e as suas respectivas equações gerais das retas, a tx + bty + ct = 0 e aux + buy + cu = 0.
Representando-as em um plano cartesiano, iremos perceber que são concorrentes, pois possui o ponto A em comum.
O sistema formado com as equações gerais das retas terá como solução o par ordenado (x0, y0) que representa o
ponto de intersecção.
Exemplo: As equações gerais das duas retas r e s são respectivamente, x + 4y – 7 = 0 e 3x + y + 1 = 0. Determine o
ponto P(x0, y0) comum às retas r e s.
Sabemos que o ponto de intersecção de duas retas concorrentes é a solução do sistema formado por elas. Assim,
veja a resolução do sistema abaixo:
x + 4y – 7 = 0
3x + y + 1 = 0
x + 4y = 7
3x + y = -1
(-3)
-3x – 12y = -21
3x + y
= -1
-11y = -22
y=2
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações iremos obter o valor de x:
17
x + 4y = 7
x+4.2=7
x+8=7
x=7–8
x = -1
Portanto, o ponto P(x0, y0) = (-1,2).
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-(Ufmg ) Sejam t e s as retas de equações 2x -
y - 3 = 0 e 3x - 2y + 1 = 0, respectivamente. A
reta r contém o ponto A = (5,1) e o ponto de
interseção de t e s. A equação de r é:
a) 5x - y - 24 = 0 b) 5x + y - 26 = 0
c) x + 5y - 10 = 0 d) x - 5y = 0
02- (Puc-rio) O ponto de intersecção entre a reta
que passa por (4,4) e (2,5) e a reta que passa
por (2,7) e (4,3) é:
a) (3, 5). b) (4, 4). c) (3, 4). d) (7/2, 4).
e) (10/3, 13/3).
03- (Fei) As retas representadas pelas equações
y = 2x + 1, y = x + 3 e y = b - x passam por um
mesmo ponto. O valor de b é:
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
04-(Puc-rio) As retas dadas pelas equações x +
3y = 3 e 2x + y = 1 se interceptam:
a) em nenhum ponto.
b) num ponto da reta x = 0.
c) num ponto da reta y = 0.
d) no ponto (3, 0).
e) no ponto (1/2, 0).
05-(Unifesp ) Se P é o ponto de intersecção das
retas de equações x - y - 2 = 0 e (1/2) x + y = 3, a
área do triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P
é
a) 1/3. b) 5/3. c) 8/3. d) 10/3. e) 20/3.
06- (Ufpr ) Sabe-se que a reta r passa pelos
pontos A = (-2, 0) e P = (0, 1) e que a reta s é
paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo
ponto Q = (4, 2). Se B é o ponto em que a reta s
intercepta o eixo das abscissas e C é o ponto de
interseção das retas r e s, então o perímetro do
triângulo ABC é:
a) 3 (3 + 5 ) b) 3 (5 + 3 ) c) 5 (3 + 5 )
d) 3 (3 3 )
e) 5 ( 5 + 3 )
07- (Unifesp ) Dadas as retas r: 5x - 12y = 42, s:
5x + 16y = 56 e t: 5x + 20y = m, o valor de m
para que as três retas sejam concorrentes num
mesmo ponto é
a) 14. b) 28. c) 36. d) 48. e) 58.
08-(UFMG) A reta de equação y = 3x + a tem um
único ponto em comum com a parábola de
equação y = x² + x + 2. O valor de a é
a) - 2 b) - 1 c) 0
d) 1
e) 2
GABARITO
1)A 2)E 3)D 4)B 5)D 6)A 7)E 8)D
11-CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO
Considere duas retas perpendiculares r e s .
Pelo teorema dos ângulos externos temos :
2 =90
+
1
18
tg
2
sen 90 0
cos 90 0
PORTANTO tg
Portanto m s
1
1
sen900. cos
cos900. cos
1
1
sen 1. cos900 cos
=
sen
sen900.sen 1
1
=
1
1
tg
1
1
tg 1
2
1
, ou seja, mr .ms
mr
1
EXERCÍCIOS BÁSICOS
01-(FATEC) Se A=(-1,3) e B=(1,1), então a
mediatriz do segmento AB encontra a bissetriz
dos quadrantes pares no ponto:
a) (-1,1)
b) (-3/4, 3/4) c) (-6.6)
d) (-1/2, 1/2) e) (-1/4, 1/4)
02-(Ufmg ) A reta r é perpendicular à reta de
equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.
A equação da reta r é
a) x - 2y + 7 = 0
b) 2x + y - 7 = 0
c) -x + 2y + 7 = 0
d) 2x + y + 7 = 0
e) x + 2y - 1 = 0
03-(FEI) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e
(0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela
origem, então s contém o ponto:
a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5) d) (5, 1) e) (5, 0)
04-(Cesgranrio) A equação da reta que contém o
ponto A (1, 2) e é perpendicular à reta y=2x+3 é:
a) x + 2y - 5 = 0 b) 2x + y = 0
c) 2x + y - 4 = 0 d) x - 2y + 3 = 0
e) x + 3y - 7 = 0
05-(Ufmg ) O lado BC de um ângulo reto ABC
está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o
ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que
contém o lado BA. A equação da reta que
contém o lado BA é:
a) 4x + 2y - 5 = 0
b) x - 2y + 6 = 0
c) x + 2y - 10 = 0
d) 2x + y - 8 = 0
06- (Ufrn ) Sobre as retas y = -x + 3 e y = x + 3,
podemos afirmar que elas
a) se interceptam no ponto de coordenadas
(-1,2).
b) se interceptam formando um ângulo de 60°.
c) são perpendiculares aos eixos OX e OY,
respectivamente.
d) estão a uma mesma distância do ponto de
coordenadas (3, 3).
07-(Ufal) As retas de equações y + 3x - 1 = 0 e y
+ 3x + 9 = 0 são
a) coincidentes.
b) paralelas entre si.
c) perpendiculares entre si.
d) concorrentes no ponto (1, -9).
e) concorrentes no ponto (3, 0).
08-(Fgv ) A reta perpendicular à reta (r) 2x-y=5, e
passando pelo ponto P(1,2), intercepta o eixo
das abscissas no ponto:
a) (9/2, 0)
b) (5, 0)
c) (11/2, 0)
d) (6, 0)
e) (13/2, 0)
09-(Fgv) No plano cartesiano, o ponto da reta (r)
3x-4y=5 mais próximo da origem tem
coordenadas cuja soma vale:
a) -2/5 b) -1/5 c) 0 d) 1/5 e) 2/5
10 -(Fgv ) Considere os pontos A = (1, - 2);
B = (- 2, 4) e C = (3, 3). A altura do triângulo ABC
pelo vértice C tem equação:
a) 2y - x - 3 = 0
b) y - 2x + 3 = 0
c) 2y + x + 3 = 0
d) y + 2x + 9 = 0
e) 2y + x - 9 = 0
11. (Fgv ) As retas de equações y = - x - 1 e y =
[(-a + 1)/(a - 2)] x + 12 são perpendiculares.
O valor de a é:
a) 2 b) 1/2 c) 1 d) -2 e) 3/2
12. ( cftmg ) A equação da reta s perpendicular à
reta r: y = 2x + 1, traçada pelo ponto P (4, -1) é
a) y = - (1/2)x - 1
b) y = (1/2)x - 1
c) y = - (1/2)x + 1
d) y = (1/2) x + 1
13-(Pucmg ) Duas retas perpendiculares se
cortam no ponto (2, 5) e são definidas pelas
equações y = ax + 1 e y = bx + c. Com base
nessas informações, é correto afirmar que o
valor do coeficiente linear c é igual a:
a) - 4 b) - 2 c) 4 d) 6
14- (Ufscar ) Considere P um ponto pertencente
à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e
19
equidistante dos eixos coordenados. A equação
da reta que passa por P e é perpendicular a (r) é
a) 10x - 6y - 5 = 0. b) 6x - 10y + 5 = 0.
c) 15x - 9y - 16 = 0. d) 5x + 3y - 10 = 0.
e) 15x - 3y - 4 = 0.
15-(FEI) O ponto A', simétrico do ponto
A = (1, 1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é:
a) (1, 1)
b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2)
d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2)
GABARITO
1)A 2)A 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)B 9)B 10)A
11)E 12)C 13)D 14)A 15)C
12-DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Dado um ponto P=(xo,yo) e uma reta na sua forma geral ax+by+c=0, pode-se obter a distância d deste
ponto P à reta através da expressão matemática:
DISTÂNCIA É SEMPRE PERPENDICULAR
A distância da origem (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Fgv ) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta
de equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:
a) - 16/3 b) - 17/3 c) - 18/3 d) - 19/3 e) - 20/3
GABARITO
1)A
20
13-RESOLUÇÃO GEOMÉTRICA DE INEQUAÇÕES
Uma inequação do 1o grau com duas variáveis admite infinitas soluções que podem ser representadas
num sistema de eixos coordenados por uma região limitada por uma reta, conforme mostra a figura.
21
Exemplo 1
Resolver graficamente
a) x + y - 2 > 0 e x - y < 0
b) x + y - 2 > 0 ou x - y < 0
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Ufal) Seja R a região sombreada na figura a
seguir.
3
+ 3 e y ≤ -3x + 3
2x
2
b) y ≤
+ 3 e y ≤ -3x + 1
3x
3
c) y ≤
+ 3 e y ≥ -3x + 3
2x
3
d) y ≤ 3x + 3 e y ≤
+3
2x
a) y ≤
e) y ≥ 2x + 3 e y ≥ -3x -1
Essa região é o conjunto dos pontos (x, y) do
plano cartesiano, com y ≥ 0 e tais que
2-(Fgv) A região do plano cartesiano
determinada pelas inequações x + y ≤ 5 y ≤ 3
x ≥ 0 y ≥ 0 tem uma área A. O valor de A é:
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 12
22
3- (Pucrj ) A área delimitada pelos eixos x = 0, y
= 0 e pelas retas x + y = 1 e 2x + y = 4 é:
a) 3 b) 2 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,5
GABARITO
1)A 2)B 3)D 4)A 5)B 6)D
4- (Fgv) A área da região triangular limitada pelo
sistema de inequações
3x
5y
15
0
2x
5y
10
0
x
0
a) 2,5 b) 7,5 c) 5 d) 12,5 e) 3
5- (Puc-rio ) A área do triângulo determinado
pelas retas y = x, y = - x e y = 3 é:
a) 8. b) 9. c) 5. d) 4. e) 1.
6-(Ufrs ) A área do triângulo que tem lados sobre
as retas de equações y = - 2 x + 9, x = 1 e y = 1
é
a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.
14- EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação reduzida da circunferência é dada por (x-a)² + (y-b)² = r²,
Onde o centro da circunferência é o ponto C(a,b) e o raio é r.
A definição de uma equação de uma circunferência “ é a condição necessária para que um ponto de coordenadas P
(x,y) pertença a uma circunferência de centro C(a,b) e raio r “.
Ou seja
d CP
r
Usando a fórmula da distância entre dois pontos temos:
d CP
x a
xc
2
xp
2
y b
yc
2
yp
2
=r
=r
23
Elevando-se os dois lados ao quadrado temos:
(x-a)² + (y-b)² = r²,
Exemplo: Determine a equação reduzida da circunferência de centro C(-4,1) e R = 1/3.
Basta substituirmos esses dados na equação R2 = (x – a)2 + (y – b)2.
2
2
(x – (-4)) + (y – 1) = (1/3)
2
2
(x + 4) + (y – 1) = 1/9
2
Exemplo: Obtenha o centro e o raio da circunferência cuja equação é (x – 1/2)2 + (y + 5/2)2 = 9.
É preciso que seja feito à comparação das equações:
2
2
(x – 1/2) + (y + 5/2) = 9
2
2
2
(x – a) + (y – b) = R
- a = -1/2
a = 1/2
- b = 5/2
b = -5/2
R2 = 9
R=3
Portanto as coordenadas do centro da circunferência de equação (x – 1/2)2 + (y + 5/2) = 9 é igual a C(1/2, -5/2) e raio
igual a R = 3
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1- (Ufc ) O segmento que une os pontos de
interseção da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos
coordenados determina um diâmetro de uma
circunferência. A equação dessa circunferência
é:
a) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 5
b) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 20
c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25
d) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5
e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20
2- (Pucrs) Os pontos (3, 1) e (9, -7) são
extremidades de um dos diâmetros da
circunferência c. Então, a equação de c é
a) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 5
b) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 10
c) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 10
d) (x - 6)2 + (y - 3)2 = 25
e) (x - 6)2 + (y + 3)2 = 25
3-(Fatec ) A área do quadrilátero determinado
pelos pontos de intersecção da circunferência de
equação (x + 3)2 + (y - 3)2 = 10 com os eixos
coordenados, em unidades de área, é igual a
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
4- (Pucrs ) A distância entre o centro da
circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 5)2 = 9
e a reta de equação 2 y + 5 x = 0 é
a) - 5 b) 0 c) 2 d) 5 e) 9
5-(Uft ) Considere no plano cartesiano xy, a
circunferência de equação (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4
e o ponto P dado pela interseção das retas 2x 3y + 5 = 0 e x - 2y + 4 = 0. Então a distância do
ponto P ao centro da circunferência é:
a) o dobro do raio da circunferência
b) igual ao raio da circunferência.
c) a metade do raio da circunferência.
d) o triplo do raio da circunferência.
6-(Ufpel ) O gráfico a seguir representa a
função:
f(x) = x2 - 5x + 6.
Com base nessas informações é CORRETO
afirmar que a equação da circunferência que
passa em B e tem centro em A é:
a) (x - 6)2 + y = 45 b) x 2 + (y - 6)2 = 9
c) x2 + (y - 6)2 = 45 d) (x - 6)2 + y2 = 9
e) x2 + (y - 3)2 = 9
24
7- (Ufrgs ) Os pontos de interseção do círculo de
equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos
coordenados são vértices de um triângulo. A
área desse triângulo é
a) 22. b) 24. c) 25. d) 26. e) 28
GABARITO
1)A 2)E 3)B 4)B 5)A 6)C 7)B
15-EQUAÇÃO NORMAL DA CIRCUNFERÊNCIA
A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos
semelhantes.
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o
raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes:
comparação e redução.
Comparação
Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 =
0, temos:
–2a = –2
a=1
–2b = 8
2b = –8
a² + b² – r² = 8
r=3
b = –4
1² + (–4)² – r² = 8
1 + 16 – r² = 8
17 – r² = 8
– r² = 8 – 17
– r² = – 9
Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio
igual a r = 3.
Redução
Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.
Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo
os passos abaixo:
1º passo
É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8
2º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1
3º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.
2
2
(x – 2x +1) + (y + 8y + 16) = – 8 +1 + 16
25
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9
2
2
(x – 1) + (y + 4) = 9
Comparando com a equação reduzida.
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9
2
2
(x + a) + (y + b) = r
2
Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Udesc ) Para que a equação x2 + y2 - 4x + 8y
+ k = 0 represente uma circunferência, devemos
ter:
a) K < 20
b) K > 13
c) K < 12
d) K > 12
e) K < 10
2- (Fatec) Sejam O a origem do sistema de eixos
cartesianos e A o centro da circunferência de
equação x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. A equação de
reta que passa pelos pontos A e O é:
a) y = 2x + 1 b) y = 2x -1 c) y = x/2
d) y = 2x e) y = x
3-(Cesgranrio) As circunferências x 2 + y2 + 8x +
6y = 0 e x2 + y2 - 16x - 12y = 0 são:
a) exteriores.
b) secantes.
c) tangentes internamente.
d) tangentes externamente.
e) concêntricas.
4. (Ufrs ) A equação x2 + y2 + 4x - 6y + m = 0
representa um círculo se e semente se
a) m > 0 b) m < 0 c) m > 13
d) m > -13 e) m < 13
5-(Cesgranrio ) A equação da circunferência de
raio 5, cujo centro é o ponto comum às retas
x - y + 1 = 2 e x + y - 1 = 2 é:
a) x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
b) x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0
c) x2 + y2 - 4x + 2y + 20 = 0
d) x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0
e) x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0
6-(Unirio ) A equação x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0 é
de uma circunferência cuja soma do raio e das
coordenadas do centro é igual a:
a) -2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15
circunferência de raio 1 e centro
a) (- 6, 4). b) (6, 4). c) (3, 2).
d) (-3, -2). e) (6, -4).
8-(Ufv ) Considere a equação x 2 + y2 - 6x + 4y +
p = 0. O maior valor inteiro p para que a equação
anterior represente uma circunferência é:
a) 13 b) 12 c) 14 d) 8 e) 10
9- (Pucpr ) A distância do ponto P(1; 8) ao centro
da circunferência x2 + y2 - 8x - 8y + 24 = 0 é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
10-(Ufrs ) As extremidades de uma das diagonais
de um quadrado inscrito em um círculo são os
pontos (1, 3) e (-1, 1). Então, a equação do
círculo é
a) x2 + y2 + 4y - 2 = 0.
b) x2 + y2 - 4y + 2 = 0.
c) x2 + y2 - 2y + 2 = 0.
d) x2 + y2 + 2 = 0.
e) x2 + y2 - 4y = 0.
11 (Fatec) Num sistema de eixos cartesianos
ortogonais, considere a circunferência λ e a reta
r, de equações x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x +
7y - 21 = 0. A reta s, que é paralela a r e contém
o centro de λ, tem equação
a) 3x + 7y - 2 = 0
b) 3x - 7y - 2 = 0
c) 3x - 7y + 5 = 0
d) 3x + 7y - 16 = 0
e) 7x + 3y - 2 = 0
12- ( cftmg ) O lado do quadrado circunscrito à
circunferência de equação x 2 + y2 - 4x - 5 = 0
mede
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
13- (Ufrs ) Na figura a seguir, o octógono regular
está inscrito no círculo de equação
x2 + y2 - 4 = 0.
7-(Unifesp ) A equação x2 + y2 + 6x + 4y + 12 =
0, em coordenadas cartesianas, representa uma
26
e) x2
y2
4x 4y 4
0
19-(Ueg 2012) Considere num plano cartesiano duas
retas r e s. perpendiculares. A reta r tem equação
y 2x e a reta s intercepta o eixo x no ponto B
(10,0). Encontre a equação da circunferência que
passa pelos pontos A (0,0), B (10,0) e C, que é o ponto
de interseção das retas r e s.
A área do octógono é
a) 5 2 . b) 8 2 . c) 10. d) 10 2 . e) 20.
14- (Ufjf ) Considere uma circunferência c1 de
equação x2 + y2 + 8x - 2y - 83 = 0. Seja agora
uma circunferência c2 de centro em O(13, - 2)
que passa pelo ponto P(9, 0). A área da figura
plana formada pelos pontos internos à
circunferência c1 e externos à circunferência c2,
em unidades de área, é:
a) 20π. b) 80π. c) 100π. d) 120π. e) 200π.
15-(GV) Dada a equação x² + y² = 14x + 6y + 6, se
p é o maior valor possível de x, e q é o maior
valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a
a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92.
16- (Ufsm ) A massa utilizada para fazer pastéis
20) (Ufjf 2012) No plano cartesiano, considere os
pontos A( 1,2) e B(3,4).
a) Encontre a equação da reta r que passa por A e
forma com o eixo das abscissas um ângulo de
135º, medido do eixo para a reta no sentido antihorário.
b) Seja s a reta que passa por B e é perpendicular à
reta r. Encontre as coordenadas do ponto P ,
determinado pela intersecção das retas r e s .
c) Determine a equação da circunferência que possui
centro no ponto Q(2,1) e tangencia as retas r e s.
GABARITO
1) A 2) D 3)D 4)E 5)A 6)B 7)D 8)B 9)D
10)B 11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)E 17)A
18)B 19) (x-5)² +y²=25 20)a) y=-x+1 b) y=x+1
c) (x-2)² +(y-1)² =2
folheados, depois de esticada, é recortada em
círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que
a equação matemática da circunferência que
limita o círculo é x2 + y2 - 4x - 6y - 36 = 0 e
adotando π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a
área da massa utilizada para confeccionar cada
pastel são, respectivamente,
a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86
c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04
e) 14 e 153,86
17-(Fgv ) Dada a circunferência de equação
x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de
ordenada máxima. A soma das coordenadas de
P e:
a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1
18-(Fgv 2011) No plano cartesiano, uma
circunferência, cujo centro se encontra no
segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se
a distância da origem ao centro da circunferência
é igual a 4, a equação da circunferência é:
2
a) x
y2
2 10 x
2
b) x
y2
2 8 x
2
c) x
y2
2 10 x
2
d) x
y2
2 8 x
2 10 y 10
2 8 y 8
0
2 10 y 10
2 8 y 8
0
0
0
27
16-POSIÇÕES RELATIVAS: RETA E CIRCUNFERÊNCIA
CASO 1 – RETA EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MAIOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ <0
CASO 2 – RETA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É IGUAL AO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
CASO 3 – RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
DISTÂNCIA ENTRE O CENTRO E A RETA É MENOR QUE O RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA
A INTERSECÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DA RETA E A DA CIRCUNFERÊNCIA RESULTA EM UMA EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU COM Δ =0
Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou
seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum
ponto em comum.
28
O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida da
circunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência
2
2
2
(x - a) + (y - b) = R .
Resolvendo o sistema
é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o
seu descriminante Δ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:
Δ > 0 reta secante à circunferência
Δ = 0 reta tangente à circunferência
Δ < 0 reta externa à circunferência.
Se o discriminante Δ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar a
resolução da equação do segundo grau.
Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1) 2 + y2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção.
Resolução:
x + y – 6 = 0 → equação 1
2
2
(x+1) + y = 25 → equação 2
Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas.
x+y–6=0
x=6–y
Substituímos o valor de x na equação 2.
(6 – y +1)2 + y2 = 25
(-y + 7)2 + y2 = 25
(-y)2 – 14y + 49 + y2 = 25
2
2
y – 14y + 49 – 25 + y = 0
2
2y – 14y + 24 = 0 (: 2)
y2 – 7y + 12 = 0
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-7)2 – 4 . 1 . 12
Δ = 49 – 48
Δ=1
Como o descriminante Δ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir o
valor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.
Para y’= 4
x=6–y
x=6–4
x=2
Para y’’ = 3
29
x=6–y
x=6–3
x=3
Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3).
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1- (Fei ) O comprimento da corda que a reta
x + y = 3 determina na circunferência de centro
5
em (2,1) e raio
é:
2
a)
2 b) 2 2 c) 3 2 d) 4 2 e) 5 2
2-(Fei ) Qual deve ser o raio da circunferência
com centro no ponto O = (0,0) para que a reta
x - 2y - 10 = 0 seja tangente a essa
circunferência?
a) 4 2 b) 2 5 c) 20 d) 5 2 e) 4 5
3-(Ufrs ) O centro O = (x, y) de uma
pelo ponto O (0, 0). A medida do ângulo PÔQ
vale
a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90°
9- (Ufpi ) Se uma circunferência no segundo
quadrante, tangente a ambos os eixos, toca o
eixo y no ponto (0, 3), então o centro dessa
circunferência é o ponto:
a) (-3, 0) b) (-3, 3) c) (3, 3) d) (-4, 3) e) (2, 3)
10-(Ufrrj ) Se a área de uma figura é
representada pela solução do sistema
x2
y2
9
circunferência que passa pelos pontos (-1, 1) e
(1, 5), tem as coordenadas na relação
a) 2y + x = 6
b) 5y + 2x = 15
c) 5y + 3x = 15
d) 8y + 3x = 25
e) 9y + 4x = 36
corresponde a
4- (Ufes ) Sabe-se que b > 0 e que a reta
a)
5y + b(x - 5) = 0 é tangente à circunferência
x2 + y2 = 9. O valor de b é
a) 15/4 b) 16/3 c) 6 d) 20/3 e) 7
d)
x y 3
0
, pode-se afirmar que esta área
9 π 2
3 π 3
9π
b)
. c)
.
4
2
4
3 π 3
4
. e)
π 3
3
.
5-(Ufsm ) Dada a circunferência β: x2 + y2 - 4x -
12 = 0, então a circunferência α, que é
concêntrica à circunferência β e tangente à reta
r: x + y = 0, é
a) x2 + (y + 2)2 = 4
b) y2 - 4x + y2 = 0
c) x2 + y2 + 4y + 2 = 0
d) x2 + y2 - 4x + 2 = 0
e) (x + 2)2 + y2 = 2
6-(Ufsm ) A equação da circunferência de centro
C(2,1) e tangente à reta 3x - 4y + 8 = 0 é
a) (x2 + 2)2 + (y - 1)2 = 8
b) (x2 - 2)2 + (y - 1)2 = 2
c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 2
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4
e) (x - 2)2- (x - 1)2 = 4
7- (Fgv ) A reta de equação y = x - 1 determina,
na circunferência de equação x2 + y2 = 13, uma
corda de comprimento:
a) 4 2 b) 5 2 c) 6 2 d) 7 2 e) 8 2
8-(Ufsm ) As retas r e s tangenciam a
circunferência de equação x2 + y2 - 4x + 3 = 0,
respectivamente, nos pontos P e Q e passam
11- (Ufrs ) Considere a região plana limitada
pelos gráficos das inequações y ≤ - x - 1 e x2 +
y2 ≤ 1, no sistema de coordenadas cartesianas.
A área dessa região é
a) π/4 - 1/2
b) π/4 - 1/3
c) π/2 - 1
d) π/2 + 1
e) 3π/2 - 1
12-(Fgv ) No plano cartesiano, a reta de equação
x = k tangencia a circunferência de equação
(x - 2)2 + (y - 3)2 = 1. Os valores de k são:
a) -2 ou 0
b) -1 ou 1
c) 0 ou 2
d) 1 ou 3
e) 2 ou 4
13- (Ufes) Em um sistema de coordenadas
cartesianas com origem O, considere a
circunferência C dada pela equação x2 + y2 - 4x
- 8y + 15 = 0, cujo centro indicamos por P. A reta
OP intersecta C em dois pontos A e B, onde A é
o mais próximo da origem.
A equação da reta que tangencia a
circunferência C no ponto A é
a) x - 2y + 3 = 0 b) x + 2y - 5 = 0
c) 2x + y - 4 = 0 d) 2x + y - 5 = 0
e) 2x - y - 4 = 0
30
14- (Ufjf ) Sobre o conjunto de pontos de
18-(Pucrs ) A área da região do plano limitada
interseção da circunferência x2 + (y - 2)2 = 2
com a reta mx - y + 2 = 0, onde m é real,
podemos afirmar que:
a) contém um único ponto.
b) é o conjunto vazio.
c) contém dois pontos.
d) contém três pontos.
e) depende de m.
pela curva de equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 4 com
x≥1ey≤2é
a) 4π b) 2π c) π d) π/2 e) π/4
15- (Pucmg ) Considere a circunferência C de
equação (x + 1)2 + (y - 1)2 = 9 e a reta r de
equação x + y = 0. É CORRETO afirmar:
a) r é tangente a C.
b) r não corta C.
c) r corta C no ponto (1, 1).
d) r passa pelo centro de C.
19- ( cftmg ) Analisando a equação da reta r: x -
2y = 0 e da circunferência λ: x2 + y2 - 10y + 5 =
0, podemos afirmar que
a) a reta é tangente à circunferência.
b) a reta é secante à circunferência.
c) a reta é exterior à circunferência.
d) a reta está em plano distinto da circunferência.
20- (Uece ) A soma das coordenadas do centro
da circunferência que tem raio medindo 1 u.c.,
que está situada no primeiro quadrante e que
tangencia o eixo dos y e a reta 4x - 3y = 0, é
a) 3 u.c. b) 5 u.c. c) 4 u.c. d) 6 u.c.
16- (Pucrs) O raio da circunferência centrada na
origem que tangencia a reta de equação y = x -1
é
1
2
a) 1 b)
c) 2 d)
e) 2 -1
2
2
17-(Fatec ) Considere que R é a região do plano
21-(Ufc ) Em um sistema Cartesiano de
coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta
y = x + b é tangente ao círculo de equação
x2 + y2 = 1 é:
1
a) 2 b) 1 c) 2 d)
e) 3
2
cartesiano cujos pontos satisfazem as sentenças
(x - 2)2+ (y - 2)2 ≤ 4 e x ≤ y.
A área de R, em unidades de superfície, é
a) π b) 2π c) π2 d) 4π e) 4π2
GABARITO
1)E 2)B 3)A 4)A 5)D 6)D 7)B 8)D 9)B
10)B11)A 12)D 13)B 14)C 15)D 16)D 17)B
18)C 19)A 20)C 21) C
17-CÔNICAS E RECONHECIMENTO DE CURVAS
1-ELIPSE
Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos
fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.
31
Na ilustração da elipse acima temos:
F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c).
O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a.
O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b.
O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2.
A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.
Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que:
a² = b² + c²
Equação reduzida da elipse
De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as
seguintes equações reduzidas:
Exemplo 1
Vamos determinar as equações das seguintes elipses:
a)
a² = b² + c²
a² = 6² + 8²
a² = 100
a = 10
Equação:
32
b)
a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
a = 13
Equação:
Exemplo 2
Vamos determinar os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 9x² + 36y² = 144.
Temos que 16 > 4, portanto, o eixo maior está na abscissa (x). Dessa forma:
a² = 16 → a = 4
b² = 4 → a = 2
a² = b² + c² → 16 = 2 + c² → c² = 16 – 2 → c² = 14
Os focos são F1(14,0) e F2(–14,0) e as extremidades dos eixos maiores são A1(5,0) e A2(–5,0).
A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas descrevem movimentos
elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos da elipse. Essa teoria foi descoberta e
comprovada por Johannes Kepler (1571 – 1630), grande astrônomo alemão.
2-HIPÉRBOLE
No estudo da geometria analítica, as diversas figuras geométricas são estudadas do ponto de vista
algébrico. Ponto, retas, circunferências são esquematizadas com o auxílio da álgebra. As cônicas, que são
figuras geométricas oriundas de secções transversais realizadas em um cone, também são muito
exploradas. A própria circunferência, a elipse, a parábola e a hipérbole são classificadas de cônicas.
Vejamos como a hipérbole pode ser explorada do ponto de vista da geometria analítica.
Definição de hipérbole: Considere F1 e F2 como sendo dois pontos distintos do plano e 2c a distância entre
eles. Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano, tais que a diferença, em valor absoluto, das distâncias à
F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y e sua equação varia em cada um dos
casos. Vamos deduzir sua equação para cada um dos casos citados.
Hipérbole com focos sobre o eixo x.
33
Como os focos da hipérbole estão localizados sobre o eixo x, suas coordenadas serão: F 2(c, 0) e F1(– c, 0). Nesse
caso, a equação da hipérbole será do tipo:
Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Como os focos da hipérbole estão sobre o eixo y, suas coordenadas serão: F2(0, c) e F1(0, – c). Nesse caso, a
equação da hipérbole será do tipo:
Elementos e propriedades da hipérbole:
2c → é a distância focal.
c2 = a2 + b2 → relação fundamental.
A1(– a, 0) e A2(a, 0) → são os vértices da hipérbole.
2a → é a medida do eixo real.
2b → é a medida do eixo imaginário.
c/a → é a excentricidade
Exemplo 1. Determine a equação da hipérbole com focos F1(– 10, 0) e F2(10, 0) e eixo real medindo 16 unidades.
Solução: De acordo com as coordenadas dos focos percebemos que eles estão sobre o eixo x, pois as coordenadas y
são iguais a zero. Também podemos afirmar que c = 10.
Foi dado que o eixo real tem 16 unidades de comprimento. Logo, temos que:
2a = 16 → a = 8
Para determinar a equação da hipérbole precisamos conhecer os valores de a e b, portanto devemos utilizar a relação
fundamental para encontrarmos o valor de b. Segue que:
c2 = a2 + b2
34
102 = 82 + b2
2
b = 100 – 64
b2 = 36
b=6
Conhecidos os valores de a e b podemos escrever a equação da hipérbole com focos sobre o eixo x:
Exemplo 2. Determine as coordenadas dos focos da hipérbole de equação:
Solução: Observando a equação da hipérbole podemos constatar que seus focos estão sobre o eixo y, logo terão
coordenadas do tipo F1(0, – c) e F2(0, c).
Da equação da hipérbole obtemos que:
a2 = 16 → a = 4
2
b =9→b=3
Utilizando a relação fundamental, teremos:
c2 = a2 + b2
c2 = 16 + 9
c2 = 25
c=5
Portanto, os focos da hipérbole são F1(0 , – 5) e F2(0, 5).
3- PARÁBOLA
2-Como traçar uma parábola.
Com pregos, barbante e um lápis, você consegue desenhar circunferência, elipse e também uma parábola. Parábola é
o lugar geométrico tal que distam igualmente de uma reta fixa d, chamada diretriz, e de um ponto fixo F, não
pertencente à diretriz, chamado foco.
Imagine uma reta d, um ponto F (foco) e o barbante preso ao prego no ponto F.
O comprimento do barbante tem que ser constante e a sua outra ponta deve correr livre sobre a reta d, o lápis deve se
deslocar, mas sempre o barbante, entre o lápis e a reta d, deve ser perpendicular à reta:
35
2-Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das
abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto
qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da
parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x 0, y0), a equação acima fica:
2
(y - y0) = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem
36
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será:
x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x 0, y0), a equação acima
fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2
p=4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x
y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2
2
Logo, (y - 0) = 2.4(x - 2)
2
2
y = 8(x-2)
p = 4.
2
y - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2
2
Daí, vem: (y - 3) = 2.8(x - 2)
p = 8.
2
y - 6y + 9 = 16x - 32
y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2
2
(x - 0) = 2.6(y - 1)
2
x = 12y - 12
p = 6. Logo,
2
x - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
Lógico que você já ouviu falar das antenas parabólicas. Se você observar a figura e a definição de
parábola, deve deduzir sua utilização.
Todas as retas que incidam perpendicularmente na parábola "refletem" e se concentram no foco. As antenas
parabólicas recebem raios paralelos e concentram estes raios no foco onde existe um receptor em que todos os sinais
fracos se concentram tornando-se um sinal forte.
EXERCÍCIOS BÁSICOS
1-(Ufv ) O gráfico da equação x3y + xy3 - xy = 0
consiste de:
a) duas retas e uma parábola.
b) duas parábolas e uma reta.
c) dois círculos e uma reta.
d) duas retas e um círculo.
e) um círculo e uma parábola.
2. (Cesgranrio) A segunda lei de Kepler mostra que
os planetas se movem mais rapidamente quando
próximos ao sol do que quando afastados dele.
Lembrando que os planetas descrevem órbitas
elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos
afirmar que, dos pontos assinalados na figura,
37
aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o
ponto:
7. (Cesgranrio) A equação 9x2 + 4y2 - 18x - 27 = 0
representa, no plano cartesiano, uma curva
fechada. A área do retângulo circunscrito a essa
curva, em unidades apropriadas, vale:
a) 36 b) 24 c) 18 d) 16 e) 12
8. (Uece) A área do quadrilátero cujos vértices são
as interseções da elipse 9x 2+25y2=225 com os
eixos coordenados é igual, em unidades de área, a:
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36
9. (Ufc ) Um segmento de reta desloca-se no plano
a) A b) B c) C d) D e) E
3. (Uff ) As equações y - 2x = 0, y + x 2 = 0 e
y2 - x2 + 1 = 0 representam no plano,
respectivamente:
a) uma reta, uma hipérbole e uma parábola
b) uma parábola, uma hipérbole e uma reta
c) uma reta, uma parábola e uma elipse
d) uma elipse, uma parábola e uma hipérbole
e) uma reta, uma parábola e uma hipérbole
cartesiano de tal forma que uma de suas
extremidades permanece sempre no eixo y e o seu
ponto médio permanece sempre no eixo x. Então, a
sua outra extremidade desloca-se ao longo de
uma:
a) circunferência.
b) parábola.
c) reta.
d) elipse.
e) hipérbole.
10. (Ufpi ) O gráfico da equação x 2 - y2 = 4
representa uma hipérbole. Os focos dessa
hipérbole são:
a)
4. (Unirio) As equações x2 - 9y2 - 6x - 18y - 9 = 0,
x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0 e x 2 - 4x - 4y + 8 = 0
representam, respectivamente, uma:
a) hipérbole, uma elipse e uma parábola.
b) hipérbole, uma circunferência e uma reta.
c) hipérbole, uma circunferência e uma parábola.
d) elipse, uma circunferência e uma parábola.
e) elipse, uma circunferência e uma reta.
5. (Cesgranrio ) O gráfico que melhor representa a
curva de equação x2 + 16y2 = 16 é:
1
,0 e
2
1
,0
2
b) (2, 0) e (-2, 0)
c) (2 2 , 0) e (-2 2 , 0)
d) (0,
e)
0,
2 ) e (0, - 2 )
1
1
e 0,
2
2
11. (Ufc ) O número de pontos de interseção das
curvas x2 + y2 = 4 e (x2/15) + (y2/2) = 1 é igual a:
a) 0 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
12. (Fgv) No plano cartesiano, a curva de equações
paramétricas x=2cost e y=5sent com t lR é:
a) uma senoide
b) uma cossenoide
c) uma hipérbole
d) uma circunferência
e) uma elipse
13. (Cesgranrio 2002) Uma montagem comum em
6. (Unirio ) A área do triângulo PF1F2, onde P(2,-8)
e F1 e F2 são os focos da elipse de equação x 2/25
+ y2/9 = 1, é igual a:
a) 8 b) 16 c) 20 d) 32 e) 64
laboratórios escolares de Ciências é constituída por
um plano inclinado, de altura aproximadamente
igual a 40cm, com 4 canaletas paralelas e apoiado
em uma mesa, forrada de feltro, cuja borda é
curvilínea. Sobre a mesa há um ponto marcado no
38
qual se coloca uma bola de gude. A experiência
consiste em largar, do alto do plano inclinado, outra
bola de gude, a qual, depois de rolar por uma das
canaletas, cai na mesa e colide sucessivamente
com a borda da mesa e com a primeira bola.
A borda da mesa tem a forma de um arco de:
a) elipse, e o ponto marcado é um de seus focos.
b) parábola, e o ponto marcado é seu foco.
c) hipérbole, e o ponto marcado é um de seus
focos.
d) hipérbole, e o ponto marcado é seu centro.
e) circunferência, e o ponto marcado é seu centro.
14. (Ufrn ) O conjunto dos pontos P = (x,y), que
estão a uma mesma distância do ponto F = (0,2) e
do eixo ox, no plano cartesiano xy é
a) a parábola de equação y = (x 2/2) + 4.
b) a parábola de equação y = (x 2/4) + 1.
c) a parábola de equação y = 4x 2 +1.
d) a parábola de equação y = 2x 2 +1.
15. (Pucmg ) O gráfico da curva de equação (x 2/4) -
(y2/9) = 1 é uma:
a) circunferência.
c) hipérbole.
Considerando o metro a unidade dos eixos, o
comprimento da sombra projetada é de:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
18. (Ufc ) No plano cartesiano, x 2 - y2 + 5x - 5y = 0
é uma equação de:
a) um conjunto vazio.
b) um conjunto unitário.
c) uma hipérbole.
d) duas retas paralelas.
e) duas retas concorrentes.
b) elipse.
d) parábola.
16. (Unifesp ) A área sombreada na figura,
19. (Unifesp ) A parábola y = x 2 - nx + 2 tem vértice
no ponto (xn, yn).
O lugar geométrico dos vértices da parábola,
quando n varia no conjunto dos números reais, é
a) uma parábola.
b) uma elipse.
c) um ramo de uma hipérbole.
d) uma reta.
e) duas retas concorrentes.
20. (Fatec) As intersecções das curvas de equações
limitada pela elipse e pela reta indicadas, é:
a) π. b) 2π. c) 3π. d) 4π. e) 6π.
17. (Uerj ) Um holofote situado na posição (-5,0)
ilumina uma região elíptica de contorno x 2 + 4y2 =
5, projetando sua sombra numa parede
representada pela reta x = 3, conforme ilustra a
figura a seguir.
x2 + y2 - 7x - 9 = 0 e y2 = x + 2 são vértices de um
polígono. A equação da reta traçada pela
intersecção das diagonais desse polígono, e
paralela à reta de equação
2x - y + 3 = 0, é
a) x + 2y - 2 = 0
b) x + 2y + 2 = 0
c) 2x - y + 4 = 0
d) 2x - y - 2 = 0
e) 2x - y + 2 = 0
21. (Udesc ) Analise as afirmações dadas a seguir,
classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
( ) A equação x2 - 2x + y2 + 2y + 1 = 0
representa uma circunferência que é tangente,
tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das
ordenadas.
( ) A elipse de equação 9x 2 + 4y2 = 36 intercepta
a hipérbole de equação x2 - 4y2 = 4 em apenas
39
dois pontos, que são os vértices da hipérbole.
( ) O semieixo maior da elipse 9x 2 + 4y2 = 36 é
paralelo ao eixo real da hipérbole x 2 - 4y2 = 4.
Assinale a alternativa que contém a sequência
correta, de cima para baixo.
a) V - V - V b) V - V - F
c) F - V - F d) F - F - V
e) V - F - F
22. (Uft ) Considere IR o conjunto dos números
x2
y2 1 em um único ponto. A soma dos
4
valores de b é:
a) 0 b) 2 c) 2 5 d) 5 e) 2 5
elipse
GABARITO
1) D 2)E 3)E 4)C 5)C 6)D 7)B 8)A 9)D 10)C
11)C 12)E 13)B 14)B 15)V 16)C 17)C 18)E
19)A 20)D 21)B 22)A
reais e b IR . Encontre os valores de b, tais que
no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a
40
QUESTÕES PARA A PO
01-(FUVEST) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e é
perpendicular à reta AB onde A = (0, 0) e B é o
centro da circunferência x 2 + y2 - 2x - 4y = 20.
Então a equação de s é:
a) x - 2y = - 6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3
d) y - x = 3
e) 2x + y = 6
(0, 4), B = (2, 3) e C é um ponto qualquer da
circunferência x 2 + y2 = 5. A abcissa do ponto C
que torna a área do triângulo ABC a menor possível
é:
a) - 1 b) - 3/4 c) 1 d) 3/4 e) 2
7. (FUVEST) Para cada número real n seja
2. (FUVEST) Sejam A = (1, 2) e B = (3, 2) dois
pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o
segmento AC é obtido do segmento AB por uma
rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do
ponto A. As coordenadas do ponto C são:
5
a) (2, 2 + 3 ).
b) 1 3,
2
c) (2, 1 + 3 ).
d) (2, 2 - 3 ).
e) (1 +
3 , 2 + 3 ).
3. (FUVEST) Uma circunferência de raio 2,
localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x
e a reta de equação 4x - 3y = 0.
Então a abscissa do centro dessa circunferência é:
a) 1
b) 2
c) 3 d) 4
)5
4. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) é tangente à
circunferência (x - 4)2 + y2 = 4. Determine o seno
do ângulo que a reta forma com o eixo x.
1
1
3
a) .
b) .
c)
.
2
2
5
d)
2
.
2
e)
Pn=(xn,yn) o ponto de intersecção das retas nx + y
= 1 e x - ny = 1. Sabendo-se que todos os pontos
Pn pertencem a uma mesma circunferência, qual é
o centro dessa circunferência?
a) (1/2, 1/2)
b) (0,0) c) (-1/2, 1/2)
d) (-1/2, -1/2) e) (1,1)
8. (FUVEST) O segmento AB é diâmetro da
circunferência de equação x 2 + y2 = 10y. Se A é o
ponto (3, 1), então B é o ponto
a) (-3, 9) b) (3, 9) c) (0, 10) d) (-3, 1) e) (1, 3)
9. (FUVEST) As retas r e s são perpendiculares e
interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo
ponto (0, 5). Uma equação da reta r é
a) 2y + x = 10 b) y = x +2
c) 2y - x = 6
d) 2x + y = 8
e) y = 2x
10. (FUVEST) Na figura a seguir, A é um ponto do
plano cartesiano, com coordenadas (x, y). Sabendo
que A está localizado abaixo da reta r e acima da
reta s, tem-se
5.
5. (FUVEST) A figura adiante mostra parte do
gráfico de uma função polinomial f(x) de grau 3. O
conjunto de todos os valores reais de m para os
quais a equação f(x)=m tem três raízes reais
distintas é:
x
x
e y < -x + 1 b) y < ou y > -x + 1
2
2
x
x
c) < y e y > -x + 1 d) -x + 1 < y <
2
2
x
e) < y < -x + 1
2
a) y <
a) -4 < m < 0
d) -1 < m < 1
b) m > 0
e) m > - 4
c) m < 0
11. (FUVEST)
6. (FUVEST) Considere o triângulo ABC, onde A =
Uma reta de coeficiente angular m >
0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à
41
circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1),
(5,1), (5,5) e (1,5). Então
a) 0 < m <
1
3
d) m = 1
b) m =
1
3
e) 1 < m <
c)
equação (x2 + y2 + 1) . (2x + 3y - 1) . (3x - 2y + 3) =
0, pode ser representado, graficamente, por:
1
<m<1
3
5
3
12. (FUVEST) Uma reta r determina, no primeiro
17. (FUVEST) A elipse x2 + (y2/2) = 9/4 e a reta y =
quadrante do plano cartesiano, um triângulo
isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos
onde a reta intercepta os eixos 0x e 0y. Se a área
desse triângulo é 18, a equação de r é:
a) x - y = 4
b) x - y = 16
c) x + y = 2
d) x + y = 4
e) x + y = 6
2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos
pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto
13. (FUVEST) Uma circunferência passa pelos
pontos (2,0), (2,4) e (0,4). Logo, a distância do
centro dessa circunferência à origem é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
14. (FUVEST) Das regiões hachuradas na
sequência, a que melhor representa o conjunto dos
pontos (x, y), do plano cartesiano, satisfazendo ao
conjunto de desigualdades
médio do segmento AB é:
a) (-2/3, -1/3) b) (2/3, -7/3) c) (1/3, -5/3)
d) (-1/3, 1/3) e) (-1/4, 1/2)
18. (FUVEST) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são
vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD
situado no primeiro quadrante. O lado AD é
perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence à
circunferência de centro na origem e raio 5 .
Então, as coordenadas de C são:
a) (6, 2)
b) (6, 1)
c) (5, 3)
d) (5, 2)
e) (5, 1)
19. (FUVEST) Duas retas s e t do plano cartesiano
x ≥ 0;
y ≥ 0;
x - y + 1 ≥ 0;
x2 + y2 ≤ 9,
é:
se interceptam no ponto (2,2). O produto de seus
coeficientes angulares é 1 e a reta s intercepta o
eixo dos y no ponto (0,3). A área do triângulo
delimitado pelo eixo dos x e pelas retas s e t é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
15. (FUVEST) Se (m + 2n, m - 4) e (2 - m, 2n)
representam o mesmo ponto do plano cartesiano,
então mn é igual a:
a) -2 b) 0 c)2
d) 1
e) 1/2
20. (FUVEST) Duas irmãs receberam como herança
16. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x, y) do plano
cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a
um terreno na forma do quadrilátero ABCD,
representado a seguir em um sistema de
42
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo
uma cerca reta perpendicular ao lado AB e
passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para
que se obtenham dois lotes de mesma área é:
24. (FUVEST) No plano cartesiano x0y, a reta de
equação x + y = 2 é tangente à circunferência C no
ponto (0,2). Além disso, o ponto (1,0) pertence a C.
Então, o raio de C é igual a
3 2
2
9 2
d)
2
a)
5 2
2
11 2
e)
2
b)
c)
7 2
2
25. (FUVEST) No plano cartesiano, os pontos (0, 3)
5-1
b) 5 - 2 2
d) 2 + 5
e) 5 + 2 2
a)
c) 5 -
2
21. (FUVEST) O conjunto dos pontos (x,y), do plano
cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = │x
- y│, consiste de
a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.
22. (FUVEST) A circunferência dada pela equação
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos
coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a
figura.
O segmento MN é paralelo ao segmento AB e
contém o centro C da circunferência. É correto
afirmar que a área da região hachurada vale
a) π - 2 b) π + 2 c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8
23. (FUVEST) Considere, no plano cartesiano Oxy,
a circunferência C de equação (x - 2)2 + (y - 2)2 = 4
e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os
eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de
base PQ, e com o maior perímetro possível.
e (-1, 0) pertencem à circunferência C. Uma outra
circunferência, de centro em (-1/2,4) é tangente a C
no ponto (0,3). Então, o raio de C vale
5
5
5
3 5
a)
b)
c)
d)
e) 5
8
4
2
4
26.(FUVEST) No plano cartesiano Oxy , a
circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de
abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas
condições, o raio de C vale
a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10
27.( FUVEST) São dados, no plano cartesiano, o
ponto P de coordenadas (3,6) e a circunferência C
2
2
y 2
1. Uma reta t passa
de equação x 1
por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a
distância de P a Q é
a) 15 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
28-(FUVEST) Considere o triângulo ABC no plano
cartesiano com vértices A = (0, 0),
B = (3, 4) e C = (8, 0). O retângulo MNPQ tem os
vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice
Q sobre o lado A—B e o vértice P sobre o lado B —
C. Dentre todos os retângulos construídos desse
modo, o que tem área máxima é aquele em que o
ponto P é
a) (4, 16/ 5 )
b) ( 17 /4 , 3) c) (5, 12 /5 )
d) ( 11/ 2 , 2)
e) (6, 8 /5)
29-(FUVEST) A equação X² + 2x +y² + my =n, em
que m e n são constantes, representa uma
circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a
reta y= -x + 1 contém o centro da circunferência e a
intersecta no ponto (23, 4). Os valores de m e n são,
respectivamente,
a) 24 e 3 b) 4 e 5 c) 24 e 2 d) 22 e 4 e) 2 e 3
Então, a área de PQR é igual a:
a) 2 2 - 2
b) 2 2 - 1
d) 2 2 + 2
e) 2 2 + 4
c) 2 2
43
30. (UNESP) Seja A a intersecção das retas r, de
equação y = 2x, e s, de equação y = 4x - 2. Se B e
C são as intersecções respectivas dessas retas
com o eixo das abscissas, a área do triângulo ABC
é:
a) 1/2. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
d) y = x +
e) y = 3x +
3 e y = -x.
3 e y = -3x.
36. ((UNESP) Quando "a" varia sobre todos os
cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2),
B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo,
o valor de m deve ser:
a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3.
números reais, as equações y = ax + 1
representam
a) um feixe de retas paralelas.
b) um feixe de retas passando por (1, 0).
c) todas as retas passando pela origem.
d) todas as retas passando por (0, 1).
e) todas as retas passando por (0, 1), exceto uma.
32. (UNESP) Seja B ≠ (0, 0) o ponto da reta de
37. ((UNESP) Num sistema de coordenadas
equação y = 2x cuja distância ao ponto A = (1, 1) é
igual a distância de A à origem. Então a abscissa
de B é igual a:
a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5
cartesianas ortogonais xOy, considere a reta r de
equação y=x+1 e o ponto P=(2, 1). O lugar
geométrico dos pontos do plano, simétricos dos
pontos de r em relação a P, é a reta de equação
a) y = x - 1. b) y = - x + 1. c) y = x + 3.
d) y = x - 3. e) y = - x + 2.
31. ((UNESP) Dado um sistema de coordenadas
33. (UNESP) Considere uma circunferência de raio
r < 4, com centro na origem de um sistema de
coordenadas cartesianas. Se uma das tangentes à
circunferência pelo ponto (4, 0) forma com o eixo x
um ângulo de 30°, então o ponto de tangência
correspondente é:
a) (1, - 3 ) b) (1, - 2 ) c) (
d) (
1
1
, - 2 ) e) ( ,
2
2
3
2
1
,- 3)
2
)
38. (UNESP) O comprimento da corda que a reta y
= x determina na circunferência de equação
(x + 2)2 + (y - 2)2 = 16 é
a) 4. b) 4 2 . c) 2. d) 2 2 . e) 2 .
39. (UNESP) Seja
S = {(x, y) e IR2: x2 + y2 ≤ 16 e x2 + (y - 1)2 ≥ 9}
uma região do plano. A área de S é:
a) 5. b) 7. c) 5π. d) 7π. e) 7π2.
40. (UNESP) A equação da circunferência com
34. (UNESP) A distância do vértice da parábola
y = (x - 2) (x - 6) à reta y = (4/3)x + 5 é:
a) 72/25
b) 29/25
c) 43
d) 43/25
e) 43/5
35. (UNESP) Os pontos O, A e B, do plano
cartesiano da figura adiante, são os vértices de um
triângulo equilátero cuja medida dos lados é dada
por 3 . As equações das retas AB e OB são,
respectivamente,
centro no ponto C= (2,1) e que passa pelo ponto
P= (0,3) é dada por
a) x2 + (y - 3)2 = 0.
b) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4.
c) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 8.
d) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16.
e) x2 + (y - 3)2 = 8.
41. (UNESP) O triângulo PQR, no plano artesiano,
de vértices P=(0,0), Q=(6,0) e R=(3,5), é
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
a) y = ( 2 ) . x - 3 e y = (- 2 ) . x.
b) y = ( 3 ) . x - 2 e y = (- 3 ) . x.
c) y = ( 3 ) . x - 3 e y = (- 3 ) . x.
44
42. (UNESP) A figura representa uma elipse.
46. (UNESP) Suponha que um planeta P descreva
uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de
modo que, considerando um sistema de
coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a
estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser
descrita aproximadamente pela equação
x2
100
A partir dos dados disponíveis, a equação desta
elipse é
a)
b)
x2
5
x
y2
+
7
5
2
+
9
y2
= 1, com x e y em milhões de
25
quilômetros.
A figura representa a estrela O, a órbita descrita
pelo planeta e sua posição no instante em que o
ângulo PÔA mede
= 1.
y
7
π
.
4
2
= 1.
16
c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1.
d)
e)
x
5
2
+
9
x
3
5
2
+
y
7
2
= 1.
16
y
4
7
2
= 1.
43. (UNESP) O conjunto de todos os pontos P(x, y)
do plano, com y ≠ 0, para os quais x e y
satisfazem a equação sen [y/(x 2 + 1)] = 0 é uma
a) família de parábolas.
b) família de circunferências centradas na origem.
c) família de retas.
d) parábola passando pelo ponto Q(0,1).
e) circunferência centrada na origem.
A distância, em milhões de km, do planeta P à
estrela O, no instante representado na figura, é:
a) 2 5 . b) 2 10 . c) 5 2 .
d) 10 2 . e) 5 10 .
47. (UNESP) A figura mostra a representação de
algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas
possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas
por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir
que:
44. (UNESP) Num sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a
equação geral da reta que passa pelos pontos P e
Q, sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao
eixo y, do ponto Q' = (1, 2) são, respectivamente:
a) 1/3; x - 3y - 5 = 0.
b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0.
c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0.
d) 1/3; x + 3y - 5 = 0.
e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.
45. (UNESP) Um triângulo tem vértices P = (2, 1),
Q = (2, 5) e R = (x 0, 4), com x0 > 0. Sabendo-se
que a área do triângulo é 20, a abscissa x 0 do
ponto R é:
a) 8. b) 9. c) 10. d) 11. e) 12.
I. os postes de iluminação projetam sobre a rua
uma área iluminada na forma de uma elipse de
excentricidade 0,943;
II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente
abaixo da lâmpada, no meio da rua;
III. o eixo menor da elipse, perpendicular à
calçada, tem exatamente a largura da rua
(calçadas e pista).
Se desejarmos que as elipses de luz se
tangenciem nas extremidades dos eixos maiores,
a distância, em metros, entre dois postes
consecutivos deverá ser de aproximadamente:
Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e
0,111
45
a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15.
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
Uma fábrica utiliza dois tipos de processos, P1 e
P2, para produzir dois tipos de chocolates, C1 e
C2. Para produzir 1 000 unidades de C1 são
exigidas 3 horas de trabalho no processo P1 e 3
horas em P2. Para produzir 1 000 unidades de C2
são necessárias 1 hora de trabalho no processo
P1 e 6 horas em P2. Representando por x a
quantidade diária de lotes de 1 000 unidades de
chocolates produzidas pelo processo P1 e por y a
quantidade diária de lotes de 1000 unidades de
chocolates produzidas pelo processo P2, sabe-se
que o número de horas trabalhadas em um dia no
processo P1 é 3x + y, e que o número de horas
trabalhadas em um dia no processo P2 é 3x + 6y.
b)
c)
48. (Unesp 2010) Dado que no processo P1 pode-
se trabalhar no máximo 9 horas por dia e no
processo P2 pode-se trabalhar no máximo 24
horas por dia, a representação no plano cartesiano
do conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem,
simultaneamente, às duas restrições de número
de horas possíveis de serem trabalhadas nos
processos P1 e P2, em um dia, é:
d)
e)
49. (UNESP) Dado que o lucro na venda de uma
a)
unidade do chocolate produzido pelo processo P1
é de R$ 0,50, enquanto que o lucro na venda de
uma unidade do chocolate produzido pelo
processo P2 é de R$ 0,80, e se forem vendidas
todas as unidades produzidas em um dia nos dois
processos, no número máximo possíveis de horas,
o lucro obtido, em reais, será:
a) 3.400,00.
b) 3.900,00.
c) 4.700,00.
d) 6.400,00.
e) 11.200,00.
46
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:
A figura a seguir apresenta parte do mapa de uma
cidade, no qual estão identificadas a catedral, a
prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o
quadriculado não representa os quarteirões da cidade,
servindo apenas para a localização dos pontos e retas
no plano cartesiano.
Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos
equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a
Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa)
é formada pelos pontos equidistantes da prefeitura e da
câmara de vereadores.
53- (UNICAMP) No plano cartesiano, a reta de equação
2x – 3y = 12 intercepta os eixos coordenados nos
pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem
coordenadas
a) (4, 4/ 3). b) (3, 2). c) (4, – 4 /3). d) (3, –2).
54. (ITA) Três pontos de coordenadas, respectivamente,
(0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com
b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do
quarto vértice são dadas por:
a) (- b, - b)
b) (2b, - b)
c) (4b, - 2b)
d) (3b, - 2b) e) (2b, - 2b)
55. (ITA) Uma reta t do plano cartesiano xOy tem
coeficiente angular 2a e tangencia a parábola y = x 2 - 1
no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as
coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = 2d, então a/b é igual a:
a) - 4/15 b) - 5/16 c) - 3/16 d) - 6/15 e) - 7/15
56. (ITA) Tangenciando externamente a elipse ε1, tal
que ε1: 9x2 + 4y2 - 72x - 24y + 144 = 0, considere uma
elipse ε2, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo
50. (Unicamp 2011) Sabendo que a distância real entre a
catedral e a prefeitura é de 500 m, podemos concluir
que a distância real, em linha reta, entre a catedral e a
câmara de vereadores é de
a) 1500 m.
b) 500 5 m.
2
c) 1000
m.
d) 500 + 500 2 m.
51. (UNICAMP) O ponto de interseção das avenidas
Brasil e Juscelino Kubitschek pertence à região definida
por
a) (x − 2)2 + (y − 6)2 ≤ 1.
b) (x − 1)2 + (y − 5)2 ≤ 2.
c) x ]1, 3[, y ]4, 6[.
d) x = 2, y [5, 7].
52. (UNICAMP) A área do triângulo OAB esboçado na figura
abaixo é
menor de ε1 e cujos eixos têm a mesma medida que os
eixos de ε1. Sabendo que ε2 está inteiramente contida
no primeiro quadrante, o centro de ε2 é:
a) (7, 3) b) (8, 2) c) (8, 3) d) (9, 3) e) (9, 2)
57- (ITA) São dadas as parábolas p1: y = - x2 - 4x - 1 e
p2: y = x2 - 3x +
11
cujos vértices são denotados,
4
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta
que contém V1 e V2, então a distância de r até à origem
é:
a)
5
26
b)
7
26
c)
7
50
d)
17
50
e)
11
74
58. (ITA) Sabendo que o ponto (2, 1) é o ponto médio de
uma corda AB da circunferência
(x - 1)2 + y2 = 4, então a equação da reta que contém A
e B é dada por:
a) y = 2x - 3
b) y = x - 1
c) y = - x + 3
d) y = 3x/2 - 2
e) y = - (1/2)x + 2
a)
21
23
25
b)
c)
4
4
4
d)
27
4
47
84. (ITA) Considere o paralelogramo ABCD onde
59. (ITA) São dadas as retas (r ) x-y+1 +
2 =0 e
3 +y-2+ 3 =0 e a circunferência (C )
X²+2y+y²=0. Sobre a posição relativa desses três
elementos, podemos concluir que:
(s) x
a) r e s são paralelas entre si e ambas são tangentes à
C.
b) r e s são perpendiculares entre si e nenhuma delas é
tangente à C.
c) r e s são concorrentes, r é tangente à C e s não é
tangente à C.
d) r e s são concorrentes, s é tangente á C e r não é
tangente à C.
e) r e s são concorrentes e ambas são tangentes à C.
60. (ITA) Seja A o ponto de intersecção das retas r e s
dadas, respectivamente, pelas equações x + y = 3 e x y = -3. Sejam B e C pontos situados no primeiro
quadrante com B ∈ r e C ∈ s. Sabendo que d(A, B) =
d(A, C) = 2 , então a reta passando por B e C é dada
pela equação
a) 2x + 3y = 1 b) y = 1
c) y = 2 d) x = 1
e) x = 2
A=(0,0), B=(-1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos
distintos e o vértice D deste paralelogramo são,
respectivamente:
a) π/4, 3π/4 e D = (-2,-5)
b) π/3, 2π/3 e D = (-1,-5)
c) π/3, 2π/3 e D = (-2,-6)
d) π/4, 3π/4 e D = (-2,-6)
e) π/3, 2π/3 e D = (-2,-5)
65. (ITA) Considere a circunferência C de equação x 2 +
y2 + 2x + 2y + 1 = 0 e a elipse E de equação x 2 + 4y2 4x + 8y + 4 = 0. Então:
a) C e E interceptam-se em dois pontos distintos.
b) C e E interceptam-se em quatro pontos distintos.
c) C e E são tangentes exteriormente.
d) C e E são tangentes interiormente.
e) C e E têm o mesmo centro e não se interceptam.
66. (ITA) Pelo ponto C:(4, -4) são traçadas duas retas
que tangenciam a parábola y=(x-4)2+2 nos pontos A e
B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B
é:
a)6 12 b)
12 c) 12 d) 8 e) 6
61. (ITA) Considere os pontos A:(0, 0), B:(2, 0) e C:(0,
67. (ITA) A área de um triângulo é de 4 unidades de
3). Seja P:(x, y) o ponto de intersecção das bissetrizes
internas do triângulo ABC. Então x+y é igual a
superfície, sendo dois de seus vértices os pontos A:(2,
1) e B:(3, -2). Sabendo que o terceiro vértice encontrase sobre o eixo das abscissas, pode-se afirmar que
suas coordenadas são
a) (-1/2, 0) ou (5, 0). b) (-1/2, 0) ou (4, 0).
c) (-1/3, 0) ou (5, 0). d) (-1/3, 0) ou (4, 0).
e) (-1/5, 0) ou (3, 0).
a) 10 + 4. 10 b) 2
d) 5
e) 2
3
c) 5
2
62. (ITA) As retas y = 0 e 4x + 3y + 7 = 0 são retas
suportes das diagonais de um paralelogramo. Sabendo
que estas diagonais medem 4 cm e 6 cm, então, a área
deste paralelogramo, em cm 2, vale:
a) 36/5 b) 27/4 c) 44/3 d) 48/3 e) 48/5
63. (ITA) Considere a hipérbole H e a parábola T, cujas
equações são, respectivamente,
5(x + 3)2 - 4(y - 2)2 = -20 e (y - 3)2 = 4(x - 1).
Então, o lugar geométrico dos pontos P, cuja soma dos
quadrados das distâncias de P a cada um dos focos da
hipérbole H é igual ao triplo do quadrado da distância de
P ao vértice da parábola T, é:
(x 3)2
1
4 (y 2)2
3
(y 1)2
1
b) A hipérbole de equação
5 (x 3)2
4
c) O par de retas dadas por y = ± (3x - 1)
d) A parábola de equação y2 = 4x + 4
e) A circunferência centrada em (9, 5) e raio
a) A elipse de equação
68. (ITA) Duas retas r1 e r2 são paralelas à reta
3x - y = 37 e tangentes à circunferência
x2 + y2 - 2x - y = 0. Se d1 é a distância de r1 até a
origem e d2 é a distância de r2 até a origem, então d1 +
d2 é igual a
a)
12 . b)
15 . c)
7 . d) 10 . e)
5.
69. (ITA) Seja o ponto A=(r,0), r>0. O lugar geométrico
dos pontos P=(x,y) tais que é de 3r2 a diferença entre o
quadrado da distância de P a A e o dobro do quadrado
da distância de P à reta y=-r, é:
a) uma circunferência centrada em (r, -2r) com raio r.
b) uma elipse centrada em (r, -2r) com semi-eixos
valendo r e 2r.
c) uma parábola com vértice em (r, -r).
e) uma hipérbole centrada em (r, -2r) com semi-eixos
valendo r.
120
48
70. (ITA) O coeficiente angular da reta tangente à elipse
2
x
16
2
y
9
1 no primeiro quadrante e que corta o eixo
das abscissas no ponto P = (8,0) é
a)
3
b)
3
1
c)
2
2
d)
3
3
e)
4
2
4
76. (ITA) A distância focal e a excentricidade da elipse
com centro na origem e que passa pelos pontos (1,0) e
(0,-2) são, respectivamente,
a)
3 e
1
.
2
b)
1
e 3.
2
d)
3e
3
.
2
e) 2 3 e
c)
1
3
e .
2
2
3
.
2
77. (ITA) Sejam a reta s: 12x - 5y + 7 = 0 e a
71. (ITA) Num sistema de coordenadas cartesianas,
duas retas r e s, com coeficientes angulares 2 e 1/2,
respectivamente, se interceptam na origem 0. Se B ∈ r e
C ∈ s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o
segmento BC é perpendicular a r e a área do triângulo
OBC é igual a 12×10-1, então a distância de B ao eixo
das ordenadas vale
a) 8/5. b) 4/5. c) 2/5. d) 1/5. e) 1.
72. (ITA) Considere a família de circunferências com
centros no segundo quadrante e tangentes ao eixo Oy.
Cada uma destas circunferências corta o eixo Ox em
dois pontos, distantes entre si de 4 cm. Então, o lugar
geométrico dos centros destas circunferências é parte:
a) de uma elipse.
b) de uma parábola.
c) de uma hipérbole.
d) de duas retas concorrentes.
e) da reta y = - x.
73. (ITA) A área do polígono, situado no primeiro
quadrante, que é delimitado pelos eixos coordenados e
pelo conjunto
{(x, y) IR2: 3x2 + 2y2 + 5xy - 9x - 8y + 6 = 0}, é igual
a:
a)6 b) 5/2 c)2 d) 3 e) 10/3
74. (ITA) Uma circunferência passa pelos pontos
A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8).
Então, o centro da circunferência e o valor de seu raio,
respectivamente, são
a) (0, 5) e 6. b) (5, 4) e 5. c) (4, 8) e 5,5.
d) (4, 5) e 5. e) (4, 6) e 5.
75.(ITA) Assinale a opção que representa o lugar
geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a
equação
circunferência C: x 2 + y2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é
perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num
ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo
a) (- 91/12, - 81/12)
b) (-81/12, - 74/12)
c) (- 74/12, 30/12)
d) (30/12, 74/12)
e) (75/12, 91/12)
78. (ITA) Os focos de uma elipse são F1(0, - 6) e F2(0,
6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A
área do triângulo com vértices em B, F1 e F2 é igual a
a) 22 10
b) 18 10
d) 12 10
e) 6 10
c) 15
10
79. (ITA) Considere no plano cartesiano xy o triângulo
delimitado pelas retas 2x = y, x = 2y e
x = - 2y + 10. A área desse triângulo mede
a) 15/2. b) 13/4. c) 11/6. d) 9/4. e) 7/2.
80. (ITA) Sejam A : (a, 0), B : (0, a) e C : (a, a), pontos
do plano cartesiano, em que a é um número real não
nulo. Nas alternativas a seguir, assinale a equação do
lugar geométrico dos pontos P : (x, y) cuja distância à
reta que passa por A e B, é igual à distância de P ao
ponto C.
a) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay + 3a2 = 0
b) x2 + y2 + 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0
c) x2 + y2 - 2xy + 2ax + 2ay + 3a2 = 0
d) x2 + y2 - 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0
e) x2 + y2 + 2xy - 2ax - 2ay - 3a2 = 0
81. (ITA) Dada a cônica λ: x2 - y2 = 1, qual das retas
abaixo é perpendicular à λ no ponto
P = (2,
a) y =
3 )?
3x-1
3
x
2
3
x 1
c) y =
3
3
x 7
d) y = 5
3
x 4
e) y = 2
b) y =
a) Uma elipse.
b) Uma parábola.
c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole.
e) Uma reta.
49
82. (ITA) Considere as circunferências
87. (UEL) Considere, no plano cartesiano, o
C1: (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4 e
C2: (x – 10)2 + (y – 11)2 = 9. Seja r uma reta tangente
interna a C1 e C2, isto e, r tangência C1 e C2 e
paralelogramo de vértices (1, 1), (3, 3), (6, 1) e (8, 3). A
maior diagonal desse paralelogramo mede
a) 5 5 b) 71 c) 5 3 d) 53 e) 3 5
intercepta o segmento de reta O1O2 definido pelos
centros O1 de C1 e C2 de C2. Os pontos de tangência
definem um segmento sobre r que mede
25
. e) 9.
a) 5 3 . b) 4 5. c) 3 6. d)
3
88. (UEL) São dados:
83. (ITA) Um triângulo equilátero tem os vértices nos
pontos A, B e C do plano xOy, sendo
B = (2,1) e C = (5,5). Das seguintes afirmações:
I. A se encontra sobre a reta y =
3
x
4
11
,
2
3
45
x
com a
4
8
circunferência (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25,
III. A pertence às circunferências (x – 5)2 + (y – 5)2 = 25
II. A esta na intersecção da reta y =
2
7
75
2
y 3
,
2
4
é (são) verdadeira(s) apenas
a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III.
e x
m
2
éa
n
3
equação 36x2 + 36y2 + mx + ny – 23 = 0 representa
uma circunferência de raio r = 1 cm e centro C
localizado no segundo quadrante. Se A e B são os
pontos onde a circunferência cruza o eixo Oy, a área do
triângulo ABC, em cm 2, é igual a
8 2
4 2
2 2
2 2
2
a)
b)
c)
d)
e)
3
3
3
9
9
84. (ITA) Sejam m e n inteiros tais que
85.(ITA) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices
de um triângulo. A distância do baricentro deste
triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual
a
97
109
5
5
10
a)
b)
c)
d)
e)
3
3
3
3
3
86. (ITA) Sobre a parábola definida pela equação
x 2 2xy y 2 2x 4y 1 0 pode-se afirmar que
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo
Ox.
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
d) a abscissa do vértice da parábola é x
1.
2
e) a abscissa do vértice da parábola é x
.
3
uma circunferência de centro C = (3/2,1);
um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.
A reta que contém T e é paralela à reta de equação y =
x é dada por
a) 3x - 2y +1 = 0 b) 3x - 3y - 1 = 0
c) 2x - 2y - 5 = 0 d) 3x - 3y - 5 = 0
e) 3x - y - 1 = 0
89. (UEL) São dados:
uma circunferência de centro C = (3/2,1);
um ponto T = (3/2, -1) que pertence à circunferência.
A equação da circunferência dada é
a) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 3 = 0
b) 4x2 + 4y2 - 12x - 8y - 4 = 0
c) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 2 = 0
d) 3x2 + y2 - 6x - 4y - 4 = 0
e) x2 + y2 - 3/2x - y = 0
90. (UEL) Considere os pontos A(0,0) , B(2,3) e C(4,1). A
equação da reta paralela a AC conduzida pelo ponto B é:
a) x - 4y + 10 = 0 b) x + 4y -11 = 0
c) x - 4y -10 = 0 d) 2x + y - 7 = 0
e) 2x - y -1 = 0
91. (UEL) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1). O
comprimento da altura do triângulo ABC, relativa ao lado
BC , é
3 2
5 2
c) 2 2 d)
e) 5 2
2
2
92. (UEL) Seja AC uma diagonal do quadrado ABCD.
Se A = (- 2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em
unidades de área, é
a) 4 b) 4 2 c) 8 d) 8 2 e) 16
a)
2 b)
93. (UEL) Seja P um ponto do eixo das ordenadas
pertencente à reta de equação 2x - 3y - 6 = 0. A
equação da circunferência de centro em P e tangente
ao eixo das abcissas é
a) x2 + y2 = 4
b) x2 + y2 + 4x = 0
c) x2 + y2 +4y = 0
d) x2 + y2 - 4x = 0
e) x2 + y2 - 4y = 0
50
94 (UEL) São dados os pontos A = (-2, 1),
B = (0, -3) e C = (2, 5). A equação da reta suporte da
mediana do triângulo ABC, traçada pelo vértice A, é:
a) y = 1
b) x = 1
c) x = y
d) x - y = 1
e) x + y = 1
95. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da
reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de
equação x2 + y2 - 4x = 0.
O comprimento da corda AB é
a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 8
96. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da
100. (UEL) A reta r intercepta o eixo das ordenadas em y
= 2 e a parábola p em seu vértice. Se a equação de p é
y = 3x2 - 6x + 8, então r intercepta o eixo das abcissas
no ponto
a) (3/4; 0) b) (2/5; 0) c) (0; 0)
d) (-1/2; 0) e) (-2/3; 0)
101. (UEL) A trajetória de um móvel no plano cartesiano
pode ser descrita, em função do tempo t, pelas
equações
x
2 t
y
3t
reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de
equação x2 + y2 - 4x = 0.
A equação da reta paralela a r, conduzida pelo centro
de λ, é
a) x - y = 0
b) x - y - 2 = 0
c) x - y + 2 = 0
d) x + y - 2 = 0
e) x + y + 2 = 0
Essa trajetória determina uma reta
a) que contém os pontos (3; 9) e (-2; 6).
b) paralela à reta de equação 6x - 2y - 1 = 0.
c) perpendicular à reta de equação 3x - y + 1 = 0.
d) que contém os pontos (1; 3) e (7; 3).
e) perpendicular à reta de equação 5x - y = 0.
97. (UEL) Sejam os pontos A e B as intersecções da
102. (UEL) Considere, no plano cartesiano, todos os
reta r, de equação x + y = 0, com a circunferência λ, de
equação x2 + y2 - 4x = 0.
Se A e B são tais que a abscissa de A é menor que a de
B, a equação da reta tangente a λ, traçada pelo ponto B,
é
a) y = - 2
b) x = - 2
c) y = 2x
d) x = 2
e) y = 2
pontos que distam 2 unidades da reta de equação x - y 3 = 0. Esses pontos pertencem todos
a) às retas de equações -x + y + 5 = 0 ou
-x + y + 1 = 0.
b) ao 10. ou 40. quadrantes.
d) à circunferência de equação x 2 + y2 - 9 = 0.
e) às retas de equações -x - y - 3/2 = 0 ou -x - y + 3/2 =
0.
98. (UEL) As retas de equações x - 2y + 1 = 0 e
-x - 2y - 1 = 0 são
a) concorrentes e não perpendiculares entre si.
b) paralelas e não coincidentes.
c) perpendiculares entre si.
d) coincidentes.
e) ortogonais.
99. (UEL) Na figura a seguir têm-se a reta r, bissetriz do
primeiro e terceiro quadrantes, e as circunferências C1
e C2, de mesmo raio, tangentes entre si e com centros
sobre r. Se a equação de C1 é x2+y2=9, então o centro
103. (UEL) Uma circunferência de raio 2 tem centro na
origem do sistema cartesiano de coordenadas
ortogonais. Assim, é correto afirmar:
a) Um dos pontos em que a circunferência intercepta o
eixo x é (0, 1).
b) A reta de equação y = -2 é tangente à circunferência.
c) A equação da circunferência é x 2 + y2 + 4 = 0.
d) A reta de equação y = x + 2 não intercepta a
circunferência.
e) O ponto (2, 2) está no interior da circunferência.
de C2 é o ponto
a) (1; 2 )
d) (3; 6)
b) (3; 3)
e) (6; 6)
c) (3 2 ; 3 2 )
51
104. (UEL) No gráfico a seguir, os pontos
107 (UEL)
A(-1, -1) e B(3, -1) são vértices do quadrado ABCD. A
respeito da reta de equação y = x, é correto afirmar:
a) Contém o vértice D.
b) Contém o lado BC.
c) É paralela ao eixo x.
d) Contém o centro do quadrado.
e) É perpendicular à reta 2x - 2y + 1 = 0.
A equação da circunferência de centro em A e raio AB
é
a) x2 + y2 - 6y + 8 = 0 b) x2 + y2 - 6x + 8 = 0
c) x2 + y2 - 6y + 1 = 0 d) x2 + y2 - 6x + 1 = 0
e) x2 + y2 - 6y - 1 = 0
105. (UEL)
108. (UEL) Em uma praça dispõe-se de uma região
retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura
para construir um jardim. A exemplo de outros canteiros,
este deverá ter a forma elíptica e estar inscrito nessa
região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois
aspersores nos pontos que correspondem aos focos da
elipse. Qual será a distância entre os aspersores?
a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m
109. (UEL) Na decoração de uma pré-escola são
A equação da reta perpendicular a r, traçada pelo ponto
A, é
a) x + y - 2 = 0
b) x + y + 2 = 0
c) x + y + 3 = 0
d) x - y + 3 = 0
e) x - y - 3 = 0
106. (UEL)
usadas placas com formas de figuras geométricas. Uma
destas placas é formada por uma figura que pode ser
definida por x2 + y 2 - 8x - 8y + 28 ≤ 0 quando projetada
em um plano cartesiano xy, onde x e y são dados em
metros. Esta placa vai ser pintada usando duas cores,
cuja separação é definida pela reta y = x no plano xy.
Considerando o plano cartesiano xy como referência, a
região acima da reta será pintada de vermelho e a
região abaixo da reta, de verde. Sabendo que a escola
vai fazer 12 destas placas e que, é necessária uma lata
de tinta para pintar 3m 2 de placa, serão necessárias, no
mínimo, quantas latas de tinta vermelha?
a) 12 b) 24 c) 26 d) 32 e) 48
A distância do centro C da circunferência λ à reta r é
a)
( 2)
b)
2
2 c) 2 2 d) 3 2 e) 4 2
52
110. (UEL) Existem pessoas que nascem com
problemas de saúde relacionados ao consumo de leite
de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antônio, nasceu
com este problema. Para solucioná-lo, o Sr. Antônio
adquiriu uma cabra que pasta em um campo retangular
medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura.
Acontece que as cabras comem tudo o que aparece à
sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras
vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em
uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e B
que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem
uma argola na coleira por onde é passada a corda, de
tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a
extensão da corda. Observe a figura e responda a
questão a seguir.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas
é:
a) I e II
b) I e III
c) I e IV
d) II e III
e) II, III e IV
113. (UEL) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola
de equação y = x2 são dados por:
a) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/4); Reta diretriz
y = -1/4
b) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1/2); Reta diretriz
y = -1/2
c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz y = -1
d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, -1); Reta diretriz y = 1
e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz y = -2
114. (UEL) Os pontos A = (6, 2), B = (-2, 6) e
C = (2, 6) são representados no plano cartesiano no
qual O é a origem. Considere as afirmativas a seguir:
I. Os segmentos de reta OA e OB são perpendiculares.
II. O cosseno do ângulo entre os segmentos de reta OB
1
e OC é .
5
III. O ponto médio do segmento de reta AB é (4, -2).
IV. O ponto P = (3 - 3 , 1 + 3 3 ) é equidistante dos
pontos O e A.
Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra
possa pastar na maior área possível, dentro do campo
retangular?
a) 10 m. b) 15 m. c) 20 m. d) 25 m. e) 30 m.
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas
é:
a) I e II b) II e III c) I e IV d) III e IV e) II, III e IV
115. (UEL) Considere os pontos distintos A, B, C e D do
y = 3x2 + 4. As equações das retas tangentes ao gráfico
da parábola que passam pelo ponto
P = (0, 1) são:
a) y = 5x +1 e y = - 5x + 1
b) y = 6x +1 e y = - 6x + 1
c) y = (3x/2) +1 e y = - (3x/2) + 1
d) y = (5x/4) +1 e y = - (5x/4) + 1
e) y = 5x - 1 e y = - 5x -1
plano cartesiano. Sabendo que A = (2, 3), B = (5, 7) e os
pontos C e D pertencem ao eixo y de modo que as
áreas dos triângulos ∆ABC e ∆ABD sejam iguais a
(47/2) u2, onde u é a unidade de medida usada no
sistema. A distância d entre os pontos C e D é:
a) d = (2/3) u.
b) d = 30 u.
c) d = (94/3) u.
d) d = - 10 u.
e) d = (47/5) u.
112. (UEL) Considere a reta r de equação
116. (UEL) Dois dos pontos A = (2,-1), B = (2,-3),
y - 2x - 2 = 0. Com relação à representação geométrica
da reta r no plano cartesiano, pode-se afirmar:
C = (1,4), D = (4,-3) estão numa das bissetrizes das
retas 3y - 4x - 3 = 0 e 4y - 3x - 4 = 0.
Nessas condições, a equação dessa bissetriz é:
a) y + x - 1 = 0
b) y + 7x - 11 = 0
c) y - x - 1 = 0
d) x = 2
e) y + x - 5 = 0
111. (UEL) Seja a parábola de equação
I. A área do triângulo formado pela reta r e pelos eixos
coordenados tem o valor de 1 unidade quadrada.
II. A circunferência de equação x2 + y2 = 2 contém todo
o triângulo formado pela reta r e pelos eixos
coordenados.
III. A circunferência de equação x 2 + y2 + 2x - 4y = 0
tangencia a reta r.
IV. A reta r é perpendicular à reta 2y + x + 10 = 0.
53
117. (UEL) Considere o círculo x 2 + y2 - r2 = 0 de raio r
e a hipérbole x2 - y2 = 1.
Nesse caso, pode-se afirmar que:
a) Se r < 1, então as curvas se intersectam em quatro
pontos.
b) Se r = 1, então as curvas tem quatro pontos em
comum.
c) Se r = 1, as curvas se intersectam em (0,1) e
(0,-1)
17 , então as curvas se intersectam apenas
nos pontos (3, 2 2 ) e (-3, -2 2 )
e) Se r > 17 , então as curvas se intersectam em
d) Se r =
quatro pontos.
122.(PUC) Num plano cartesiano ortogonal, seja o
triângulo ABC, em que A, B e C são as interseções das
retas de equações: y=-1,5x+1, y=1,5x+1 e y=2
Considerando que a unidade das medidas nos eixos
coordenados é o metro e π = 3,14, então a rotação do
triângulo ABC em torno do eixo das ordenadas gera um
recipiente cuja capacidade, em litros, é um número
A) menor que 15000.
B) compreendido entre 15000 e 18000.
C) compreendido entre 18000 e 21000.
D) compreendido entre 21000 e 24000.
E) maior que 24000
123. (MACK) Se P(x,y) é o ponto de maior ordenada do
118. (MACK) Num triângulo ABC são conhecidos o
vértice A = (3, 5) e as retas y - 1 = 0 e x + y - 4 = 0,
suportes de duas medianas do triângulo. A reta que
passa pelos vértices B e C tem equação:
a) 2x + 3y - 2 = 0.
b) 3x + y - 1 = 0.
c) x + 2y - 1 = 0.
d) 2x + y - 1 = 0.
e) x + 3y - 1 = 0.
plano tal que x2+y2=x, então x+y vale:
a) -1 b) -1/2
c) 0
d) 1/2
e) 1
124. (MACK) Na figura a seguir, as retas r e s são dadas
pelos pontos (x,y) do plano tais que
4x 2
4xy
y 2 = 2. A equação da reta t é:
119. (MACK) A curva x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0 tem um
único ponto comum com a reta x + y = k,
k IR. A soma dos possíveis valores de k é:
a) 4.
b) -2 c) -4. d) 2.
e) 0.
120. (MACK) Na figura a seguir, cotg α = 4, tg β =
2
eM
3
(2, 3) é o ponto médio de AB .
a) 2x - 2y + 1 = 0
c) 2x - y + 2 = 0
e) x - 2y + 3 = 0
b) 2x - y + 3 = 0
d) x - 2y + 2 = 0
125. (MACK) As retas (3k - 1)x - (2 - k)y - k = 0 e
x + (k + 1)y + (k + 2) = 0, onde k é um número real, são
suportes das diagonais de um quadrado. Deste modo, a
soma dos possíveis valores de k é:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Então o coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos A e B é:
126. (MACK) Supondo π = 3, então os pontos (x, y) do
3
4
5
a) - 1. b) - 2. c) - . d) - . e) - .
5
5
2
plano tais que x 2 + y2 - 16 ≤ 0, com x + y ≥ 4, definem
uma região de área:
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
121. (MACK) Um segmento de reta de comprimento 8
127. (MACK) Os pontos P(x, y) do plano tais que
movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P
e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre
os pontos do lugar geométrico descrito pelo ponto
médio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa:
a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2.
y2 + xy - 2x2 ≥ 0, onde │ y │ ≤ 3, definem uma região
de área:
a) 27/2 b) 18 c) 9/2 d) 27 e) 13/2
54
128. (MACK) A reta que passa pelo centro da
circunferência x2 + y2 + 6x + 4y + 12 = 0 e é paralela à
bissetriz dos quadrantes pares tem equação:
a) x + y + 5 = 0
b) x + y - 5 =0
c) 5x + 5y + 1 = 0
d) x + y - 1 = 0
e) x + y + 1 = 0
133. (MACK) A circunferência que passa pelos pontos
(1, -3) e (1, 5), cujo centro pertence à reta 2x - 3y - 6 =
0, possui raio no intervalo:
a) [ 2, 3 [ b) [ 3, 4 [ c) [ 4, 5 [
d) [ 5, 6 [ e) [ 6, 7 ]
134. (MACK) Na figura a seguir, as retas t e s são
129. (MACK) Na figura adiante, as retas r e s são
paralelas e a reta s é tangente à parábola de vértice (0,
-2). Então a distância d entre r e s é:
7 5
a)
d)
5
11 5
5
8 5
b)
e)
5
12 5
9 5
c)
paralelas e a circunferência tem equação x 2 + y2 - 8x 8y + 28 = 0. Deste modo, a área do triângulo que a reta
tangente s define com os eixos é igual a:
a) 2 b) 4 c)
3
4
1
d)
e)
2
3
2
5
5
130. (MACK) Uma circunferência de centro C (a, b)
passa pelos pontos M (0, 0), N (4, 0) e P (k, k), M ≠ P.
Então a + b vale:
a) k b) k/2 c) 3k/2 d) 2k e) 3k
135. (MACK) Dada a função real definida por f(x) =
(4 x2 ) de [-2,2] em [0,2]. Considere uma reta t
tangente ao gráfico de f(x) e paralela à reta y = x + 509.
Se (x, y) é o ponto de tangência, então x + y vale:
2 c) 2 2 d) 2 e) -2 2
a) 0 b)
136. (MACK) Uma reta passa pelos pontos A(2, 1) e B(K
131. (MACK) A reta de menor coeficiente angular, que
passa por um dos focos da elipse
5x2 + 4y2 = 20 e pelo centro da circunferência x 2 + y2 4x - 6y = 3, tem equação:
a) 3x - y - 3 = 0
b) 2x - y - 1 = 0
c) x - 3y - 7 = 0
d) x - 2y - 4 = 0
e) x - y + 1 = 0
132. (MACK) Na figura, a área do triângulo assinalado é
6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é:
a) 2 b)
3
6
7
8
c)
d)
e)
2
5
5
5
+ 2, K - 1), encontrando o eixo das abscissas num ponto
P(m, o), com m > 2. Assinale, dentre as alternativas
abaixo, um possível valor de K.
a) - 5/4 b) 5/4 c) 9/4 d) 11/4 e) - 9/4
137. (MACK) A circunferência da figura, tangente ao eixo
e à reta r, tem equação
x2 + y2 - 3x - 2ky + k2 = 0. Se α = arctg
3
, então k
4
vale:
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 5,0 e) 6,0
55
143. (PUC) A reta de equação y = 2x - 4 intercepta os
138. (MACK)
eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos são
os extremos de um diâmetro da circunferência λ. A
equação correspondente a λ é
a) x2 + y2 - 2x + 4y - 5 = 0
b) x2 + y2 - 2x + 4y = 0
c) 2x2 + 4y2 + 2x + 4y + 5 = 0
d) x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0
e) x2 + y2 + 6x + 3y - 4 = 0
Na figura, a distância entre as retas paralelas r e s é
2 e o triângulo OAB é isósceles. Um ponto de s é:
a) (17, -15) b) (-8, 6) c) (7, -3) d) (-9, 5) e) (3, 1)
144. (PUC) Considere a parábola de equação
y = -x2 + 2x + 4 e uma reta r. Se r é conduzida pelo
vértice da parábola e tem uma inclinação de 135°, então
a equação de r é
a) x + y + 2 = 0 b) x - y + 2 = 0 c) x + y - 2 = 0
d) x - y - 4 = 0 e) x + y - 4 = 0
139. (MACK) Os gráficos de y = x - 1 e y = 2 definem
com os eixos uma região de área:
a) 6 b) 5/2 c) 4 d) 3 e) 7/2
145. (PUC) Na figura a seguir tem-se parte do gráfico da
função f, de IR em IR, definida por f(x) = cos
x
y
+
= 1, k > 0, forma, no
k k 1
primeiro quadrante, um triângulo de área 6 com os eixos
coordenados. O perímetro desse triângulo é:
a) 12 b) 18 c) 14 d) 10 2 e) 12 2
140. (MACK) A reta
x
, no
2
qual estão destacados os pontos A e B.
141. (MACK) Considere os triângulos, nos quais um dos
vértices é sempre o ponto (0, 2) e os outros dois
pertencem à reta r, como mostra a figura. Para x = 1, 2,
3, ..., n, a soma das áreas dos n triângulos é:
Os pontos A e B pertencem à reta de equação
a) x - 3πy - π = 0
b) x + 3πy - π = 0
c) x - 3πy + π = 0
d) 2x + 3πy - π = 0
e) 2x - 3πy - π = 0
146. (PUC) As equações das retas suportes dos lados
n
a)
2
n 3
. b) 3n. c ) 6n. d)
n n
. e)
1
.
2
2
142. (PUC) Os pontos A = (-1; 1), B = (2; -1) e
C = (0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado
ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse
quadrado, é:
2
a) x + 5y + 3 = 0.
c) x - 5y - 7 = 0.
e) x - 3y - 5 = 0.
b) x - 2y - 4 = 0.
d) x + 2y - 3 = 0.
de um triângulo são: x + 3y - 3 = 0,
x - 3y - 3 = 0 e x = -1. Esse triângulo é
a) escaleno.
b) equilátero.
c) isósceles e não retângulo.
d) retângulo e não isósceles.
e) retângulo e isósceles.
147. (PUC) Sejam A, B, C, D vértices consecutivos de
um quadrado tais que A = (1; 3) e B e D pertencem à
reta de equação x - y - 4 = 0. A área desse quadrado,
em unidades de superfície, é igual a
a) 36 2 b) 36 c) 32 2 d) 32 e) 24 2
56
148. (PUC) Seja x 2 + y2 + 4x = 0 a equação da
circunferência de centro Q representada a seguir
Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o
eixo das abcissas e o vértice N pertence à
circunferência, o ponto N é dado por
a) ( 2 - 2;
2 ) b) (- 2 + 2; 2 )
c) ( 2 - 2; 2) d) (- 2 - 2; 2 - 2 )
e) (- 2 ; 2 - 2 )
149. (PUC) Sejam x + 2y - 1 = 0 e 2x - y + 3 = 0 as
equações das retas suportes das diagonais de um
quadrado que tem um dos vértices no ponto
(- 5; 3). A equação da circunferência inscrita nesse
quadrado é
a) x2 + y2 + 2x - 2y - 8 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 2y - 8 = 0
c) x2 + y2 - 2x - 2y - 8 = 0
d) x2 + y2 + 4x - 2y - 10 = 0
e) x2 + y2 - 4x + 2y - 10 = 0
150. (Epcar (Afa) 2016) Considere os pontos
A (4 , 2), B (2 , 0) e todos os pontos P (x , y), sendo
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa
correta.
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Apenas as afirmações I e III são falsas.
c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Apenas a afirmação III é verdadeira.
152. (Ufu 2015) Em relação a um sistema de
coordenadas x0y (x e y em metros), o triângulo PQR
tem ângulo reto no vértice R (3, 5), base PQ paralela
ao eixo x e está inscrito no círculo de centro C(1, 1). A
área desse triângulo, em metros quadrados, é igual a
a) 40. b) 8 20. c) 4 20. d) 80.
153. (Uece 2015) Em um sistema de coordenadas
cartesiano usual os pontos P (1, 2) e Q (4, 6) são
vértices do triângulo PQM. Se o vértice M está sobre a
reta paralela ao segmento PQ que contém o ponto
(8, 6), então a medida da área do triângulo PQM é
a) 7 u.a. b) 8 u.a. c) 9 u.a. d) 10 u.a.
154. (Fuvest 2015) A equação x 2 2x y 2 my n,
em que m e n são constantes, representa uma
circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta
y
x 1 contém o centro da circunferência e a
intersecta no ponto ( 3, 4). Os valores de m e n são,
respectivamente,
a) 4 e 3
b) 4 e 5
c) 4 e 2
d) 2 e 4
e) 2 e 3
a) são equidistantes de C (2 , 1)
155. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal
usual com origem no ponto O, a reta r, paralela à reta
y
2x 1 intercepta os semieixos positivos OX e OY,
respectivamente, nos pontos P e Q formando o
triângulo POQ. Se a medida da área deste triângulo é
b) o maior valor de x é 3
2
c) o menor valor de y é 3
d) x pode ser nulo.
igual a 9 m2 , então a distância entre os pontos P e Q
é igual a
a) 5 m. b) 3 5 m. c) 4 5 m. d) 2 5 m.
x e y números reais, tais que os segmentos PA e PB
são catetos de um mesmo triângulo retângulo.
É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos
P (x , y) são tais que
151. (Espcex (Aman) 2016) Considere as afirmações:
I. Uma elipse tem como focos os pontos F1( 3, 0),
F2 (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação é
x2 y2
1.
16 7
II. Os focos de uma hipérbole são F1( 10, 0), F2 (10, 0)
e sua excentricidade é
16x 2
9y 2
5
. Sua equação é
3
156. (Espcex (Aman) 2015) O ponto simétrico do ponto
(1,5) em relação à reta de equação 2x 3y 4 0 é o
ponto
a) 3, 1 .
b)
1, 2 .
c)
4,4 .
d) 3,8 .
e) 3,2 .
576.
III. A parábola 8x
ponto V(3, 0).
y2
6y 9 tem como vértice o
57
157. (Ita 2015) Considere os pontos A (0, 1),
B (0,5) e a reta r : 2x 3y 6 0. Das afirmações a
seguir:
I. d(A,r) d(B,r).
II. B é simétrico de A em relação à reta r.
III. AB é base de um triângulo equilátero ABC, de
vértice C
( 3 3,2) ou C
(3 3,2).
r : 3x 4y 12
158. (Uece 2015) No referencial cartesiano ortogonal
usual, a medida da área do quadrilátero convexo cujos
vértices são as interseções de cada uma das retas
x y 1 0 e x y 1 0 com a circunferência
y2
25, calculada com base na unidade de
comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano
considerado, é
a) 16(u.c)2 .
b) 14(u.c)2 .
c) 18(u.c)2 .
25
e a reta
6
0, considere o triângulo de vértices
162. (Ita 2015) Dados o ponto A
É (são) verdadeira(s) apenas
a) I. b) II. c) I e II. d) I e III. e) II e III.
x2
161. (Unicamp 2015) No plano cartesiano, a equação
x y
x y representa
a) um ponto.
b) uma reta.
c) um par de retas paralelas.
d) um par de retas concorrentes.
d) 20(u.c)2 .
159. (Pucrj 2015) Sejam r e s as retas de equações
x 5
, respectivamente,
y x 2 e y
2 2
representadas no gráfico abaixo. Seja A o ponto de
interseção das retas r e s. Sejam B e C os pontos de
interseção de r e s com o eixo horizontal,
respectivamente.
ABC, cuja base BC está contida em r e a medida dos
25
lados AB e AC é igual a
. Então, a área e o
6
perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a
23
25
22
40
40
31
a)
e
e
e
. b)
. c)
.
3
3
3
3
3
3
25
25
35
40
d)
e
e
. e)
.
3
3
3
3
163. (Udesc 2015) Seja f a função que representa a
área do triângulo ABC, representado na figura.
A expressão da função f(x), para 0
A área do triângulo ABC vale:
a) 1,0 b) 1,5 c) 3,0 d) 4,5 e) 6,0
160. (Fgv 2015) Observe as coordenadas cartesianas
de cinco pontos:
A(0,100), B(0, 100), C(10,100),
D(10, 100), E(100,0).
Se a reta de equação reduzida y mx n é tal que
mn 0, então, dos cinco pontos dados anteriormente, o
único que certamente não pertence ao gráfico dessa
reta é
a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.
4,
a) f(x)
3 2
x
4
c) f(x)
x3
e) f(x)
2
x
6x 12
3x 2
b) f(x)
x 12
d) f(x)
x
4, é:
3x 12
x3
5x 2
4x 12
8x 16
164. (Ita 2015) Considere uma circunferência C, no
primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta
r : x y 0. Sabendo-se que a potência do ponto
O (0,0) em relação a essa circunferência é igual a 4,
então o centro e o raio de C são, respectivamente,
iguais a
a) (2, 2 2 2) e 2 2 2.
b) 2,
2
2
1
2
c) (2, 2 1) e
d) (2, 2
e) (2, 4 2
e
2
2
1
.
2
2 1.
2) e 2
2.
4) e 4 2
4.
58
165. (Upf 2015) Sabendo que o ponto P(4, 1) é o ponto
médio de uma corda AB da circunferência
x 2 6x y 2 4 0, então a equação da reta que passa
por A e B é dada por:
a) y
x 5 b) y x 5 c) y
x 3
d) y
x 3 e) y
1
x 5
2
III. ( ) A equação 2x 2 y 2 4x 4y 4 0
representa uma elipse que tem um dos focos no
ponto P (1, 4)
A sequência correta é
a) F - F - V b) V - F - V c) F - V - F d) V - V - F
170. (Espcex (Aman) 2016) Considere a circunferência
que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a
uma reta que passa pelo centro dessa circunferência,
uma das retas tangentes a essa circunferência, que
passa pelo ponto (3, 2), tem por equação
a) 3x 2y 13 0
b) 2x 3y 12 0
c) 2x y 8 0
d) x 5y 13 0
e) 8x 3y 18 0
166. (Ueg 2015) Observe a figura a seguir.
171. (Unicamp 2016) Considere o círculo de equação
Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa
pelo centro da circunferência de menor raio, a equação
da circunferência de maior raio é
a) x 2
y2
4x
4y 18
0
b) x 2
y2
4x
4y 14
0
2
2
8x 8y 14
0
y2
8x 8y 18
0
c) x
d) x 2
y
172.(Fuvest 2016) no plano cartesiano, um círculo de
centro P=(a,b) tangencia as retas de equações y=x, x=0.
Se P pertence à parábola de equação y=x² e a>0, a
ordenada b do ponto P é igual a
167. (Upe 2015) No sistema cartesiano, sendo a
6.
circunferência C de equação x 2 y 2 6x 2y
Qual a equação da circunferência C ' simétrica de C
em relação à origem do sistema?
a) x 2
y2
6x
2y
c) x 2
y2
6x
2y
4
e) x 2
y2
6x
2y
6
4
b) x 2
d) x 2
y2
6x
y2
2y
6x
2y
4
6
168. (Uece 2015) A interseção das curvas
representadas no plano, com o sistema cartesiano
ortogonal usual, pelas equações x2
y2
1e
| x | | y | 2 é um conjunto
a) vazio.
b) unitário (um ponto).
c) com dois elementos (dois pontos).
d) com quatro elementos (quatro pontos).
169. (Epcar (Afa) 2016) Analise as proporções abaixo e
escreva V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (
cartesiana x 2 y 2 ax by, onde a e b são números
reais não nulos. O número de pontos em que esse
círculo intercepta os eixos coordenados é igual a
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4.
) A distância entre o vértice e o foco da parábola
y 2 4x 4 0 é igual a 1 unidade de comprimento.
II. ( ) Numa hipérbole equilátera, as assíntotas são
perpendiculares entre si.
a) 2+ 2 2
b) 3+ 2 2
d) 5+ 2 2
e) 6+ 2 2
c) 4+ 2 2
GABARITO
1) B 2)A 3)D 4)B 5)A 6)C 7)A 8)A 9)E 10)E 11)C
12)E 13)D 14)A 15)E 16)D 17)D 18)E 19)B 20)B
21)B 22)B 23)D 24)B 25)E 26)C 27)D 28)D 29)A
30)A 31)C 32)D 33)A 34)E 35)C 36)E 37)D 38)B
39)D 40)C 41)B 42)B 43)A 44)C 45)E 46)B 47)B
48)E 49)A 50) B 51) B 52)C 53)D 54) C 55)A 56)D
57)E 58)C 59)E 60)D 61)A 62)E 63)E 64)D 65)C
66)C 67)C 68)E 69)E 70)D 71)B 72)C 73)B 74)D
75)C 76)E 77)C 78)D 79)A 80)A 81)E 82)A 83)E
84)D 85)B 86)B 87)D 88)C 89)A 90)A 91)D 92)A
93)C 94)A 95)B 96)D 97)A 98)A
99) C 100)E 101)B 102)C 103)B 104)D 105)D
106)B 107)C 108)E 109)C 110)C 111)B 112)C
113)A 114)C 115)C 116)A 117)E 118)C 119)A
120)A 121)C 122)A 123)E 124)C 125)A 126)B 127)A
128)A 129)C 130)A 131)E 132)C 133)D 134)C
135)A 136)B 137)A 138)A 139)C 140)A 141)B 142)C
143)B 144)A 145)A 146)C 147)B 148)A 149)A
150)B 151)C 152)C 153)B 154)A 155)B 156)A 157)D
158)B 159)B 160)E 161)D 162)E 163)A 164)A
165)A 166)C 167)D 168)C 169)D 170)A 171)C
59
60