Estatística Descritiva e Noções Básicas de Probabilidades

Estatı́stica descritiva e probabilidades
Métodos Numéricos e Estatı́sticos
Parte II-Métodos Estatı́sticos
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Luı́sa Morgado
Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010
Luı́sa Morgado
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Podemos dividir a Estatı́stica em duas áreas: estatı́stica indutiva
(ou inferência estatı́stica) e estatı́stica descritiva.
Estatı́stica indutiva
Se uma amostra é representativa de uma dada população,
conclusões importantes sobre a população podem ser inferidas
através da análise da amostra.
Estatı́stica descritiva
É a parte da estatı́stica que procura somente descrever e
avaliar um certo grupo sem tirar conclusões (ou inferências)
sobre um grupo maior.
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Estatı́stica descritiva e probabilidades
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Estatı́stica descritiva
Fornecido um certo conjunto de dados relativo a uma amostra de
uma população, podemos sempre apresentá-los, ou organizá-los de
duas formas distintas:
Recorrendo a gráficos e/ou tabelas;
Apresentando medidas de posição e/ou dispersão.
Os gráficos constituem uma das formas mais eficientes de
apresentação de dados. Enquanto que as tabelas fornecem uma
ideia mais precisa e possibilitam uma inspecção mais rigorosa dos
dados, os gráficos são mais indicados em situações sempre que se
pretende uma visão mais rápida e fácil a respeito das variáveis às
quais se referem os dados.
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Estatı́stica descritiva e probabilidades
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Distribuição de frequência
A organização dos dados em tabelas de frequências (absolutas
or relativas), obedecem a certas normas e recomendações.
Estas normas são úteis para que as tabelas possam ser
interpretadas de uma forma simples, clara e rápida. Muito
importante é o facto de que as tabelas tenham significado
próprio, i.e., devem ser compreendidas mesmo quando não se
lê o texto em que estão apresentadas.
Exemplo
Foram anotadas as notas de um exame final de uma disciplina dos alunos de uma
certa universidade . Depois de feita a contagem, os dados foram organizados na
seguinte tabela
Notas
90 a 100
75 a 89
60 a 74
<60
Reprovação por faltas
Número de alunos
14
32
50
63
39
198
Luı́sa Morgado
Pecentagem
7.07
16.16
25.25
31.82
19.70
100.00
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Diagrama de pontos
Útil sempre que se pretende apresentar um pequeno conjunto
de dados. Permite ver de uma forma rápida e fácil a tendência
dos dados, assim como a sua distribuição e variabilidade.
Histograma
Para alguns conjuntos de dados o número de valores
observados é tão elevado que se torna inevitável o seu
agrupamento pos classes.
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Estatı́stica descritiva e probabilidades
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Exemplo
O barulho é medido em decibéis (dB). Um decibel corresponde ao nı́vel do som mais
fraco que pode ser ouvido num local silencioso por alguém com boa audição. Um
sussurro corresponde a cerca de 70dB, um rádio em volume alto cerca de 100dB.
Acima dos 120dB, há desconforto para os ouvidos. O dados abaixo correspondem aos
nı́veis de barulho medidos em 36 horários diferentes num determinado local.
82 89 94
110
74
122
112
95
100
78
65
60
90 83 87
75
114
85
69
94
124
115
107
88
97 74 72
68
83
91
90
102
77
125
108
65
Para agruparmos este conjunto de dados em classes, surge imediatamente uma
primeira questão: quantas classes?
Na prática, o número de classes é muita das vezes escolhido, fazendo a raı́z quadrada
do número de observações. Assim sendo, neste caso, terı́amos 6 classes. O menor
valor observado é 60, o maior é 125, pelo que a amplitude de cada classe poderia ser
. Podı́amos então construir a seguinte tabela de frequências
obtida a partir de 125−60
6
classes
[60, 71[
[71, 82[
[82, 93[
[93, 104[
[104, 115[
[115, 126[
frequência absoluta
5
6
10
6
5
4
Luı́sa Morgado
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Estatı́stica descritiva e probabilidades
Se pretendessemos outras informações, poderı́amos aumentar a tabela, incluindo
outros tipos de frequência, como por exemplo, a frequência relativa e/ou as
frequências acumuladas.
classes
[60, 71[
[71, 82[
[82, 93[
[93, 104[
[104, 115[
[115, 126[
freq. abs.
5
6
10
6
5
4
freq. abs. acumulada
5
11
21
27
32
36
freq. relat.
freq. relat. acumulada
5
36
6
36
10
36
6
36
5
36
4
36
5
36
11
36
21
36
27
36
32
36
1
O histograma pode ser feito a partir das frequências absolutas ou relativas,
acumuladas ou não, de cada classe, basta para tal indicar correctamente o que seria
usado no eixo vertical.
Luı́sa Morgado
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No scilab, a execução do comando histplot(n,x,normalization=% f), onde n = 6 é o
número de classes e x = [82 89 94 · · · 108 65] é o vector que contém os dados
observados, devolve o seguinte histograma das frequências absolutas.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
60
70
80
90
Luı́sa Morgado
100
110
120
130
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Medidas de posição
Média aritmética
Dado um conjunto de n valores numéricos, x1 , x2 , . . . , xn , a
média aritmética desses valores, representa-se por x̄ é dada
por
Pn
xi
x̄ = i=1
n
Exemplo
Determinemos a média do seguinte conjunto de dados do exemplo
anterior. Ora
x̄ =
82 + 89 + 94 + 110 + · · · + 125 + 108 + 65
= 90.7
36
No scilab, basta executar o comando mean(x).
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Em alguns casos, queremos determinar a média de um conjunto de dados organizados
numa tabela de distribução de frequências, indicando para cada valor distinto de xi ,
i = 1, . . . , k, a respectiva frequência absoluta fk . Nesse caso a média será dada por
Pk
i=1 xi fi
x̄ =
,
n
P
onde n = ki=1 fi .
Exemplo
A seguinte tabela fornece informação acerca da idade de jovens que a uma
determinada hora frequentam um dado café:
Idade
Freq. Absoluta
15
2
16
5
Neste caso, a média é dada por
17
11
18
9
19
14
20
13
x̄ =
2 × 15 + 5 × 16 + 11 × 17 + 9 × 18 + 14 × 19 + 13 × 20
= 18.24.
54
Se a tabela está organizada por classes, então para o cálculo da média devemos
substituir cada classe pelo seu ponto médio e calcular a média como descrito acima.
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Mediana
É o valor intermédio do conjunto de dados, cujos n valores estão dispostos em
ordem crescente.
Se n for ı́mpar, a mediana será o valor que ocupa a posição n+1
; se n for par,
2
a mediana será a média aritmética dos valores que ocupam as posições n2 e
n
+ 1.
2
Exemplo
Determinemos a mediana do conjunto de dados do exemplo anterior. Como n = 54 é
par, a mediana será a média dos valores que ocupam as posições 27 e 28. Portanto a
mediana será o valor 18.5.
No scilab, depois de definido o vector que contém os dados,
x = [15 15 16 16 16 16 16 17 . . . 20]
basta executar o comando median(x).
Moda
É o valor que ocorre com maior frequência.
Exemplo
No exemplo anterior, a moda será o valor 19, uma vez que é o valor que ocorre mais
vezes na distribuição.
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Medidas de dispersão
Estas medidas são úteis para complementar as informações
fornecidas pelas medidas de posição. Descrevem a variabilidade
ocorrendo no conjunto de dados.
Variância
A variância amostral de um conjunto de dados x1 , x2 , . . . , xn ,
é definida por
Pn
(xi − x̄)2
2
σ = 1=1
n−1
Exemplo
A variância do conjunto de dados
3
2
é dada por
2
2
4
2
6
7
(3−6) +(4−6) +(6−6) +(7−6) +(10−7)
4
No scilab, define-se o vector dos dados, x = [3
Luı́sa Morgado
10
2
= 7.5
4
6
7
10], e faz-se variance(x).
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Desvio padrão
O desvio padrão amostral de um conjunto de dados
x1 , x2 , . . . , xn , é definido por
s
Pn
2
√
1=1 (xi − x̄)
2
σ= σ =
n−1
No exemplo anterior, σ =
comando st deviation(x).
√
7.5 = 2.7386. No scilab executa-se o
Amplitude
A amplitude amostral de um conjunto de dados x1 , x2 , . . . , xn ,
é a diferença entre o maior e o menor valor observado.
No exemplo anterior, a amplitude é 10 − 3 = 7. Paro o cálculo no
scilab, faz-se max(x)-min(x).
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Noções básicas de probabilidade
Experiência aleatória (E.A.)
Chama-se experiência aleatória a toda a experiência cujo resultado exacto é desconhecido antes da sua realização.
Exemplo
E.A.1: Registo do número de recém-nascidos num grupo de
dez com peso à nascença superior a 3.5Kg;
E.A.2: Número de novos casos de sida num dado ano num
certo paı́s;
E.A.3: Medição da concentração de dióxido de carbono num
recinto fechado.
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Espaço de resultados
É o conjunto de todos os resultados possı́veis de uma experiência aleatória. É usualmente, representado por Ω. Pode
ser discreto (no caso de ser um conjunto finito ou infinito numerável) ou contı́nuo (no caso em que é um conjunto infinito
não numerável).
Exemplo
No exemplo anterior:
E.A.1: Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} → discreto (finito);
E.A.2: Ω = {0, 1, 2, 3, . . . . . .} →; discreto (infinito numerável)
E.A.3: Ω = R+
0 → (infinito não numerável) contı́nuo.
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Acontecimento
Acontecimento (ou evento) é qualquer subconjunto do espaço
de resultados. O acontecimento A diz-se elementar se for
constituı́do por apenas um elemento de Ω; certo se A = Ω e
impossı́vel se A = ∅.
Exemplo
Na E.A.1, consideremos os evento
A = nenhum dos recém-nascidos tem peso superior a 3.5kg.
= {0};
B = pelo menos 8 dos recém-nascidos tem peso superior a
3.5kg. = {8, 9, 10}
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Acontecimentos disjuntos
Dois acontecimentos dizem-se disjuntos (ou mutuamente exclusivos ou ainda incompatı́veis) sse A ∩ B = ∅, i.e., a realização simultânea de A e B é impossı́vel.
Inclusão de acontecimentos
Diz-se que o acontecimento A está
acontecimento B, e escreve-se A ⊂
Realização de A ⇒ Realização de B
Realização de B ; Realização de A
contido no
B quando
Uma vez que os acontecimentos não passam de conjuntos,
podemos efectuar operações sobre eventos já nossas conhecidas.
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Operações sobre eventos
A∩B
A∪B
A\B
A
Realização simultânea de A e de B
Realização de pelo menos um dos eventos A ou B
Realização de A sem que se realize B
Não realização de A
Esta operações gozam das propriedades
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Associatividade:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
Comutatividade:
A∩B =B ∩A
A∪B =B ∪A
Distributividade:
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C )
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
Idempotência:
Absorção:
Modulares:
A∩A=A
A∪A=A
A⊂B ⇒A∩B =A
A⊂B ⇒A∪B =B
A∩Ω=A
A∪Ω=Ω
A∩∅=∅
A∪∅=A
Leis de De Morgan:
A ∩ B = Ā ∪ B̄
A ∪ B = Ā ∩ B̄
Dupla negação: A = A
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Probabilidade clássica de Laplace
Considere-se uma E.A. com espaço de resultados Ω constituı́do por n elementos distintos, em número finito e igualmente prováveis.
Suponha-se ainda que a realização do acontecimento A passa
pela ocorrência de m dos n eventos de Ω.
Então, a probabilidade de realização de A é dada por
P(A) =
m
no de casos favoráveis à ocorrência de A
=
o
n de casos possı́veis
n
Exemplo
No lançamento de um dado não viciado, seja A =saı́da de um número par. Ora
A = {2, 4, 6}, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo
P(A) =
Luı́sa Morgado
3
= 0.5.
6
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Probabilidade clássica de Laplace
Considere-se uma E.A. com espaço de resultados Ω constituı́do por n elementos distintos, em número finito e igualmente prováveis.
Suponha-se ainda que a realização do acontecimento A passa
pela ocorrência de m dos n eventos de Ω.
Então, a probabilidade de realização de A é dada por
P(A) =
m
no de casos favoráveis à ocorrência de A
=
o
n de casos possı́veis
n
Exemplo
No lançamento de um dado não viciado, seja A =saı́da de um número par. Ora
A = {2, 4, 6}, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo
P(A) =
3
= 0.5.
6
E se o espaço dos resultados da E.A. não for finito?
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Frequência relativa
Seja N o número de vezes que se realiza sob as mesmas
condições uma certa E.A. e seja nN (A) o número de vezes
que o evento A ocorreu nas N experiências realizadas (i.e.,
nN (A) representa a frequência absoluta do evento A).
Então a frequência relativa do evento A é dada por
fN (A) =
nN (A)
.
N
A frequência relativa satisfaz as seguintes propriedades
0 ≤ fN (A) ≤ 1;
fN (Ω) = 1;
fN (A ∪ B) = fN (A) + fN (B) se A ∩ B = ∅;
fN (A) estabiliza à medida que N aumenta.
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Probabilidade frequencista
A probabilidade do evento A é o limite da frequência relativa
do mesmo:
nN (A)
= lim fN (A)
N→∞
N→∞
N
P(A) = lim
Luı́sa Morgado
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Probabilidade frequencista
A probabilidade do evento A é o limite da frequência relativa
do mesmo:
nN (A)
= lim fN (A)
N→∞
N→∞
N
P(A) = lim
E se a E.A. não se puder realizar mais do que uma vez?
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σ-álgebra de eventos
É uma colecção não vazia de eventos, A, que satisfaz
Ω ∈ A;
A ∈ A ⇒ A ∈ A;
Se Ai ∈ A, i = 1, 2, . . ., ondeS{A1 , A2 , . . .} é um
conjunto numerável , então +∞
i=1 ∈ A.
Exemplo
1
A1 = {∅, Ω};
2
A2 = P(Ω), i.e., a colecção de todos os subconjuntos de Ω.
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Função de probabilidade no sentido de Kolmogorov
É uma função P : A → [0, 1] que satisfaz os seguintes axiomas
P(Ω) = 1;
0 ≤ P(A) ≤ 1,
∀A ∈ A;
Se {A1 , A2 , . . .} é um conjunto contável de eventos
mutuamente exclusivos de A (Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j), então
! +∞
+∞
[
X
P
Ai =
P(Ai )
i=1
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i=1
Estatı́stica descritiva e probabilidades
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P(∅) = 0;
P(A) = 1 − P(A);
A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B);
P(B \ A) = P(B) − P(A ∩ B)
Um dado evento A 6= Ω diz-se quase certo se P(A) = 1.
Um evento A diz-se quase impossı́vel se P(A) = 0.
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P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Dem.:
P(A ∪ B) = P[(A \ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B \ A)]
= P(A \ B) + P(A ∩ B) + P(B \ A)
= [P(A) − P(A ∩ B)] + P(A ∩ B) + [P(B) − P(B ∩ A)]
= P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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Probabilidade condicionada
A probabilidade do evento A condicionada pela ocorrência do
evento B é dada por
P(A|B) =
P(A ∩ B)
,
P(B)
desde que P(B) 6= 0.
Exemplo
Na extracção de uma carta de um baralho com 52 cartas (13 de cada naipe), qual a
probabilidade dessa carta ser o Ás de copas, sabendo à partida que a carta extraı́da
era de copas?
Considerando os eventos
1
A = sair o Ás de copas, cuja probabilidade é P(A) = 52
.
B = sair uma carta de copas, cuja probabilidade é P(B) = 13
52
A probabilidade pedida é dada por
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(A
=
=
P(B)
P(B)
Luı́sa Morgado
1
52
13
52
=
1
.
13
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Como P(·|B) é uma função de probabilidade no sentido de
Kolmogorov, então
1
P(Ω|B) = 1;
2
0 ≤ P(A|B) ≤ 1, ∀A ∈ A
3
Sendo {A1 , A2 , . . .} é um conjunto contável de eventos
mutuamente exclusivos de A, então
" +∞ ! # +∞
[
X
P
Ai |B =
P(Ai |B).
i=1
Luı́sa Morgado
i=1
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Lei das probabilidades compostas
Sendo {Ai }i=1,...,n uma colecção de n eventos tal que P(Ai ) > 0 e
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ∩ An ) > 0, então
P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ∩ An )
= P(A1 ) × P(A2 |A1 ) ×
P[A3 |(A1 ∩ A2 )] ×
. . . × P[An |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ].
Esta lei é útil sempre que pretendermos calcular a probabilidade de
sequências de eventos em experiências aleatórias.
Luı́sa Morgado
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Exemplo
Considere-se um lote de 100 molas de um sistema de suspensão
automóvel. Destas, 20 são consideradas defeituosas (D) por
violarem a lei de Hooke quando se aplica uma força superior a
35 × 104 N. Extrairam-se uma a uma, sem reposição, três molas
deste lote. Determinemos qual a probabilidade das 3 molas
extraı́das não serem defeituosas.
Para tal consideremos o evento
D1 ∩ D2 ∩ D3 =1a , 2a e 3a molas não defeituosas.
A probabilidade pedida é então dada por
P(D1 ∩ D2 ∩ D3 ) = P(D1 ) × P(D2 |D1 ) × P[D3 |(D1 ∩ D2 )]
80
80 − 1
80 − 1 − 1
=
×
×
100 100 − 1 100 − 1 − 1
80 × 79 × 78
=
100 × 99 × 98
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Partição de Ω
Uma colecção de n eventos PΩ = {Ai }i=1,...,n diz-se uma
partição de Ω sse
Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j;
Sn
i=1 Ai = Ω;
P(Ai ) > 0, i = 1, . . . , n.
Lei da probabilidade total
Seja B um evento e PΩ = {Ai }i=1,...,n uma partição de Ω. Então
P(B) =
n
X
P(B|Ai )P(Ai ).
i=1
Luı́sa Morgado
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Exemplo
Testes realizados em dois dispositivos (A e B) de retenção de crianças em automóveis,
revelaram que, em caso de acidente grave, o dispositivo A é eficaz em 95% dos casos,
enquanto que o dispositivo B é eficaz em 96%. Adimitindo que no mercado só
passarão a existir estes dois tipos de dispositivos, instalados em automóveis
exactamente na mesma proporção, calculemos a probabilidade do dispositivo de
retenção instalado num automóvel seleccionado ao acaso vir a ser eficaz em caso de
acidente grave.
Resumindo
Evento
probabilidade
A =dispositivo do tipo A
P(A) = 0.5
B =dispositivo do tipo B
P(B) = 0.5
E =dispositivo eficaz em caso de acidente grave (DEAC)
P(E ) =?
E |A =DEAC dado que é do tipo A
P(E |A) = 0.95
E |B =DEAC dado que é do tipo B
P(E |B) = 0.96
Pela lei da probabilidade total, a probabilidade pedida é então dada por
P(E ) = P(E |A) × P(A) + P(E |B) × P(B) = 0.95 × 0.5 + 0.96 × 0.5 = 0.955
Luı́sa Morgado
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Eventos independentes
Dois eventos A e B dizem-se independentes (e denota-se por
A q B sse
P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
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1
Sendo A e B dois eventos independentes tais que P(A) > 0 e
P(B) > 0, então
P(A|B) = P(A);
P(B|A) = P(B);
2
I.e, o conhecimento de B não afecta a reavaliação da
probabilidade de A e vice-versa.
Sejam A e B dois eventos tais que
A∩B =∅
P(A) > 0 e P(B) > 0.
3
Então A e B não são independentes.
Para qualquer evento A tem-se
A q ∅;
A q Ω.
4
Se A e B são independentes, então
A q B;
A q B;
A q B.
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Teorema de Bayes
Seja B um evento e PΩ = {Ai }i=1,...,n uma partição de Ω. Então
P(Ai |B) =
P(B|Ai )P(Ai )
.
P(B)
Recorrendo à lei de probabilidade total, podemos ainda escrever
P(B|Ai )P(Ai )
.
P(Ai |B) = Pn
j=1 P(B|Aj )P(Aj )
Exemplo
Retomando o exemplo anterior, calculemos a probabilidade de o dispositivo ser do tipo
A sabendo que foi eficaz em caso de acidente grave.
Considerando o evento
A|E =dispositivo do tipo A dado que foi eficaz em caso de acidente grave,
a probabilidade pedida é dada por
P(A|E ) =
0.95 × 0.5
P(E |A)P(A)
=
= 0.4974.
P(E )
0.955
Luı́sa Morgado
Estatı́stica descritiva e probabilidades