Movimentos de satélites geoestacionários

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Movimentos de satélites geoestacionários: características e
aplicações destes satélites
Um dos tipos de movimento mais importantes é o movimento
circular com rapidez constante. Esse é o tipo de movi-

v

v
mento de, por exemplo, a maioria dos satélites artificiais da
Terra.

a

a
Num movimento deste tipo, a magnitude da velocidade é
constante ou uniforme. Diz-se que é um movimento circular
uniforme. Mas, note-se, a velocidade, que é uma grandeza
vectorial, tangente à trajectória, está permanentemente
a variar em direcção. No movimento circular uniforme há,
pois, aceleração, apesar da magnitude da velocidade não variar. A aceleração no movimento circular uniforme aponta para
Num movimento circular uniforme, a magnitude
da velocidade é constante mas a direcção da
velocidade está permanentemente a variar. A
aceleração aponta para o centro da trajectória (é
centrípeta).
o centro da trajectória, e é tanto maior quanto mais rápido for
o movimento circular. Diz-se que a aceleração é centrípeta.
Como veremos adiante, é possível calcular a magnitude desta
aceleração centrípeta, conhecendo a velocidade e o raio da
trajectória circular.
Há centenas de satélites que têm um movimento circular
com uma velocidade tal que faz com que estejam sempre por
cima do mesmo ponto da Terra. Esses satélites dão uma volta
Se este satélite der uma volta à Terra em 24 h
(exactamente o mesmo tempo que a Terra
demora a dar uma volta completa em torno do
seu eixo de rotação), o satélite é visto da Terra
como estando sempre no mesmo ponto do
espaço.
completa à Terra em 24 h, exactamente o tempo que a Terra
demora a dar uma volta em torno do seu eixo de rotação.
Este ângulo é
descrito pelo raio da
órbita do satélite e
pelo raio da Terra
exactamente no
mesmo intervalo de
tempo...
Assim, são vistos do mesmo local da Terra no mesmo ponto
do céu. São, por isso, designados por satélites geoestacio‑
nários. A órbita desses satélites está no plano do equador.
As órbitas dos satélites geoestacionários (ou órbitas geo‑
estacionárias) têm um raio de 42 200 km e são utilizadas
para satélites de comunicações, apesar de estarem tão longe
e terem tempos de lactência (isto é, atrasos na comunicação)
Pólo Norte
relativamente grandes (cerca de 0,5 segundos). Sendo vistos
Europa
sempre no mesmo ponto do espaço, as antenas na Terra podem apontar apenas para esse ponto (daí o serem muito utilizados como satélites de comunicações).
As órbitas geoestacionárias são um caso particular das ór‑
bitas geosíncronas, isto é, órbitas em que o movimento do
satélite é tal que na mesma hora de cada dia é visto da Terra
exactamente na mesma posição do céu. As órbitas dos satélites do sistema GPS são semi‑geosíncronas: têm um período
orbital de 12 h, aparecendo no mesmo ponto do céu, vistos da
Terra, duas vezes por dia. O raio destas órbitas semi-geosín-
As órbitas geoestacionárias estão no plano do
equador.
cronas é 26 600 km.
1 O raio da Terra é 6 400 km. Quantas vezes é que o raio da órbita de um satélite
geoestacionário é maior que o raio da Terra?
2 A órbita da figura acima está à escala? Fundamente a resposta.
3 Quantos minutos demora um satélite geoestacionário a dar a volta à Terra? E quantos
segundos? Compare esses valores com a duração de um dia terrestre.
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Velocidade angular no movimento circular uniforme
Quer um satélite geoestacionário quer a
Terra descrevem uma volta de 360º em 24
h. Portanto, podemos dizer que o raio da órbita do satélite e o raio da Terra rodam com
uma rapidez de 15 gaus por hora:
360º
24h
15º /h
Esta grandeza física que descreve a rapidez com que um objecto roda é designada
por velocidade angular. (Nota: em rigor,
a velocidade angular também é um vector
pelo que 15º/h representa apenas a magnitude da velocidade angular da Terra e do raio
da órbita do satélite. A velocidade angular
velocidade angular =
aponta numa direcção perpendicular ao plano
de rotação.)
ângulo descrito pelo raio da trajectória da partícula
intervalo de tempo decorrido
w=
q
Dt
w=
360º
T
para uma volta
completa, tem-se
A velocidade angular, que se representa
pela letra grega ómega, , pode ser facilmente calculada conhecendo o período T de
rotação (tempo que demora uma volta completa), para uma rotação uniforme:
=
360º
T
Por exemplo, se o período for 10 s, a velocidade angular é
360º/10 s = 36º/s.
Já a velocidade angular de um satélite
geoestacionário (e a da Terra!) vale, em
graus por segundo, tendo em conta que um
dia tem 24 h, que 1 hora tem 60 minutos e
que 1 minuto tem 60 s:
=
360º
= 0, 0042º/s = 4, 2 ´ 10-3 º /s
(24 ´ 60 ´ 60) s
A roda gigante de Londres (London Eye) demora 30 min a dar
uma volta completa. Qual é a velocidade angular da roda, em
graus por minutos? E em graus por segundo?
1 Os gira-discos antigos tinham uma velocidade angular de 33 rpm (rotações por minuto). Qual
é a velocidade angular destes gira-discos, em graus por segundo?
2 Qual é a velocidade angular, em graus por segundo, da Estação Espacial Internacional, que
completa 15,77 órbitas num dia, numa órbita aproximadamente circular a uma altitude de
cerca de 400 km?
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Velocidade angular em graus por segundo e em radianos por
segundo
O grau, ou seja a fracção 1/360 de uma volta completa,
é uma unidade convencional e não é a unidade de ângulo do
Sistema Internacional de Unidades (SI). (A razão pela qual uma
volta completa são 360º tem a ver com o facto de na Antiguidade
se ter considerado que a Terra demorava 360 dias a dar uma
volta completa ao Sol).
A unidade SI de ângulo é o radiano. Um radiano (1 rad) é
o ângulo que corresponde a um arco em que o comprimento do
ângulo de 1 radiano: o
comprimento do arco é igual ao
comprimento do raio
arco é igual ao comprimento do respectivo raio.
Assim, um ângulo de 2 radianos (2 rad) é um ângulo cujo arco
tem um comprimento que é o dobro do respectivo raio. E um ângulo de 3 rad é um ângulo cujo comprimento do arco é o triplo do
comprimento do raio.
O comprimento do arco que corresponde a uma volta completa
é igual ao perímetro da circunferência. O perímetro vale
2 × 3,14159... × raio = 2 × p × raio = 6,28318... × r  6,28 r
ângulo de 2 radianos: o
comprimento do arco é igual ao
dobro do comprimento do raio
Logo, o arco da volta completa é 6,28 vezes maior que o raio
da circunferência (em rigor, 2 p vezes maior). E, portanto, o ân‑
gulo correspondente a um volta completa vale 6,28 radia‑
nos.
E quantos graus vale um radiano? Simples: se 360º são
6,28 rad, então 1 rad são 57,3º:
360º
= 57, 3º
6, 28
ângulo de 3 radianos: o
comprimento do arco é igual ao
triplo do comprimento do raio
Um raio que rode à rapidez de 1 radiano por segundo, 1 rad/s
(= 57,3º/s) , dá uma volta completa em 6,28 s. E se demorar
10 s a dar a volta completa, roda com uma rapidez de
6, 28 rad
= 0, 628 rad/s
10 s
Mas se demorar 12 s, a rapidez de rotação, que é, em graus/s,
=
360º
= 30º /s
12s
vale, em rad/s:
 =
2 p rad 6, 28... rad
=
= 0, 524 rad/s
12 s
12 s
Em unidades SI (rad/s), para movimentos uniformes, a velocidade angular  pode ser calculada a partir da equação
2
T
90
Uma volta completa corresponde
a uma rotação de 6,28 radianos =
2 p radianos.
E uma rotação de meia volta a
3,14 rad = p rad.
E uma rotação de 1/4 de volta a 1,57 rad = p/2 rad.
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1 Qual é, em radianos, o ângulo descrito pelo raio da órbita de um satélite geoestacionário em
24 h?
2 A velocidade angular de um satélite geoestacionário vale, em unidades SI,
=
2 ´ 3,14159 rad
(24 ´ 60 ´ 60) s
y
Fundamente a escrita desta equação e obtenha o valor da velocidade angular.
3 Qual é, em radianos, o ângulo descrito pelo raio da órbita de um satélite do sistema GPS em
24 h, tendo em conta que o seu período é de 12 h.
4 Calcule a velocidade angular de um satélite do sistema GPS, em unidades SI.
Observe a foto abaixo e os dados da legenda.
5 Qual é a velocidade angular da Estação Espacial Internacional?
6 Qual é o raio da órbita da Estação Espacial? Tenha em conta que o raio da Terra vale 6400 km.
7 Qual é a distância percorrida pela Estação Espacial numa volta completa?
Desenho de artista representando a aproximação da nave Júlio
Verne à Estação Espacial Internacional, que está numa órbita
aproximadamente circular a baixa altitude (cerca de 400 km), com
uma velocidade de 28000 km/h e com um período de 1,5 h.
91
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Movimento circular com velocidade de módulo constante e
características das órbitas dos satélites geoestacionários
O movimento circular uniforme, seja de um satélite seja de qualquer outro objecto, é um movimento com aceleração centrípeta
constante e, portanto, de acordo com a lei fundamental do movimento, com resultante das forças constante, dirigida para o centro da trajectória.
Neste tipo de movimentos, a velocidade v tem módulo ou
magnitude constante que é dada pelo quociente entre o compri
v
mento da trajectória circular e o intervalo de tempo respectivo,
v=
2´p ´r
T
onde r é o raio da trajectória e T o período do movimento circular

a
(tempo que demora uma volta completa).
Por outro lado, vimos que a velocidade angular  num movi-
raio r
mento circular é, em unidades SI, dada por
2
T
Combinando esta equação com a anterior, vem, para a magnitude da velocidade v:
2´p ´r
T
2´p
v=
´r
T
v = ´r
v=
E, como se mostra na página ao lado, a aceleração centrí-
comprimento de uma
circunferência:
2pr
intervalo de tempo de
uma volta completa:
T
ângulo descrito numa volta
completa, em radianos:
2p
velocidade angular, em
radianos por segundo:
w=
peta a é é dada por
a=
v2
r
Substituindo o valor de v, obtém-se:
2
a=
a=
( ´ r )
r
2
 ´r
r
2
a = 2 ´ r
Esta última equação mostra que:
• a aceleração centrípeta a é directamente proporcional ao
raio r da trajectória, mantendo constante a velocidade angular .
• a aceleração centrípeta a é proporcional ao quadrado da
velocidade angular, 2, mantendo constante o raio r da trajectória (ou seja, duplicando a velocidade angular , quadriplica a aceleração centrípeta a; triplicando , aumenta
nove vezes a aceleração centrípeta a; etc.).
92
2p
T
velocidade (também designada
2pr
por “velocidade linear”):
v=
T
aceleração centrípeta:
a=
v2
r
a = w2 r
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
vA
Como calcular a magnitude da
aceleração centrípeta, a, num
movimento circular uniforme?

vA
A

Dv
distância s entre A e B
no intervalo de tempo t

vB
B
s

vB
AB » s » v ´ Dt
B


Dv
a»
Dt
a=
B
A
v2
r
r
r
r
v
r

Dv
v
A amarelo, dois triângulos semelhantes porque têm lados
perpendiculares dois a dois. Entre triângulos semelhantes, os respectivos lados são proporcionais entre si.

Dv
Tendo em conta que a distância percorrida entre A e B é
o produto da velocidade pelo tempo decorrido, vem:

Dv
Simplificando, e tendo em conta que a aceleração num
instante qualquer da trajectória é o quociente entre a
variação de velocidade e o intervalo de tempo respectivo,
quando esse intervalo de tempo é “muito pequeno”, vem:
v
v

Dv
Dt
=
s
r
=
v ´ Dt
r
=
v ´v
r
a=
v2
r
O esquema acima mostra como se pode demonstrar que a aceleração centrípeta a num
movimento circular uniforme é dada por a = v2/r em que v é a magnitude da velocidade e r é o
raio da trajectória.
1 A órbita de um satélite geoestacionário tem um raio de 42200 km. A aceleração a de um
satélite geoestacionário, em unidades SI, pode ser determinada por:
a=
æç 2 ´ 3,14159 ´ 42 200 ´ 103 ö÷2
÷÷
çç
÷÷
çè
24 ´ 60 ´ 60
ø
42 200 ´ 103
Fundamente a equação anterior e obtenha o valor de a.
2 Para onde aponta a aceleração de um satélite geoestacionário? E para onde aponta a força
gravítica no satélite? Qual destas grandezas, aceleração ou força gravítica, depende da massa
do satélite? Fundamente a resposta.
3 Será possível colocar um satélite geoestacionário numa órbita de raio inferior ou superior a
42200 km? Fundamente a resposta.
4 A órbita de um satélite do sistema GPS tem um raio de 26200 km e período orbital de 12 h.
Calcule a aceleração de um satélite do sistema GPS em unidades SI.
5 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma
órbita de raio 2r, com o mesmo período. Qual tem maior velocidade angular? Fundamente a
resposta, utilizando um esquema e as equações adequadas.
6 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, um com uma órbita de raio r e outro com uma
órbita de raio 2r, com o mesmo período. Qual tem maior aceleração? Fundamente a resposta,
utilizando um esquema e as equações adequadas.
7 Dois satélites orbitam em órbitas diferentes, ambas com o mesmo raio r, mas o período de
um é o dobro do período do outro. Relacione a velocidade angular e a aceleração dos dois
satélites, fundamentando a resposta, utilizando esquemas e as equações adequadas.
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O esquema abaixo mostra como se pode deduzir teoricamente a equação que permite calcular
o raio da órbita dos satélites geoestacionários, a partir da lei da Gravitação Universal, da lei
fundamental do movimento e das equações do movimento circular uniforme.
Tenha em conta que:
•
a massa da Terra vale 5,97 × 1024 kg;
•
a constante de gravitação universal, G, vale 6,67 × 10-11 (em unidades SI);
•
o raio da Terra são 6 400 km;
•
e, claro, não se esqueça do período dos satélites geoestacionários...
1 Qual é a equação que permite calcular o raio da órbita de um satélite geoestacionário?
2 Verifique que o raio dessa órbita é dado por
r = 6, 67 ´ 10-11
3
5, 97 ´ 1024
æç 2 ´ 3,14159 ö÷2
÷
çç
è 24 ´ 60 ´ 60 ÷ø
e calcule o respectivo valor em metros e em quilómetros.
3 Fundamente os valores utilizados na equação anterior.
4 Qual é a altitude dos satélites geoestacionários? O desenho abaixo está à escala? Fundamente
a resposta.
5 Descreva resumidamente os passos da dedução teórica da equação que permite calcular o raio
da órbita dos satélites geoestacionários.
massa do satélite, ms

v
pela lei fundamental do
movimento, tem-se, para
o satélite:

a
a = w2 ´ r
F = mS ´ a

Fg
força gravítica, a única
força no satélite
Fg = G
tendo em conta a lei da
Gravitação Universal,
Fg = G
raio r
r2
e a equação da aceleração
centrípeta, vem:
mT ´ mS
r
mT ´ mS
2
mS
simplificando e resolvendo
em ordem ao raio r:
Pólo Norte
Europa
massa da Terra, mT
m ´m
v2
=G S 2 T
r
r
mS
m ´ mT
v2
=G S
1
r
mT
2
v =G
r
æç 2p r ö÷2
m
÷ =G T
çç
è T ÷ø
r
mT
r
m
w2 r 2 = G T
r
mT
3
r =G 2
w
2
(w r )
=G
r = 3G
94
mT
w2
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6 Calcule a velocidade dos satélites geoestacionários.
7 Qual é o ângulo entre a velocidade dos satélites geoestacionários e o raio da trajectória?
Fundamente a resposta.
8 Calcule a aceleração dos satélites geoestacionários.
9 Qual é o ângulo entre a aceleração dos satélites geoestacionários e o raio da trajectória?
Fundamente a resposta.
10A aceleração dos satélites geoestacionários depende da massa do satélite? Fundamente a
resposta.
11Qual é a razão porque se utilizam órbitas geoestacionárias nos satélites de comunicações? E
que desvantagem apresentam essas órbitas?
A ideia da utilização de órbitas
geoestacionárias foi publicada em 1928
pelo engenheiro esloveno Herman
Potocnik, pioneiro da astronáutica. Mais
tarde, em 1945, foram popularizadas
pelo escritor de divulgação científica
Arthur C. Clarke, recentemente falecido,
autor de inúmeros romances de ficção
científica e de diversos programas de
televisão. As órbitas geoestacionárias
são também conhecidas como órbitas de
Clarke, em sua homenagem.
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