Primeira lista.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - VERÃO 2017
DISCIPLINA: TOPOLOGIA GERAL
PROFa : MARIA ANDRADE (www.impa.br/∼mcosta)
Primeira lista de exercı́cios
1. a) Seja X = R e definamos
τ = { ∅, A ⊂ R},
onde A ∈ τ se, e somente se para todo x ∈ A existe um intervalo aberto (a, b) tal que
x ∈ (a, b) ⊂ A. Mostre que τ é uma topologia. Tal topologia é chamada euclidiana ou
usual.
b) Como seria a definição de τ se X = R2 ?
2. Seja R2 e consideremos a famı́lia
τk = {∅, R2 , Gk , k ∈ R},
onde Gk = {(x, y) ∈ R2 /x > y + k}. Mostre que (R2 , τk ) é um espaço topológico.
3. Seja X um conjunto não vazio e
τ = {A ⊂ X/Ac é finito ou é X}.
Mostre que τ é uma topologia para X.
Esta topologia é chamada de cofinita e denotada por τcof . O conjunto (−∞, 1) é aberto
nesta topologia?
4. Se X é qualquer conjunto, então a coleção de todos subconjuntos de um ponto de X é
uma base para a topologia discreta em X.
Lembrete: Se X é qualquer conjunto, a coleção de todos subconjuntos de X é uma
topologia em X, ela é dita topologia discreta.
5. a) Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b, então
B = (a, b)
gera a topologia usual, τus ou euclidiana de R.
b) Seja X = R e a, b ∈ R tal que a < b. Verifique que :
B = [a, b)
gera a topologia chamada do limite inferior em R e é denotado por τlinf .
Estas bases geram topologias diferentes?
6. Seja (X, τ ) um espaço topológico e σ uma famı́lia de conjuntos de X tal que σ ⊂ τ.
Dizemos que σ é uma sub-base de τ se a coleção de interseções finitas de elementos de σ
é uma base de τ.
Sejam X um conjunto não vazio e σ uma famı́lia de elementos de X tais que para todo
x ∈ X existe A ∈ σ tal que x ∈ A. Seja B a coleção de interseções finitas de elementos
de σ. Mostre que a famı́lia τ formada por ∅, X e as uniões arbitrárias de elementos de B
é uma topologia para X e é menor topologia que contém σ.
7. Em R2 , mostre que τcof é menos fina que a τus .
8. Seja B ⊂ τ . A famı́lia B é uma base de τ se e somente se
[
a) X =
B
B∈B
b) Para todo B1 , B2 ∈ B, se x ∈ B1 ∩ B2 , então existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2
9. Seja X = R − {0} com a topologia euclidiana. Os conjuntos (−∞, 0) e (0, ∞) são abertos.
Eles são também fechado nesta topologia?
10. Sejam (X, τ ) e A ⊂ X.
a) A é fechado ⇔ A = A.
b) A = Ā.
c) O conjunto dos números racionais é fechado?
11. Sejam (X, τ ) e A ⊂ X; então Ā é o menor conjunto fechado que contém A, isto é
A=
\
{F/A ⊂ F e F é fechado}
12. Seja (X, τ ) e A ⊂ X, então Å é o maior conjunto aberto contido em A, isto é
Å =
[
{U/U ⊂ A e U é aberto}
13. Seja X = {a, b, c, d, e} com a seguinte topologia:
τ = {∅, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}.
Calcule: {b}, {a, c} e {b, d}.
14. São equivalentes as seguintes condições:
1) A é denso em X.
2) Se F é fechado e A ⊂ F, então F = X.
3) Todo aberto básico não vazio de X contém elementos de A.
4) Åc = ∅.