Gabarito

UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Métodos Estatı́sticos
Introdução à Estatı́stica - Prova # 1
Turma: MAA - Atenção: Só serão aceitas respostas com justificativa. Rio, 24-09-2009
1. Sejam A, B e C eventos associados a um experimento tais que P (A) = 1/3, P (B) = 1/4,
P (C) = 1/4, P (A ∩ B) = 1/6, P (A ∩ C) = 1/10, P (B ∩ C) = 1/10 e P (A ∩ B ∩ C) = 1/60.
Pede-se determinar a probabilidade de que
(a) nenhum desses eventos ocorra; (b) exatamente um desses eventos ocorra; (c) pelo menos
dois desses eventos ocorra.
(a) 31/60; (b) 3/20; (c) 1/3.
2. Quatro homens e quatro mulheres compraram 8 cadeiras consecutivas na mesma fila de um
teatro. Supondo que essas 8 pessoas sentaram-se aleatoriamente nas 8 cadeiras, calcule a
probabilidade de que
(a) homens e mulheres fiquem em cadeiras alternadas;
2 × (4!)2
1
=
8!
35
(b) as mulheres fiquem juntas.
5! × 4!
1
=
8!
14
3. Uma urna contém 3 moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto que as
outras duas são normais e honestas. Uma moeda é sorteada ao acaso dessa urna e é lançada
3 vezes consecutivas. Sabendo que ocorreu cara nos três lançamentos, calcule a probabilidade
de que a moeda selecionada tenha sido a de duas caras.
P (Mv |A) =
P (Mv ∩ A)
P (A)
A - é o evento ocorrem três caras e Mv é o evento escolhe-se a moeda de duas caras.
P (A) = P (Mv ∩ A) + P (Mvc ∩ A) =
P (Mv ∩ A) =
1
3
×1=
1
3
× 1 + 23 ×
1
8
=
5
.
12
1
3
Logo,
P (Mv |A) =
1 12
4
=
3 5
5
4. Dizemos que um jogo é honesto se seu ganho esperado for nulo. Suponha um jogo de dados
no qual você paga R$ 50,00 para participar. Um dado honesto é lançado. Se ocorrer face
“6”, você ganha R$ 200,00 e o jogo termina. Se ocorrer uma das faces “2”, “3”, “4” ou “5”,
você não ganha nada e o jogo termina. Caso ocorra face “1”, você tem mais uma chance,
lançando o dado novamente: se ocorrer face “6”, você ganhará R$ 150,00 e, caso contrário, o
jogo termina e você não ganha nada. Esse jogo é honesto? Justifique.
ganho prob
-50
29/36
100
1/36
150
1/6
Logo, o ganho esperado é − 25
< 0 e, portanto, o jogo não é honesto.
2
5. Uma urna contém 10 bolas brancas e 10 bolas azuis. Pede-se:
(a) a probabilidade de que a primeira bola branca sorteada ocorra na quarta retirada,
supondo que as retiradas são aleatórias, sequenciais e sem reposição.
10 9 8 10
20 19 18 17
(b) a probabilidade de que em 8 bolas retiradas ao acaso, uma de cada vez e sem reposição,
cinco bolas sejam brancas;
µ
10
5
µ
¶µ
20
8
10
3
¶
¶
(c) a probabilidade de que em 8 retiradas ao acaso, uma de cada vez e com reposição, cinco
sejam brancas.
µ
8
5
¶ µ ¶8
1
2
1) X ∼ Geométrica(p) → p(x) =µpq x−1¶, x ∈ {1, 2, 3, ...}, q = 1 − p, E[X] = 1/p e V ar(X) = q/p2 .
n
2)X ∼ Binomial(n, p) → p(x) =
px q n−x , x ∈ {0, 1, ..., n}, q = 1 − p, E[X] = np e
x
V ar(X) = npq.



r
N
−
r



x
n−x


3) X ∼ H(N, r, n) → p(x) =
, x ∈ {xmin , xmin + 1, ..., xmax },
N 

n
N −r
xmin = max{0, n − (N − r)}, xmax = min{n, r}, E[X] = n Nr e V ar(X) = n Nr NN−r N
.
−1
Boa prova!