Raciocínio Lógico - Apostilas Virtual

ANDRÉ REIS
RACIOCÍNIO
LÓGICO
TEORIA
107 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS
¾ Teoria e Seleção das Questões:
Î Prof. André Reis
¾ Organização e Diagramação:
Î Mariane dos Reis
1ª Edição
OUT − 2012
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é punível como crime, com pena de prisão e multa (art. 184 e parágrafos do
Código Penal), conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei nº 9.610, de
19/02/98 – Lei dos Direitos Autorais).
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SUMÁRIO
1.
ESTRUTURAS LÓGICAS / OPERAÇÕES LÓGICAS ........................................................................ 05
Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 17
2.
RACIOCÍNIO SEQUENCIAL .............................................................................................................. 24
Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 26
3.
RACIOCÍNIO VERBAL....................................................................................................................... 29
Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 30
4.
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO ............................................................................................................. 31
Questões de Provas de Concursos .................................................................................................................................. 49
GABARITOS ....................................................................................................................................... 56
Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
Prof. André Reis
RACIOCÍNIO LÓGICO
RACIOCÍNIO LÓGICO- QUANTITATIVO: Esta prova tem o objetivo de medir a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica
de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, coisas ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as
condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Nenhum conhecimento mais profundo de lógica formal ou matemática será
necessário para resolver as questões.
Baseado no conteúdo programático pedido no edital e nas questões das provas de concursos realizadas pela
FCC, referente à disciplina de Raciocínio Lógico-Quantitativo, enumeramos, a seguir, os pontos mais relevantes, visando facilitar e orientar os estudos dos candidatos. Vamos trabalhar!
1
ESTRUTURAS LÓGICAS / OPERAÇÕES LÓGICAS.
1 − Introdução à Lógica Argumentativa
Proposição Simples e Composta
Proposições
Para a lógica matemática, uma proposição representa uma sentença em forma de palavras ou símbolos,
que exprime uma ideia, à qual poderemos atribuir apenas dois valores: verdadeiro ou falso.
Apenas às sentenças declarativas poderemos atribuir tais valores. Assim, as sentenças interrogativas e explicativas não serão consideradas proposições.
Uma proposição é considerada simples quando não
contem qualquer outra proposição como sua componente. Uma proposição simples não pode ser subdividida em outras proposições.
Na prática, a proposição simples não apresenta conectivos lógicos do tipo: “e”, “ou”, “se...entao...” e “se, e
somente se”.
Se uma proposição não for simples será chamada
composta. As proposições compostas contêm como suas componentes, proposições simples.
Exemplos:
Exemplos:
f
João corre todos os dias.
f
O número 10 é par.
f
Todos os homens trabalham.
f
Paulo comprou um livro.
f
Ana mora em São Paulo.
f
2 é um número par.
¾
Não são proposições
f
Onde você mora?
f
Que susto!
f
Preste atenção!
f
x é maior que y.
f
Faça uma redação.
f
Escreva uma poesia.
f
Ana viaja ou Luís compra um livro.
f
Carla vai a Roma e Pedro vai à França.
f
Se corro então fico cansado
f
Um número é par se e somente se for múltiplo de 2.
Todos esses exemplos são proposições compostas pois
existem conectivos lógicos ligando proposições simples.
Esses conectivos estão negritados.
Sentenças Abertas
São sentenças nas quais aparecem variáveis. Substituindo valores nessas variáveis, transformamos uma sentença aberta em uma proposição.
Exemplo:
f
De um modo geral não são proposições, sentenças
interrogativas, imperativas, interjeições e expressões com
variáveis.
Note que para uma dada proposição necessariamente
devemos associar um e apenas um valor lógico: verdadeiro
ou falso. Caso você não consiga associar esse valor, a
sentença pode até exprimir uma ideia, mas não é considerada uma proposição.
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5
Qual é o número que somado com 3 é igual
a 10?
Solução: x + 3 = 10 é a interpretação lógica do problema. Substituindo x por 7, a sentença aberta assume o
valor verdadeiro. Substituindo x por 8, a sentença aberta
assume um valor falso. Note que substituindo em x transformamos uma sentença aberta em uma proposição.
De um modo geral, as expressões interpretadas por
variáveis são sentenças abertas.
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
A disjunção “p ou q” pode ser escrita como: p ∨ q:
Silvana fala espanhol ou Silvana fala alemão.
Exemplos:
f
x+ y é um número positivo
f
x é menor que y
f
2x + 3y = 10
Prof. André Reis
Para que uma disjunção lógica seja verdadeira,
basta que pelo menos uma de suas componentes seja
verdadeira.
Conectivos Lógicos
Vimos que proposições consideradas simples são quando não apresentam conectivos em sua composição. Já as
proposições compostas apresentam tais conectivos. Portanto, os conectivos são elementos que transformam as
proposições simples em compostas. Assim como na matemática básica, podemos definir as quatro operações fundamentais, na lógica podemos trabalhar com quatro conectivos fundamentais.
Essa definição equivale a dizer que uma disjunção
só será falsa quando todas as suas componentes foram
falsas.
Resumindo essa definição em uma tabela-verdade,
para duas proposições simples teremos:
Conectivo “e” (conjunção lógica)
Duas ou mais premissas ligadas por esse conectivo
caracteriza a chamada conjunção lógica.
q
p ∨ q
v
v
v
v
f
v
f
v
v
f
f
f
Conectivo “se...entao...” (condicional)
Exemplo:
f
p
Considere as premissas simples:
Duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo
“se...então...”representa uma condicional. A condicional
se p então q pode ser simbolicamente representada por
p → q.
p. Alfredo comprou um carro.
q: Inês comprou um livro.
A composição Alfredo comprou um carro e Inês
comprou um livro é uma conjunção, cuja representação
é p ∧ q.
p
→
q lê-se: se p então q
Obs: podemos ler também como p implica em q.
p ∧ q lê-se: p e q
Uma proposição composta por conjunção lógica é
verdadeira quanto todas suas componentes são verdadeiras.
Se pelo menos uma das componentes for falsa, então
toda a proposição é falsa. Por duas proposições simples
podemos resumir as possibilidades na seguinte tabelaverdade:
A proposição p é chamada condição e a proposição q
é chamada conseqüente. Podemos ainda afirmar que
“p é suficiente para q” e “q é necessário para p”. Essas
duas últimas afirmações serão detalhadas mais adiante.
Para que uma condicional seja falsa é necessário que a
condição seja verdadeira e a conseqüência seja falsa.
Resumindo em uma tabela-verdade para duas premissas p
e q temos:
p
Q
p ∧ q
P
Q
v
V
v
v
V
v
v
F
f
v
F
f
f
v
f
f
V
v
f
f
f
f
F
v
p
→
q
Conectivo “ou” (disjunção lógica)
Observe que uma condicional só é falsa em uma
situação, caso contrário é verdadeira.
Duas ou mais premissas ligadas pelo conectivo
“ou” caracteriza a chamada disjunção lógica cujo símbolo é “ ∨ ”.
Conectivo “se, e somente se” (bicondicional)
p ∨ q lê-se: p ou q
Exemplo:
f
A bicondicional “p se, e somente se q” é representada
simbolicamente por p ↔ q.
Considere as proposições simples:
p: Silvana fala espanhol.
p
q: Silvana fala alemão.
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Denominamos bicondicional a proposição composta
por duas proposições quaisquer ligadas pelo conectivo
“se e somente se”
6
↔ q lê-se p e somente se q
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
Exemplo:
Exercícios Propostos
f
p: x é um número par.
f
q: x é um múltiplo de 2.
f
p ↔ q: x é um número par se e semente se x é
um múltiplo de 2.
Como o próprio nome e representação simbólica
sugerem, uma bicondicional pode ser escrita como duas
condicionais:
p
→
q “se p então q” e q
Prof. André Reis
→
1. As sentenças abaixo podem ser abertas ou declarativas.
Faça a classificação:
a)
b)
c)
d)
e)
A terra gira.
x + 4 = 10.
x > y.
Luis fala italiano.
Pedro pilota motos.
p “se q então p”.
Soluções:
Uma bicondicional é verdadeira quando p e q têm
o mesmo valor lógico, isto é, ambas verdadeiras ou ambas falsas.
a) premissa
O quadro de tabela-verdade resume a definição
dada.
d) premissa
p
↔q
p
Q
v
V
v
v
F
f
f
V
f
f
f
v
b) Se é verdade que os homens são imortais, não é
verdade que _________________________
f
“é falsa que p”
Soluções:
b) Os homens são mortais
c) Os cavalos voam
3. Considere as premissas:
p: Luis estuda Matemática.
q: Luis estuda Lógica.
r: Luis passa no concurso
Dada uma premissa p, sua negação pode ser feita:
“não p”.
c) Se não é verdade que os cavalos não voam então
é verdade que________________________
a) Luis não mente
Como primeira definição de uma negação lógica
de uma premissa p, podemos entender como a troca
do valor lógico de p. Sendo assim, se p for verdadeira
sua negação será falsa e se p for falsa sua negação será
verdadeira.
f
e) premissa
a) Se é verdade que Luis mente então não é verdade
que ______________________________
Negação de Premissas
“não é verdade que p”.
c) aberta
2. Complete as lacunas fazendo a negação da premissa:
Note que, para valores iguais de p e q a bicondicional é verdadeira.
f
b) aberta
Determine as proposições compostas:
a) p → (q ∧ r)
A negação de p será representada simbolicamente
por ~p.
~p lê-se: não p
O quadro tabela-verdade para a negação de uma
premissa será:
p
~p
v
f
f
v
Se Luis estuda Matemática então estuda Lógica e
passa no concurso
b) (~p ∧ ~q) → ~r
Solução:
Se Luis não estuda Matemática e não estuda Lógica
então não passa no concurso
c) r ↔ (p ∨ q)
Se p for verdadeira sua negação é falsa e se p for
falsa sua negação é verdadeira.
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Solução:
7
Solução
Luis passa no concurso se, e somente se, estuda Matemática ou estuda lógica
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Teoria e Questões por Tópicos
Prof. André Reis
2. Todo A é B e nenhum C é A.
Proposições Categóricas
Solução: Observe que não foi dada relação alguma
entre os conjuntos E c B. então temos as possíveis representações:
Introdução
É estudado na Teoria dos conjuntos que os diagramas
de Venn-Euler facilitam a compreensão das relações entre dois conjuntos distintos. Para fixar recordes que um
conjunto A pode ser representado por:
Nenhum C é B
Algum C é B
Onde U representa o conjunto universo.
Todo C é B
Na lógica de argumentação, esses diagramas são
úteis na representação de proposições como:
•
Todo A é B
•
Algum A é B
•
Nenhum A é B
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Proposições
categóricas
Essas proposições são simbolicamente representadas
por:
Nas três possibilidades foram satisfeitas as condições
iniciais: Todo A é B e nenhum C é A. para que uma
conclusão seja necessariamente verdadeira, ela deve
satisfazer a essas três representações.
3. Todo A é B e nem todo C é B mas algum C é A.
Solução: A representação da proposição é:
Todo A é B
Algum A é B
4. Dado que rodo A é R e nenhum G é A, segue necessariamente que:
a)
b)
c)
d)
e)
Nenhum A é B
Algum R não é G.
Nenhum G é r.
Todo G é R.
Algum G não é R.
Todo R é A.
Solução: a primeira ideia para resolver esse tipo de
questão é representar as possibilidades dos diagramas.
Exemplos:
1. Todo A é B e nenhum C é B.
1)
Solução: A proposição composta pode ser representada
por:
Algum G é R
2)
Algum G é R
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Teoria e Questões por Tópicos
3)
Prof. André Reis
Para uma implicação lógica:
Todo G é R
Negando a condição, nada podemos concluir
para a conseqüência.
A→B
Para que uma conclusão seja sempre válida, ela
deve satisfazer todas as possíveis representações. Observe que a conclusão Algum R não é G satisfaz as 3
possibilidades e portanto, é a resposta da questão.
Equivalente da Implicação Lógica
A proposição categórica “todo A é B” é equivalente a
dizer que A implica em B. Representando simbolicamente.
→
←
A→B
~A → ?
Vamos analisar a implicação: Se João canta então
Maria dorme.
“Se João não canta então...” nada podemos afirmar para a conseqüência, pois a condição foi negada.
É importante observar que a maior parte das pessoas afirmaria: “Se João não canta então Maria não dorme”.
Porém, pelo exposto anteriormente a afirmação está
ERRADA. Então guarde que: negando a condição, nada
podemos afirmar para a conseqüência.
equivalente
Para entender essa equivalência, vamos tomar um
exemplo pratico: considere A o conjunto dos paulistas e
B o conjunto dos brasileiros.
Todo paulista é brasileiro
Voltando ao exemplo dos paulistas e brasileiros faremos agora mais uma indagação: é possível que um
cidadão não seja brasileiro e seja paulista? Resposta:
Não!
É claro que uma pessoa não pode ser paulista sem
que ela seja brasileira. Em termos matemáticos podemos
escrever: um elemento que não pertence a B com certeza não pertence a A.
Se um elemento não pertencer
a B, com certeza não pertence
a A.
é equivalente a dizer que se é paulista é brasileiro.
A → B (A implica em B).
Esse exemplo é muito útil e sugere algumas conseqüências
de uma implicação. A afirmação recíproca “todo brasileiro
é paulista” é evidentemente falsa, pois um cidadão brasileiro não é necessariamente paulista. Conclusão:
Portanto, se A implica em B, a negação de B implica
na negação de A.
A→B
~B → ~ Ã
Se A implica em B, não necessariamente B implica em A
Outra questão que poderia ser formulada è a seguinte: um cidadão não paulista é brasileiro ou não?
Depende!
Temos não paulistas brasileiros e não brasileiros. Em
termos matemáticos podemos escrever: um elemento
que não pertence a A pode ou não pertencer a B
Se um elemento não pertence
a A, não podemos ter certeza
se lê pertence ou não a B.
Vamos analisar a implicação:
Se João canta então Maria dorme.
“Se Maria não dorme então João não canta”.
Observe que negando a conseqüência temos de
negar a condição conforme foi exposto acima.
A→B
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
Exercícios Propostos
1. Ou Celso viaja ou Maria estuda. Se Maria estuda então Carla vai ao cinema. Se Carla vai ao cinema então
o Brasil fica na Europa. Ora, o Brasil não fica na Europa.
Quais são as conclusões?
Celso ∨ Maria estuda.
Maria estuda → Carla vai ao cinema.
Carla vai ao cinema → o Brasil fica na Europa.
Dado: o Brasil não fica na Europa utilizaremos a teoria:
A → B então ~B → ~A.
Sendo assim, a 1ª conclusão é que Carla não vai ao cinema. Voltando à 1ª implicação concluímos que Maria
não estuda. Na disjunção lógica, pelo menos uma premissa deve ser verdadeira. Como Maria não estuda então Celso viaja.
Carla não vai ao cinema.
Maria não estuda.
Celso viaja.
Solução:
Jardim tem flores → galo canta.
Jardim não tem flores → quintal sem abelha.
A→B
Então, a 1ª conclusão é que o jardim tem flores. Voltando à 1ª implicação temos se o jardim tem flores o galo
canta.
O galo canta.
A simbologia acima apresenta que a negação
da proposição composta p e q é feita por ~p ou ~q
Exemplos:
a) R: João anda e Maria dorme.
~R: João não anda ou Maria não dorme.
b) Q: Pedro canta e Luis lê.
~Q:Pedro não canta ou Luis não lê
Negação da disjunção ( ∨ )
Regra de negação
A simbologia acima representa que a negação da
composição “p implica em q” é feita por p e ~q.
Exemplos:
a) R: Carlos é alto ou Dado é magro.
~R: Carlos não é alto e Dado não é magro.
~B → ~A
O jardim tem flores.
~(p ∧ q) ↔ ~p ∨ ~q
~p(p ∨ q) ↔ p ∧ ~q
Como o quintal está cheio de abelhas, foi negada a
conseqüência na 2ª implicação.
2)
Negação da Conjunção ( ∧ )
Obs: O conectivo “e” é substituído pelo conectivo “ou”.
2. Se o jardim tem flores o galo canta, mas se o jardim
não tem flores o quintal fica sem abelhas. Mas o quintal
está cheio de abelhas. Quais são as conclusões?
1)
Para podermos resolver questões mais abrangentes
na argumentação lógica vamos abordar neste tópico a
negação de proposições compostas, categóricas e outros
tipos de sentenças.
Regra de negação:
Solução: Podemos resumir através dos símbolos lógicos.
1)
2)
3)
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b) Q: Ernesto canta ou Flávia dorme.
~Q: Ernesto não canta e Flávia não dorme.
Obs: O conectivo “ou” é substituído pelo conectivo “e”
3. Quando o dia amanhece João sai para trabalhar.
Dado que o dia não amanheceu, qual é a conclusão?
Negação da Implicação
Regra da negação
Solução: nenhuma. A condição foi negada. Vimos na
teoria que, caso a condição seja negada, nada podemos concluir.
A simbologia acima representa que a negação da
composição “p implica em q” é feita por p e ~q.
Negação
Na primeira parte da introdução à lógica de argumentação vimos que a negação de uma premissa p
tem como conseqüência a troca de valor lógico de p.
Para retomar as ideias recorde a tabela-verdade.
P
~p
V
f
F
v
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~(p → q) ↔ p ∧ ~q
Exemplos:
a) R: Se Bernardo tem um livro então Carla tem uma
flor.
~R: Bernardo tem um livro e Carla não tem uma flor.
b) S: Se Luis dança Maria chora.
~S: Luis dança e Maria não chora.
A negação é feita ligando as proposições p e ~q pelo
conectivo “e”.
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Teoria e Questões por Tópicos
Para fixar melhor esta ideia de negação de uma
implicação, podemos imaginar a representação em diagramas.
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c) S: Alguns políticos são honestos.
~S:Nenhum político é honesto.
d) Q: nenhum filósofo é trabalhador.
A → B é o mesmo que
~Q: Algum filósofo é trabalhador.
2. Se Júlio e Paulo mentiram então Nestor comprou um
livro. Mas Nestor não comprou um livro. Qual é a conclusão?
Negar A → B significa dizer que tem um elemento
de A que não pertence a B. Em símbolos:
x∈Aex
∉B
Solução:
Júlio mentiu e Paulo mentiu → Nestor comprou um livro.
A negação da conseqüência implica na negação
da condição. Portanto: Júlio disse a verdade ou Pedro
disse a verdade'.
Negação da Bicondicional
Regra de negação:
3. Se é verdade que Bia canta toda vez que Luíza canta,
então não é verdade que:
~(p ↔ q) ↔ (~p ∧ q) ∨ (p ∧ ~q)
Podemos interpretar a negação da bicondicional
da seguinte forma: (~p e q) ou (p ∧ ~q).
Exemplos:
a)
b)
c)
d)
Bia não canta.
Se Bia não canta Luiza não canta.
Luíza canta.
Luiza canta e Bia não canta.
Solução: Letra D.
a) R: x é par se e somente se x é múltiplo de 2.
~R: x não é par e é múltiplo de 2 ou x é par e não é
múltiplo de 2.
b) S: Carlos canta se e somente se Luis viaja.
~S: Carlos não canta e Luis viaja ou Carlos canta e
Luis não viaja.
Obs: são as negações das duas condicionais que podemos transformar a bicondicional.
Negação das Proposições Categóricas.
Bia canta toda vez que Luiza canta significa que:
Luiza canta → Bia canta.
Não é verdade a negação dessa implicação.
Luíza canta e Bia não canta.
Obs: ~(~p) ↔ p
Se p é verdade, então não é verdade a negação de p.
Argumento
É considerado um argumento, toda afirmação que
é conseqüência de uma seqüência finita de proposições.
Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão
Q é representado por P1, P2, P3, ..., Pn Q
• Todo A é B.
Negação: existe pelo menos um A que não é B.
• Algum A é B.
Lê-se: “Que decorre de P1, P2, ..., Pn” ou “P1, P2, P3, ...,
Pn acarretam em Q”, etc.
Negação: nenhum A é B.
• Nenhum A é B.
Silogismos
Negação: Algum A é B.
Não podemos nos esquecer de que, basicamente,
negar uma premissa verdadeira significa torná-la falsa, e
negar uma premissa falsa significa torná-la verdadeira.
Exemplo: Sabe-se que x = 3 ou x =2.
Mas x ≠ 3, logo x = 2.
Exercícios Propostos
Esse tipo de silogismo é chamado disjuntivo. Dado
que A ou B sabemos que uma delas, pelo menos, deve
ocorrer. Se A não ocorre significa que ocorre B. Se B não
ocorre então A ocorre. Representamos um silogismo disjuntivo por:
1. Negar as proposições:
a) p: A terra gira.
~p: A Terra não gira.
b) R: Todos os homens são poetas.
(A ∨ B) ∧ ~A → B ou (A ∨ B) ∧ ~B → A
~R: Existe pelo menos um homem que não é poeta.
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São argumentos formados por duas premissas e uma
conclusão.
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Teoria e Questões por Tópicos
Podemos ler a representação anterior da seguinte
forma: “A ou B e não A então B”. O que significa dada a
ocorrência de A ou B quando A não ocorre necessariamente
B deve ocorrer ou quando B não ocorre. A deve ocorrer.
Há um outro tipo de silogismo chamado hipotético.
Simbolicamente ele pode ser representado por:
p→q
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Exercícios Propostos
1. André, Beto e Caio trocam acusações:
André diz: Beto mente.
Beto diz: Caio mente.
Caio diz: André e Beto mentem.
Baseando nessas acusações, é correto afirmar que:
q→r
p→r
Se p implica em q e q implica em r, então p implica
em r.
a)
b)
c)
d)
e)
André e Beto mente.
André diz a verdade.
Apenas Caio diz a verdade.
Apenas André mente.
André e Caio mentem.
Solução:
A Validade do Argumento
Fazendo a 1ª suposição “André diz a verdade”.
Um argumento é válido se, e somente se, a conclusão
for verdadeira toda vez que as premissas forem verdadeiras. Um argumento de premissas P1, P2, ... Pn e conclusão q é válida se a implicação (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
for verdadeira.
O argumento não válido é chamado sofisma ou falácia. Um argumento só é sofismo quando premissas
verdadeiras acarretam em outra conclusão falsa. Em
qualquer outra situação, o argumento é válido.
Exemplo
Dado que x = 2 e y = 3. Concluímos que x + y é um
número par.
Solução: Se x = 2 e y = 3 são verdadeiras, x + y = 5
que é ímpar. É um sofisma. Partindo de premissas verdadeiras a conclusão deve ser verdadeira.
Argumentos que envolvem Verdades e Mentiras
• Se a afirmação de André é verdadeira então Beto
mente, ou seja, Caio diz a verdade.
• Se Caio diz a verdade então André e Beto mentem.
Contradição!! Observe que na suposição feita André diz
a verdade e Beto mente.
2ª suposição: Beto diz a verdade
•
Se Beto diz a verdade, André está mentindo.
•
Se Beto diz a verdade, Caio está mentindo.
Observe que realmente Caio mente quando afirma que
Beto e André mentem, pois Beto diz a verdade.
Não há contradição
Resposta: André e Caio mentem.
2. Tenho 3 pastas A, B e C.Uma delas é preta, a outra
marrom e a terceira marfim, não necessariamente nesta
ordem. Sabendo que apenas uma das declarações é
verdadeira:
A é preta
Neste tópico apresentaremos várias argumentações
que apresentam os vocábulos “verdades” e “mentiras”.
Na realidade, cada situação apresenta algum raciocínio
inerente ao problema. De um modo geral, devemos
conduzir as soluções por duas ideias centrais:
B não é preta
C não é marfim
Então qual é a cor de cada uma das pastas?
Solução:
•
Podemos atribuir a quem pertence a verdade
ou mentira fazendo suposições.
1ª suposição: é verdade que “A é preta”.
•
Em cada suposição não podemos encontrar contradições. Caso seja encontrada alguma contradição, então a suposição inicial feira, está
equivocada. Devemos escolher outra suposição
para conduzir o problema.
2ª suposição: é verdade que “B não é preta”.
Não existe uma regra que resolva todas as situações.
Devemos ler o enunciado com a maior atenção possível,
usar as duas ideias centrais apresentadas e muito bom
senso.
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12
•
•
Já chegamos a uma contradição pois B não é preta
também é uma verdade.
Neste caso B pode ser marrom ou marfim. Construímos então o quadro abaixo.
B = marrom
C = marfim
A = preta
B = marfim
C = marfim
A = marrom
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Raciocínio Lógico
•
Teoria e Questões por Tópicos
Observe que na suposição, “C não é marfim” é falsa, pois existe apenas uma verdade. No primeiro
quadro concluímos que A é preta. Contradição!
Se A fosse preta existiram duas verdades. No segundo quadro também há contradição.
•
Problemas sobre Correlacionamento
São problemas nos quais são dadas informações arbitrárias envolvendo: pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios.
O objetivo é descobrir o correlacionamento entre os
dados dessas informações.
3ª suposição: É verdade que “C não é marfim”
•
Neste caso C pose ser preta ou marrom.
C = preto
B = preta
A=?
C = marrom
B = preta
A = marfim
Dito de outra forma, quando o exercício lhe pedir
que identifique "quem usou o quê, quando, com quem,
de que cor etc.
Exercício Proposto
O última quadro não apresenta contradições pois
na suposição de que apenas “C não é marfim” é
verdadeira, concluímos que B é preta donde a única possibilidade é:
A = marfim
B = preta
C = marrom
3. Antônio, Beto, Carlos e Daniel trocam acusações sobre
quem quebrou a vidraça do vizinho quando estavam jogando bola:
1. (Agente Administrativo/2010-FCC) Três Agentes Administrativos - Almir, Noronha e Creuza - trabalham no Departamento Nacional de Obras Contra as Secas: um, no
setor de atendimento ao público, outro no setor de compras e o terceiro no almoxarifado. Sabe-se que:
•
Esses Agentes estão lotados no Ceará, em Pernambuco e na Bahia;
•
Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha
no setor de compras;
•
Creuza trabalha no almoxarifado;
•
O Agente lotado no Ceará trabalha no setor de
compras.
Antônio afirma: Beto é o culpado
Beto afirma: Carlos é o culpado
Com base nessas informações, é correto afirmar que o
Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no
setor de atendimento ao público são, respectivamente,
Carlos afirma: Danilo é inocente
Danilo afirma: Antonio é inocente.
Se existir apenas uma verdade nestas declarações podemos concluir que:
a)
b)
c)
d)
e)
Prof. André Reis
Apenas Antônio é culpado.
Beto e Carlos são os culpados.
Apenas Carlos é inocente.
Antônio ou Danilo são os culpados.
Danilo e Carlos são inocentes.
a) Almir e Noronha.
b) Creuza e Noronha.
c) Noronha e Creuza.
d) Creuza e Almir.
e) Noronha e Almir.
Solução:
Primeiro Passo: preparação da tabela principal.
Solução: Observe que se Beto fosse culpado ou Carlos
culpado, então teria mais de um culpado, pois existe
apenas uma verdade nas declarações. Assim:
1ª suposição: Carlos disse a verdade. Então todos os outros estão mentindo; pelo enunciado da questão.
Beto culpado (M)
Carlos culpado (M)
Danilo inocente (V)
Será construída, como meio de facilitação visual para a resolução desse tipo de problema, a seguinte tabela dita principal.
São três grupos de informações: Agente, Local de
Trabalho e Lotação.
Escolha um deles e coloque cada um de seus elementos em uma linha. Neste exercício, escolhemos os Agentes
(Almir, Noronha e Creuza) como grupo de referência inicial.
Antônio inocente (M)
LOCAL DE TRABALHO
Concluímos que Antônio é o culpado.
Atend.
2ª suposição: Danilo disse a verdade. Fazendo a mesma
análise anterior, concluímos que Danilo é o culpado.
Compras
Almox.
Almir
Noronha
Creuza
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ESTADOS DE LOTAÇÃO
Ceará
Pernam.
Bahia
Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
Segundo Passo: construção da tabela-gabarito.
Marque um "S" na tabela principal, na célula
comum a Creuza e "Almoxarifado", e "N" das
demais células correspondentes a esse "S".
Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas
em alguns casos ela é fundamental para que você enxergue informações que ficam meio escondidas na tabela principal.
Haverá também ocasiões em que ela lhe permitirá
conclusões sobre um determinado elemento. É o caso,
por exemplo, de serem quatro possibilidade e você notar
que três já estão preenchidas na tabela-gabarito. Nesse
caso, você perceberá que só resta uma alternativa para
a célula não-preenchida.
LOCAL DE TRABALHO
Atend.
AGENTES
LOCAL DE TRABALHO
Compras
Almox.
Almir
Noronha
N
N
Atend.
Almir
Compras
Almox.
N
N
Noronha
N
N
Retire os elementos do enunciado e preencha a tabela principal com "S" (Sim) ou "N" (Não), de acordo com as
informações fornecidas. Ao encontrar um "S" em uma célula, preencha o restante da linha e da coluna com "N".
Imediatamente marcado um "S", preencha a tabelagabarito com a informação quando possível.
Atend.
Compras
Almox.
Almir
S
N
N
Noronha
N
Creuza
N
AGENTES
Almir
LOCAL DE TRABALHO
Creuza
Bahia
Bahia
N
ESTADO DE LOTAÇÃO
Almoxarifado
N
Creuza trabalha no almoxarifado;
Registre essa informação imediatamente na tabela-gabarito:
Atend.
Compras
Almox.
Almir
S
N
N
Noronha
N
S
N
Creuza
N
N
S
AGENTES
ESTADO DE LOTAÇÃO
Almir
Almir
Noronha
Noronha
Creuza
Pernam.
Pela tabela principal acima, percebemos que
Noronha trabalha no setor de "Compras", pois foi
a única alternativa que ficou de "Local de Trabalho" para ele. Assim, teremos a tabela principal
e tabela-gabarito a seguir:
Creuza
LOCAL DE TRABALHO
Ceará
S
LOCAL DE TRABALHO
AGENTES
ESTADOS DE LOTAÇÃO
Atendimento
Noronha
2.
N
Noronha
ESTADOS DE LOTAÇÃO
N
Bahia
N
N
Almir
Almir não está lotado na Bahia e nem trabalha
no setor de compras;
Pernam.
Pernam.
Pela tabela acima, percebemos que Almir trabalha no setor de "Atendimento", pois foi a única
alternativa que ficou de "Local de Trabalho" para ele. Assim, teremos a tabela principal e tabelagabarito a seguir:
Em nosso exercício:
Ceará
Ceará
S
LOCAL DE TRABALHO
Almox.
ESTADOS DE LOTAÇÃO
N
Creuza
ESTADO DE LOTAÇÃO
Terceiro Passo: início do preenchimento das tabelas (principal e gabarito) com as informações mais óbvias do problema, aquelas que não deixam margem a nenhuma dúvida.
Compras
Bahia
S
LOCAL DE TRABALHO
Creuza
Atend.
Pernam.
Após as informações "1" e "2" a nova tabela principal será dada por:
Noronha
LOCAL DE TRABALHO
Ceará
N
Creuza
Almir
1.
ESTADOS DE LOTAÇÃO
N
Um outro ponto que deve ser ressaltado é que as
duas tabelas se complementam para visualização das
informações. Por isso, a tabela-gabarito deve ser usada
durante o preenchimento da tabela principal, e não depois.
A primeira linha de cabeçalho será preenchida com os
nomes dos grupos. Nas outras linhas, serão colocados os
elementos do grupo de referência inicial na tabela principal (no nosso exemplo, o grupo de Agentes).
Prof. André Reis
Creuza
Almoxarifado
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LOCAL DE TRABALHO
Atendimento
Compras
Almoxarifado
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ESTADOS DE LOTAÇÃO
Ceará
Pernam.
Bahia
N
ESTADO DE LOTAÇÃO
Raciocínio Lógico
3.
Teoria e Questões por Tópicos
O Agente lotado no Ceará trabalha no setor de
compras.
Pelas informações da tabela principal acima, concluímos que o Agente lotado no Ceará, que trabalha no setor de Compras é Noronha.
LOCAL DE TRABALHO
Atend.
Compras
Almir
S
Noronha
N
Creuza
N
ESTADOS DE LOTAÇÃO
Almox.
Ceará
N
N
N
S
N
S
N
S
N
Pernam.
Bahia
N
N
LOCAL DE TRABALHO
Almir
Tautologias, Contingências e Contradições
Tautologia
Denomina-se tautologia a proposição que é sempre
verdadeira. A tabela-verdade de uma tautologia contém
em sua última coluna apenas valores lógicos verdadeiros.
N
Contingência
Registre essa informação imediatamente na tabela-gabarito:
AGENTES
Prof. André Reis
Denomina-se contingência a proposição composta
que pode ser verdadeira ou falsa. A tabela-verdade de
uma contingência contém, em sua última coluna valores
lógicos verdadeiros ou falsos.
ESTADO DE LOTAÇÃO
Contradição
Atendimento
Noronha
Compras
Creuza
Ceará
Almoxarifado
Diante das novas informações a tabela principal
será dada por:
LOCAL DE TRABALHO
ESTADOS DE LOTAÇÃO
Atend.
Compras
Almox.
Ceará
Almir
S
N
N
N
Noronha
N
S
N
S
Creuza
N
N
S
N
Pernam.
Bahia
Denomina-se contradição a proposição que é sempre falsa. A tabela-verdade de uma contradição contém, em sua última coluna, apenas valores lógicos falsos.
Exemplo
1.
Vamos verificar se a proposição composta abaixo é
uma tautologia, contingência ou contradição.
N
N
Se João canta então João canta ou Maria compra
um livro
N
Conclusões finais baseadas na tabela acima:
a) Almir está lotado em "Pernambuco", pois foi a
única alternativa que ficou de "Estados de Lotação" para ele;
b) Creuza está lotado na "Bahia", pois foi a única alternativa que ficou de "Estados de Lotação" para
ela;
Vamos denominar p: João canta e q: Maria compra
um livro. Então a proposição composta pode ser descrita como:
p → (p ∨ q)
Construindo um quadro de possibilidades
Assim as tabelas finais (principal e gabarito) serão as
seguintes:
LOCAL DE TRABALHO
ESTADOS DE LOTAÇÃO
Atend.
Compras
Almox.
Ceará
Pernam.
Bahia
Almir
S
N
N
N
S
N
Noronha
N
S
N
S
N
N
Creuza
N
N
S
N
N
S
AGENTES
Almir
Noronha
Creuza
LOCAL DE TRABALHO
ESTADO DE LOTAÇÃO
Atendimento
Pernambuco
Compras
Ceará
Almoxarifado
Bahia
p
q
p ∨ q
p → (p ∨ q)
v
v
v
v
v
f
v
v
f
v
v
v
f
f
f
v
•
A última coluna da tabela apresenta apenas
valores verdadeira, portanto trata-se de uma
TAUTOLOGIA.
•
Note que construímos todas as possibilidades para
p e q. Em seguida, analisamos a tabela verdade
da disjunção p ∨ q. E finalmente a tabela-verdade
da implicação p → (p ∨ q)
Assim o Agente lotado no Ceará e o Agente que trabalha no setor de atendimento ao público são respectivamente: Noronha e Almir.
Gabarito: Letra "e"
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Raciocínio Lógico
2.
Teoria e Questões por Tópicos
Demonstrar que a proposição p ∨ (p ∧ ~q) é uma
contingência.
Solução: construindo a tabela verdade
p
q
~q
(p ∧ ~q)
p ∨ (p ∧ ~q)
v
v
f
f
v
v
f
v
v
v
f
v
f
f
f
f
f
v
f
f
Observe que é suficiente ser paulista para ser brasileiro, mas não é necessário ser paulista para ser brasileiro, ou seja, basta ser paulista para ser brasileiro, mas não
precisa ser paulista para ser brasileiro, pois existem brasileiros que não são paulistas. Dessa forma, podemos escrever P → B, onde P é suficiente para B, mas não necessário. Agora observe que é necessário ser brasileiro para
ser paulista, mas não é suficiente. Afirmamos que é necessário pois se um elemento “estiver fora” do conjunto B então ele “está fora” de A. Para as conclusões finais, observe
que não basta se brasileiro para ser paulista.
A construção foi feira por etapas:
Condição Suficiente
1ª) As possibilidades para p e q (1ª coluna)
3.
Prof. André Reis
2ª) Na 2ª coluna a tabela de negação de q.
Se A é suficiente para B temos que:
3ª) Na 3ª coluna a operação entre parênteses (p ∧ ~q).
•
A → B (A implica em B).
4ª) Na 4ª coluna o resultado final.
•
Todo A é B
Se Paulo e Luís viajam então Paulo viaja.
(representação em forma de
conjunto)
Solução: Fazendo p: Paulo viaja e q: Luís viaja, a
proposição pode ser escrita como: (p ∧ q) → p
Construindo a seqüência da tabela-verdade
p
q
p ∧q
(p ∧ q) → p
v
v
V
v
v
f
F
v
f
v
F
v
f
F
F
v
•
A ocorrência de A acarreta na ocorrência de B.
Condição Necessária
Se B é necessária para A:
É uma tautologia.
•
A→B
•
Todo A é B
Condição Suficiente, Condição Necessária, Condição Necessária e Suficiente
Vamos abordar neste tópico a relação que existe
entre conjuntos e operadores lógicos. De uma forma em
geral, a lógica matemática se preocupa em conectar
ideias e tirar conclusões a partir destas. Quando abordamos
situações em geral, temos condições impostas para tais.
Essas condições muitas vezes são suficientes para desencadear
um processo de conclusões ou ainda necessárias para
que as conclusões possam surgir.
Para ilustrar, vamos abordar uma situação cotidiana e,
a partir dela faremos as definições matemáticas. Voltemos a um exemplo inicial: considere a afirmação: todo
paulista é brasileiro.
Condição Necessária e Suficiente
Se A é necessária e suficiente para B, então:
•
A ↔ B (equivalência lógica)
•
Todo A é B e todo B é A.
•
A=B
•
Se A ocorre então B também ocorre.
•
Se A não ocorre então B não ocorre.
Representando em forma de conjuntos.
P: conjunto dos paulistas.
B: conjunto dos brasileiros.
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
Exemplos:
1.
3.
Considere que A é necessária para B e é suficiente
para C. Considere ainda que C é necessária e suficiente para D. Assim, quando D não ocorre tiramos
quais conclusões?
•
•
•
•
Solução:
Ana vai ao parque → Bia fica triste.
Escrevendo a equivalente:
A é necessário para B
A é suficiente para C
C é necessária e suficiente para D
Bia não fica triste → Ana não vai ao parque.
•
Quando D não ocorre, são conclusões:
1)
C não ocorre.
2)
A não ocorre
3)
B não ocorre
Bia não ficar triste é suficiente para Ana não ir
ao parque .
Alternativa "B"
4.
Recorde que:
P→q
~q → ~p
A não ocorrência de q acarreta na não ocorrência
de p.
2.
Toda vez que Ana vai ao parque Bia fica triste. Então, Bia não ficar triste é condição suficiente para:
a) Ana ir ao parque.
b) Ana não ir ao parque
c) Não podemos concluir.
Solução: o primeiro passo para a solução é escrever
o problema em forma de operações lógicas:
B →A
A→C
C→D
Prof. André Reis
O gato miar é condição suficiente para o pássaro
cantar. Quando o pássaro não canta concluímos que:
a) O gato mia.
(ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para a
duquesa sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde
encontrar a princesa é condição necessária e suficiente
para o barão sorrir e, é condição necessária para a
duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Quais as
conclusões?
Solução: A questão apresentava as alternativas possíveis dentre as conclusões que vamos tirar. O primeiro passo seria utilizar as operações lógicas:
Duque sair do castelo → rei ir á caça.
Rei ir à caça → duquesa ir ao jardim.
b) O gato não mia.
Conde encontrar a princesa ↔ barão sorrir.
c) Não podemos tirar conclusões.
Duquesa ir ao jardim → conde encontrar a princesa.
Dado que: o barão não sorriu, temos as conclusões:
Solução: gato miar → pássaro cantar.
Quando o pássaro não canta concluímos que o gato não mia.
Alternativa "B".
1)
O conde não encontra a princesa.
2)
A duquesa não foi a jardim.
3)
O rei não foi a caça.
4)
O duque não saiu do castelo.
QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS
Estruturas Lógicas
1. [Anal. Jud.-(Espec. Anal. Sist.)-(CAT)-(T1)-TJ-RJ/2012-FCC].(Q.33) O Congresso Triangular de determinada especialidade médica ocorre anualmente em uma dentre três cidades: Belo Horizonte, Rio de Janeiro ou São Paulo. Existem
duas regras para definir a sede do Congresso Triangular de determinado ano:
− uma mesma cidade não pode sediar o congresso em dois anos consecutivos;
− em qualquer período de cinco anos consecutivos, uma mesma cidade não pode sediar mais do que duas edições
do congresso.
Em 2007, a cidade de Belo Horizonte sediou o Congresso Triangular que, em 2012, ocorrerá no Rio de Janeiro. Em
2009, ele não aconteceu no Rio de Janeiro. Apenas com essas informações, pode-se concluir que, em 2010, o Congresso Triangular
a) certamente ocorreu no Rio de Janeiro.
b) certamente ocorreu em Belo Horizonte.
c) pode ter ocorrido no Rio de Janeiro ou em Belo Horizonte.
d) certamente ocorreu em São Paulo.
e) pode ter ocorrido no Rio de Janeiro ou em São Paulo.
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
2. [Téc. Bancário III-(Ár. Inform.)-(Desenv.)-(CA01)-(T1)BANESE/2012-FCC].(Q.38) A tabela a seguir mostra a situação dos quatro primeiros colocados em um campeonato de futebol faltando uma rodada para o seu término.
Colocação
Equipe
Pontos
Número de Vitórias
1ª
A
74
23
2ª
B
73
21
3ª
C
72
21
4ª
D
68
20
Prof. André Reis
4. [Auditor-Fiscal Trib. Munic. I-(Gestão Trib.)-(P1)-(CA01)(T1)-Pref. Munic.-SP/2012-FCC].(Q.49) As letras A, B, C, D,
E, F, G e H deverão ser distribuídas pelos oito quadrados
da figura abaixo, de modo que em cada quadrado seja
escrita uma única letra e todas as letras sejam escritas
uma única vez. Duas letras que ocupem posições consecutivas no alfabeto (por exemplo, A e B, ou ainda, F e
G) não poderão ser escritas em quadrados ligados por
uma linha.
Na última rodada, acontecerão os seguintes jogos:
Equipe A x Equipe B
Equipe C x Equipe D
O campeão será o time que tiver conquistado o maior
número de pontos no campeonato. Em caso de empate
nesse critério, o campeão é aquele com o maior número de vitórias. Em cada jogo, uma equipe ganha 3 pontos em caso de vitória, 1 ponto em caso de empate e 0
ponto em caso de derrota. Em relação às chances de
cada equipe sagrar-se campeã, considere as afirmativas abaixo.
I. Se a equipe A vencer ou empatar sua partida, será a
campeã. Caso contrário, não leva o título.
II. Se a equipe B vencer sua partida, será a campeã. Caso contrário, não leva o título.
III. Se a equipe C vencer sua partida e as equipes A e B
empatarem seu jogo, C será a campeã. Caso contrário,
não leva o título.
Está correto o que se afirma em
a) I e II, apenas.
b) II e III, apenas.
c) II, apenas.
d) III, apenas.
e) I, II e III.
3. [Auditor-Fiscal Trib. Munic. I-(Gestão Trib.)-(P1)-(CA01)(T1)-Pref. Munic.-SP/2012-FCC].(Q.48) Arlete e Salete são
irmãs gêmeas idênticas, mas com uma característica
bem diferente: uma delas só fala a verdade e a outra
sempre mente. Certo dia, um rapaz que não sabia qual
das duas era a mentirosa perguntou a uma delas: "Arlete
é mentirosa?". A moça prontamente respondeu: "Sim".
Analisando somente a resposta dada, o rapaz pôde
concluir que havia se dirigido a
a) Arlete, e que ela era a irmã mentirosa.
b) Arlete, e que ela não era a irmã mentirosa.
c) Arlete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa.
d) Salete, e que ela não era a irmã mentirosa.
e) Salete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa.
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Nessas condições, para que o problema possa ser resolvido, no quadrado destacado pelo sombreado
a) poderá ser escrita a letra A ou a letra H.
b) poderá ser escrita a letra B ou a letra G.
c) poderá ser escrita a letra C ou a letra F.
d) deverá, necessariamente, ser escrita a letra A.
e) deverá, necessariamente, ser escrita a letra D.
5. [Auditor-Fiscal Trib. Munic. I-(Gestão Trib.)-(P1)-(CA01)(T1)-Pref. Munic.-SP/2012-FCC].(Q.50) Para a prova final
de um concurso de televisão, serão colocadas 20 caixas
no palco, numeradas de 1 a 20. Em cada caixa, haverá
uma pista diferente, que ajudará a desvendar o enigma
da noite. Um a um, os 20 concorrentes serão sorteados
para ter acesso às pistas, de acordo com a seguinte regra:
− o 1º sorteado lerá as pistas das caixas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20,
− o 2º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 2, 4, 6, 8,
10, 12, 14, 16, 18 e 20,
− o 3º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 3, 6, 9,
12, 15 e 18,
− o 4º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 4, 8, 12,
16 e 20,
− o 5º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 5, 10, 15
e 20,
− o 6º sorteado lerá apenas as pistas das caixas 6, 12 e
18, e assim sucessivamente, até o 20º sorteado, que só
lerá a pista da caixa 20.
Algumas pistas serão lidas por um número par de concorrentes e as demais serão lidas por um número ímpar
de concorrentes. A quantidade de pistas lidas por um
número ímpar de concorrentes é
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
Prof. André Reis
a) 4.
b) 5.
c) 7.
d) 8.
e) 10.
9. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.21)
Durante um almoço, três amigas escreveram, ao mesmo
tempo, as seguintes frases em seus respectivos diários:
6. [Assist. Adm. Jr.-(C34)-(T1)-METRÔ-SP/2012-FCC].(Q.40)
Três técnicos da Cia. do Metropolitano de São Paulo −
Aurélio, Dante e Jorge − trabalham nas Linhas 1, 2 e 3,
onde atuam nas áreas Administrativa, de Manutenção e
de Segurança, não respectivamente. Considere as seguintes informações:
Júlia → Ontem foi segunda-feira, mas amanhã será terça.
Paula → Hoje é sexta-feira e ontem foi domingo, mas
amanhã será quarta-feira.
− Jorge trabalha na área de Segurança;
− o que trabalha na Linha 1 atua na área de Manutenção;
− Aurélio não trabalha na Linha 3 e não trabalha na área Administrativa.
Com base nessas informações, é correto afirmar que o
técnico que trabalha na Linha 1 e aquele que atua na
área Administrativa são, respectivamente,
a) Aurélio e Jorge.
b) Aurélio e Dante.
c) Jorge e Dante.
d) Jorge e Aurélio.
e) Dante e Jorge.
7. [Ag. Fiscal. Financ.-(CAF)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.22)
Um homem e uma mulher estão postados de costas um
para o outro. O homem voltado para o SUL e a mulher
para o NORTE. A mulher caminha 5 metros para o NORTE, gira e caminha 10 metros para o OESTE, gira e caminha 15 metros para o SUL, gira e caminha 20 metros para
o LESTE. O homem caminha 10 metros para o SUL, gira e
caminha 20 metros para o LESTE, gira e caminha 30 metros para o NORTE, gira e caminha 40 metros para o OESTE. A partir dessas informações, a distância entre a reta
que representa a trajetória LESTE, da mulher, e a reta
que representa a trajetória OESTE, do homem, é, em metros, igual a
a) 10.
b) 20.
c) 30.
d) 35.
e) 40.
Luíza → Hoje é terça-feira, mas ontem foi quinta.
Apesar de as frases serem inconsistentes como um todo,
cada amiga registrou exatamente uma informação correta em seu diário. Desse modo, o almoço ocorreu numa
a) segunda-feira.
b) terça-feira.
c) quarta-feira.
d) quinta-feira.
e) sexta-feira.
10. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.23)
De acordo com as regras do campeonato mundial de
certa modalidade, o troféu é de posse transitória, isto é,
a seleção vencedora de uma edição do campeonato
manterá o troféu em seu poder apenas até a próxima edição, quando ele será transferido à nova campeã. Somente quando uma seleção vencer, no total, cinco edições do torneio, ela terá direito à posse definitiva do troféu. Se todos os títulos desse campeonato ficarem restritos a apenas quatro seleções diferentes, então o número máximo de edições que deverão ser disputadas até
que uma das quatro conquiste a posse definitiva do troféu é igual a
a) 6.
b) 16.
c) 17.
d) 20.
e) 21.
Instruções: Para responder às questões de números 11 e
12, considere as informações a seguir.
No jogo do "liga-pontos", dois jogadores, de maneira alternada, vão unindo os pontos de uma malha quadriculada por meio de linhas retas horizontais ou verticais. Cada
linha deve ligar dois pontos adjacentes da malha, como
exemplificado na figura, em que já foram traçadas sete
linhas retas.
8. [Ag. Fiscal. Financ.-(CAF)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.30)
O sábio sabe que nem tudo sabe. O tolo sabe menos do
que o sábio sabe. Então, a partir dessas afirmações, é
verdade que
a) Os tolos nada sabem.
b) Alguns tolos sabem mais do que todos os sábios.
c) O tolo sabe tudo o que sabe.
d) O tolo pode saber que nem tudo sabe.
e) O sábio não sabe o que o tolo sabe.
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Quando um quadrado pequeno da malha é cercado
por quatro linhas retas, diz-se que uma casa foi fechada.
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
11. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.24)
Considere uma malha quadriculada que possua n linhas
e n colunas de pontos, como mostrado na figura.
Prof. André Reis
13. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.26)
Para escolher a roupa que irá vestir em uma entrevista de
emprego, Estela precisa decidir entre uma camisa branca e uma vermelha, entre uma calça azul e uma preta e
entre um par de sapatos preto e outro azul. Quatro amigas de Estela deram as seguintes sugestões:
Amiga 1 → Se usar a calça azul, então vá com os sapatos azuis.
Amiga 2 → Se vestir a calça preta, então não use a camisa branca.
Amiga 3 → Se optar pela camisa branca, então calce os
sapatos pretos.
Amiga 4 → Se escolher a camisa vermelha, então vá
com a calça azul.
Sabendo que Estela acatou as sugestões das quatro amigas, conclui-se que ela vestiu
O número total de casas que podem ser fechadas nessa
malha é dado por
a) a camisa branca com a calça e os sapatos azuis.
b) a camisa branca com a calça e os sapatos pretos.
c) a camisa vermelha com a calça e os sapatos azuis.
d) a camisa vermelha com a calça e os sapatos pretos.
e) a camisa vermelha com a calça azul e os sapatos pretos.
14. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.28)
Em uma empresa, todo diretor tem direito a plano de saúde
executivo e metade dos funcionários do setor de vendas
também tem esse direito. Além disso, todos os funcionários do setor de vendas usam carro da frota da empresa
para trabalhar. Sabendo que nenhum funcionário dessa
empresa pode se tornar diretor se não falar inglês, conclui-se que, necessariamente,
a) (n −1) × (n − 1).
b) n × n.
c) (n + 1) × (n + 1).
n n
d) × .
2 2
⎛n ⎞ ⎛n ⎞
e) ⎜ + 1⎟ × ⎜ + 1⎟
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
12. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.25)
Em uma malha quadriculada de 16 pontos como a da
figura, o número máximo de linhas que podem ser desenhadas simultaneamente sem que nenhuma casa seja
fechada é igual a
a) algum funcionário da empresa que usa carro da frota
tem direito a plano de saúde executivo.
b) todo funcionário dessa empresa que fala inglês tem
direito a plano de saúde executivo.
c) no setor de vendas dessa empresa existe pelo menos
um funcionário que é diretor.
d) existem diretores nessa empresa que usam carro da
frota para trabalhar.
e) pelo menos 50% dos funcionários do setor de vendas
dessa empresa não falam inglês.
15. [Aux. Fiscal. Financ.II-(CAU)-(T1)-TCE-SP/2012-FCC].(Q.30)
Leia a manchete a seguir.
Cada uma das 32 seleções que participarão da Copa
do Mundo de 2014 terá de escolher uma única dentre as
12 cidades sedes para se concentrar ao longo de todo o
torneio.
Considerando o conteúdo da manchete, conclui-se que,
necessariamente,
a) algumas cidades serão escolhidas por duas e outras
por três seleções.
b) todas as cidades sedes terão de receber pelo menos
uma seleção.
c) alguma cidade sede não será escolhida por nenhuma
das 32 seleções.
d) pelo menos uma cidade sede será escolhida por mais
de duas seleções.
e) nenhuma cidade sede poderá receber mais do que
três seleções.
a) 16.
b) 17.
c) 18.
d) 19.
e) 20.
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20
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Raciocínio Lógico
Teoria e Questões por Tópicos
Prof. André Reis
GABARITOS (107 QUESTÕES)
1
ESTRUTURA LÓGICAS / OPERAÇÕES LÓGICAS.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
C A E
B A B C D B C A D C A D E D C D C E C A D
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
A C A C A D E
E A E D
2
1
E
RACIOCÍNIO SEQUENCIAL
2
C
3
B
4
E
5
C
6
D
7
C
8
B
9
C
10
A
3
1
D
4
11
E
12
C
13
D
14
D
15
B
16
E
17
B
18
D
19
E
20
D
RACIOCÍNIO VERBAL
2
E
3
A
4
C
5
C
6
D
7
D
8
A
RACIOCÍNIO MATEMÁTICO
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
E
E C B D A C D E A E
B C B A D B
B C A D A E
B
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
C E
B D D B
B
E A E C C C E C E
E D D B
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