Autorreguladas - 7º ano

Matemática
Aluno
Caderno de Atividades
Pedagógicas de
Aprendizagem
Autorregulada - 03
7° Ano | 3° Bimestre
Disciplina
Curso
Bimestre
Ano
Matemática
Ensino Fundamental
3°
7° Ano
Habilidades Associadas
1. Resolver equações do 1º grau por meio de estimativas mentais, balanceamento e operações inversas.
2. Resolver problemas significativos utilizando equações do 1º grau.
3. Identificar diferentes tipos de quadriláteros e triângulos.
4. Compreender e aplicar o conceito de área de uma figura plana.
Apresentação
A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o
envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem
colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes
preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado.
A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma
estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas
competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma,
por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da
contemporaneidade, na vida pessoal e profissional.
Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das
habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas.
Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na
medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem.
Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também,
equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar
consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática.
Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior domínio
daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o
desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da
autorregulação.
Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para
o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-aconhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser.
A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da
Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual.
Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os
professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas.
Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer
esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material.
Secretaria de Estado de Educação
2
Caro aluno,
Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas
habilidades e competências do 3° Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática da 7° Ano
do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o período de
um mês.
A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas Atividades de forma
autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas de
conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso.
Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e independência
indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do conhecimento do
século XXI.
Neste Caderno de Atividades, vamos aprender o que é equação do 1° grau e suas
aplicações. Na parte geométrica estudaremos sobre perímetros, soma de ângulos internos e
as propriedades de triângulos e quadriláteros. Vamos aprender ainda um pouco mais sobre
as áreas de algumas figuras planas.
Este documento apresenta 3 (três) aulas. As aulas são compostas por uma explicação
base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas às
habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas.
Leia o texto e, em seguida, resolva as Atividades propostas. As Atividades são referentes a
dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõe-se, ainda, uma pesquisa e uma
avaliação sobre o assunto.
Um abraço e bom trabalho!
Equipe de Elaboração
3
Sumário
Introdução ...................................................................................................
03
Aula 01: Expressão numérica, algébrica e equação ....................................
05
Aula 02: Valor numérico de uma equação ..................................................
11
Aula 03: Problemas que envolvem equação do 1° grau ..............................
17
Aula 04: Triângulos ......................................................................................
22
Aula 05: Quadriláteros .................................................................................
28
Aula 06: Áreas de figuras planas ..................................................................
37
Avaliação .....................................................................................................
45
Pesquisa........................................................................................................
48
Referências: .................................................................................................
49
4
Aula 1: Expressão Numérica, Algébrica e Equação
Caro aluno, certamente você já teve contato com exercícios que tinham como título
“determine o número desconhecido” ou “ache o valor de x”. Esses exercícios geralmente
estão relacionados a situações-problemas nas quais a situação é expressa por uma
linguagem matemática. Nesta aula vamos dar ênfase a esta linguagem, a forma algébrica
de descrever uma situação. Você vai compreender o significado da representação de um
número por uma letra e aprender o conceito de variável.
Esperamos que, ao final dessa aula, você tenha ampliado seus conhecimentos
matemáticos, sendo capaz de resolver situações em que números estejam representados
por letras.
Vamos iniciar o nosso estudo explicando a diferença entre expressão e equação.
1 – EXPRESSÃO NUMÉRICA E EXPRESSÃO ALGÉBRICA:
Você sabia que temos dois tipos de expressões? Algumas começamos a estudar lá
no 6°ano, são as expressões numéricas. Você se lembra? Então, vamos relembrar esta
expressão, e aprender um novo tipo, as expressões algébricas.
1.1 – EXPRESSÃO NUMÉRICA:
Uma expressão numérica é uma seqüência de números que aparecem associados
por operações que devem ser efetuadas obedecendo-se a seguinte ordem:
 Potenciações e radiciações (se houver).
 Multiplicações e divisões (se houver).
 Adições e subtrações.
EXEMPLO 01:
42 + 2 - 3 x 2 =
16 + 2 – 6 =
18 – 6 =
12.
5
Algumas expressões numéricas podem aparecer com parênteses, colchetes e
chaves, você se lembra? Neste caso, basta efetuar as operações obedecendo a seguinte
ordem:

Parênteses  ()

Colchetes  [ ]

Chaves  { }
EXEMPLO 02:
5 + { 40 – [ 3 x 4 + ( 42 + 2) ] } =
5 + { 40 – [ 3 x 4 + ( 16 + 2) ] } =
5 + { 40 – [ 3 x 4 + 18 ] } =
5 + { 40 – [ 12 + 18 ] } =
5 + { 40 – 30 } =
5 + 10 =
15.
1.2 – EXPRESSÃO ALGÉBRICA:
Uma expressão algébrica é a expressão que envolve números e letras. Vamos
entender melhor o que é uma expressão algébrica, observando o exemplo abaixo:
EXEMPLO 03:
Uma fábrica de motocicletas
produz 25 motocicletas por hora.
Durante o dia um funcionário da fábrica
é encarregado de anotar a quantidade
de motocicletas produzidas no decorrer
das horas.
A
princípio,
o
funcionário
anotava a quantidades de motocicletas
Fonte: http://carros.uol.com.br/motos/noticias
produzidas a cada hora, conforme
tabela a seguir:
6
Produção de Motocicletas
Tempo
(horas)
Quantidade
(nº de motocicletas)
1
1 x 25 = 25
2
2 x 25 = 50
3
3 x 25 = 75
4
4 x 25 = 100
...
...
O número de horas vezes
25 é a quantidade de
motocicletas produzidas
nesse tempo.
Então o funcionário descobriu que ele poderia utilizar letras para representar os
números.
Se eu utilizar a letra t para o número de
horas, a quantidade de motocicletas
produzidas neste tempo será 25 . t .
A expressão 25 . t ou 25t representa a quantidade de motocicletas produzidas em t
horas. A expressão 25 . t ou 25t denomina-se expressão algébrica e a letra t representa
uma variável.
Uma expressão que envolve números, letras e a operação indicada entre eles, é
chamada de expressão algébrica.
As letras são denominadas as variáveis da expressão algébrica.
Vamos ver alguns exemplos de como podemos escrever uma expressão
matemática:
EXEMPLO 04:
 X – 5 significa:
A diferença entre um número qualquer e 5;
Um número qualquer diminuído de 5;
X é a variável.
5 unidades a menos que um número qualquer.
7
 2 . K ou 2K significa:
O produto de 2 por um número qualquer;
O dobro de um número qualquer;
K é a variável.
Um número par.

significa:
Um número qualquer dividido por 4;
O quociente de um número qualquer por 4;
Y é a variável.
A quarta parte de um número qualquer.
2 – EQUAÇÃO:
Uma equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões
matemáticas.
Numa equação, a letra é chamada de incógnita.
Para você entender melhor o que é uma equação, vamos começar pelo exemplo da
balança, repare só:
Você pode ver na figura acima que a balança está em equilíbrio. Então, podemos
dizer que os dois lados da balança têm o mesmo valor.
No primeiro prato temos 3 + 1 + 5x, e no segundo prato temos 8 + 5 + 2x. Logo, se
os pratos estão em equilíbrio, podemos dizer que 4 + 5x = 13 + 2x.
A expressão algébrica 4 + 5x = 13 + 2x é uma equação e x é a incógnita.
Nesta equação, x representa o valor da massa de cada bolinha.
8
Cada prato da balança representa um membro da equação: 4 + 5x é o 1º membro e
13 + 2x é o 2º membro.
O valor da letra que torna a sentença verdadeira é chamado de raiz da equação. No
entanto, este assunto estudaremos na próxima aula.
Agora vamos ver outro exemplo: 4y - 2 = y + 7.
Neste exemplo, 4y – 2 é o 1º membro e y + 7 é o 2º membro. A incógnita é a letra y.
Agora chegou a hora de testamos o que você aprendeu. Vamos lá?
Atividade 1
01. Classifique as expressões abaixo em numéricas (N) ou algébricas (A):
a) 3x + 5
( )
b)
( )
+2.5
c) 4 . 2 – 5 . 3
( )
d)
( )
+
e) 5a – 4 + 3a . 2
( )
02. Siga o exemplo e escreva o significado de cada expressão algébrica abaixo:
a) 2Z – 10 → O dobro de um número qualquer menos 10.
b) 5X + 2 →
c) 7 + 3K →
d) 4Y - 6 →
e)
+ 12 →
03. Escreva as expressões algébricas que representam os perímetros das figuras planas
abaixo:
9
04. Escreva abaixo a equação cuja incógnita é a letra z, o 1º membro e o triplo de um
número qualquer mais 15 e o 2º membro é a metade de um número qualquer menos 12:
05. Determine o número real "a" que torna as expressões 3a + 6 e 2a + 10 iguais:
10
Aula 2: Valor Numérico de uma Equação.
Agora que você já aprendeu o que é uma equação e consegue reconhecer seus
termos, chegou a hora de aprender a calcular a raiz da equação de 1º grau. Como a
equação é uma igualdade, você aprenderá a calcular, de forma prática, o valor que torna
essa igualdade verdadeira.
1 – RESOLVENDO EQUAÇÕES DO 1º GRAU:
O processo para a resolvermos a equação do 1º grau está baseado nas propriedades
das igualdades.
1ª Propriedade:
Podemos somar ou subtrair um mesmo número dos dois membros da igualdade, tornando
a sentença equivalente, ou seja, deixando os dois membros com o mesmo valor. Vamos ver
os exemplos abaixo:
a) x – 4 = 7 →
No 1º membro devemos deixar somente as incógnitas. Para isso, devemos
eliminar os números que aparecem neste membro, utilizando os seus
inversos. Neste exemplo, o número que aparece no 1º membro é o  4.
Para eliminarmos o  4, devemos utilizar o seu inverso (+4) nos dois
membros.
x–4+4=7+4
x=7+4
x = 11
b) x + 5 = 12 → Agora, o número que aparece no 1º membro é o +5. Para eliminarmos o
+5, devemos utilizar o seu inverso (-5) nos dois membros.
x + 5 - 5 = 12 - 5
x = 12 - 5
x=7
11
Baseados nessa propriedade, concluímos que podemos passar um termo de um
membro para outro, desde que o sinal desse termo seja trocado.
EXEMPLO 01:
a) x – 4 = 7 → Passaremos o  4 para o 2º membro, com sinal (+).
x=7+4
x = 11
b) x + 5 = 12 → Passaremos o +5 para o 2º membro, com sinal ().
x = 12 - 5
x=7
2ª Propriedade:
Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma igualdade por um número
diferente de zero, obtendo assim uma sentença equivalente. Veja nos exemplos abaixo:
Exemplo1:
4 x = 20 → Observe que no 1º membro, a incógnita está sendo multiplicada por 4. Então
devemos dividir (operação inversa da multiplicação) os dois membros por 4 e
assim, obtermos o valor de x.
=
x = 20 ÷ 4
x=5
EXEMPLO 02:
= 7 → Observe que no 1º membro, a incógnita está sendo dividida por 3. Então
devemos multiplicar (operação inversa da divisão) os dois membros por 3 e
assim, obtermos o valor de x.
.3 =7.3
x=7.3
x = 21
12
Considerando esta propriedade, concluímos que para acharmos o valor de x,
podemos passar um termo de um membro para outro, desde que o sinal desse termo seja
trocado pela sua operação inversa.
EXEMPLO 03:
4x = 20 → Como o número 4 está multiplicando o x, ele irá para o 2º membro, realizando
a operação inversa da multiplicação, ou seja, a divisão.
x = 20 ÷ 4
x=5
EXEMPLO 04:
= 7 → Como o número 3 está dividindo a variável x, ele irá para o 2º membro, realizando
a operação inversa da divisão, ou seja, a multiplicação.
x=7.3
x = 21
2 – MÉTODO PRÁTICO PARA RESOLVER EQUAÇÕES:
Para resolver equação do primeiro grau através do método prático, você deverá
seguir algumas etapas.
1ª Etapa: Isolar no 1º membro as incógnitas (os termos que usam letras) e no 2º membro
os membros que não apresentam letras. Não esquecendo que quando um termo muda de
um membro para outro, inverte-se a operação!
2ª Etapa: Depois que os termos foram isolados, você deverá reduzir os termos
semelhantes, ou seja, realizar as operações matemáticas de cada membro.
3ª Etapa: Devemos dividir ambos os membros pelo coeficiente de x, ou seja, pelo número
que está multiplicando x no 1º membro.
13
EXEMPLO 05:
6x – 8 = 4 x + 16
1ª etapa:
6x – 4x = 16 + 8
2ª etapa:
2x = 8
3ª etapa:
x=8÷2
x=4
EXEMPLO 06:
8x – 3 + 5 = 11 + 5x
1ª etapa: 8x – 5x = 11 + 3 - 5
2ª etapa:
3ª etapa:
3x = 9
x=9÷3
x=3
EXEMPLO 07:
4 . (x + 5) = 12
Antes de realizarmos a 1º Etapa, precisaremos eliminar os parênteses: 4x + 20 = 3
1ª etapa:
2ª etapa:
3ª etapa:
4x = 12  20
4x =  8
x=8÷4
x=2
2.1 – EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS:
Quando a equação apresentar denominadores, a primeira coisa a ser feita antes de
darmos início às etapas, é eliminarmos os denominadores. Observe o exemplo para que
você possa aprender como fazer esta operação:
+
=5
Iremos dividir todos os denominadores por 6, que é o valor do m.m.c. entre 3 e 2.
Não devemos esquecer que mesmo quando não estamos vendo, o denominador 1 está lá.
14
+
=
6
6
→ Após a divisão, iremos multiplicar seus resultados por cada numerador.
6
+
=
→ Agora podemos eliminar os denominadores e dar início as etapas.
2x + 3x = 30
5 x = 30
x = 30 ÷ 5
x=6
Chegou a hora de ver se você entendeu direitinho tudo que acabamos de estudar
nesta aula. Vamos realizar nossas atividades?
Atividade 2
01. Ache a raiz de cada uma das equações abaixo:
a) 16 + 8m = 81 + 3m
b) 12x = 5x + 49
c) 20 – 8z = -19 – 21z
d) 5a – 6 = 2(a + 9)
e)
+
=
02. Observe o quadro abaixo e assinale o valor da incógnita que é solução de cada uma das
equações:
15
Equação
7a – 15 = a – 3a – 15
-2 . (y – 5) + 3y = –7y – (2 – 4y)
2
Solução da Equação
0
0,5
10
12
4
2
1,4
3
03. Sabendo que o perímetro da figura abaixo é 26 metros, calcule a medida do lado x.
04. Determine um número real “a” para que as expressões algébricas
e
sejam iguais.
05. Sendo os dois triângulos abaixo semelhantes, calcule as medidas dos lados
representados por x e 2x.
16
Aula 3: Problemas Envolvendo Equações do 1º Grau.
Agora que você já aprendeu a calcular a raiz de uma equação do primeiro grau,
chegou a hora de resolver problemas que envolvam essas equações.
Você estudará nesta aula como as equações de 1º grau estão diretamente ligadas
ao nosso cotidiano e como podemos utilizá-las para a resolução de muitos desses
problemas. Mas, para isso, você irá precisar seguir alguns passos. Então, vamos vê-los
através do nosso primeiro exemplo?
EXEMPLO 01:
Em uma turma,
dos alunos fazem aula de natação e 24 alunos treinam atletismo.
Quantos alunos há, ao todo, nessa turma?
1º Passo: Ler com atenção todo o problema e levantar dados.
O problema pede para encontrar um número que represente o quantitativo total de
alunos.
2º Passo: Traduzir o enunciado do problema para linguagem matemática.
Usaremos letras e símbolos. Indicaremos o número procurado pela letra “x” e
escrever a equação correspondente usando a incógnita “x” onde for necessário indicar o
número desconhecido. Como o problema está querendo saber quantos alunos há ao todo
na turma, então, chamaremos o número de alunos da turma de “x”
3º Passo: Resolver a equação encontrada.
Resolvendo a equação
, temos:
17
5
5
5
4º Passo: Analisar o resultado obtido e responder ao problema.
Nessa turma há ao todo 30 alunos.
EXEMPLO 02:
Um carpinteiro irá cortar uma tábua de 100 centímetros em duas partes. O
comprimento da parte maior deverá ser o triplo do comprimento da tábua menor.
Determine o comprimento de cada uma das partes.
1º Passo: O problema pede para encontrar o comprimento de cada parte da tábua, sendo
um o triplo do outro. Vamos representar o comprimento da parte menor por y e o
comprimento da parte maior por 3y.
2º Passo: Escrevendo a equação correspondente, teremos:
3º Passo: Resolver a equação y + 3y = 100, temos:
y + 3y = 100
4y = 100
18
y=
y = 25 → parte menor.
3y = 3 . 25 = 75 → parte maior.
4º Passo: Os comprimentos das partes da tábua são 25 cm e 75 cm.
EXEMPLO 03:
No estacionamento de um colégio há carros e motos num total de 38 veículos e 136
rodas. Quantos carros e quantas motos há neste estacionamento?
1º Passo: O problema pede para encontrarmos dois números (carros e motos).
Vamos chamar de x o número de carros.
Então, o número de motos será 38 – x.
2º Passo: Como cada carro tem 4 rodas e cada moto tem 2 rodas, escrevemos a equação
4 . x + 2 . ( 38 – x ) = 136
3º Passo: Resolvendo a 4x + 2(38 – x) = 136, temos:
4x + 76 – 2x = 136
4x – 2x = 136 – 76
2x = 60
x=
= 30

Número de carros = x  Número de carros = 30

Número de motos = 38 – x  Número de motos = 38 – 30 = 8
19
4º Passo: No estacionamento do colégio há 30 carros e 8 motos.
Que tal treinar os passos que você acabou de aprender e começar a resolver alguns
problemas? Então vamos lá!
Atividade 3
01 . Calcule a base e a altura do retângulo abaixo, sabendo que o perímetro da figura tem
70 cm e a sua altura mede da medida da base.
02. Somando 5 pontos ao dobro da nota de um aluno, o aluno fica com média 85. Quantos
era a nota do aluno?
03. Um aluno ganhou uma certa quantia da sua mãe. Gastou
lanche e
da quantia na compra do
na compra de material para realizar uma pesquisa. Depois das compras
percebeu que ainda havia sobrado R$ 25,00. Qual a quantia que o aluno ganhou da sua
mãe?
20
04. Uma escola recebeu 1.350 matrículas para o 6º, 7º e 8º Anos do Ensino Fundamental.
Foram 450 para o 6º Ano e para o 7º Ano, recebeu o dobro das matrículas do 8º Ano.
Quantos alunos se matricularam em cada Ano do Ensino Fundamental?
05. Num show de mágicas, um mágico chama uma pessoa da plateia e pede para que essa
pessoa pense em três números consecutivos cuja soma seja 1083. A pessoa pensa, e num
truque de telepatia o mágico afirma que os números pensados foram 360, 361 e 362. O
mágico acertou? Prove.
06. Rodrigo e Matheus estão preparando as figuras para ilustrar um trabalho. Rodrigo já
recortou 12 vezes a quantidade recortada por Matheus. Se cada um recortar mais 225
figuras, Rodrigo terá o triplo do que terá Matheus. Quantas figuras cada um já recortou?
21
Aula 4: Triângulos
Agora que já viu o conteúdo voltado de álgebra deste bimestre, que tal estudar um
pouco de geometria? Vamos começar com os triângulos. Nesta aula, você irá relembrar o
que é um triângulo e suas classificações. Irá também calcular perímetro dos triângulos e
realizar cálculos envolvendo seus ângulos. Então, vamos lá? Aproveite e bom estudo!
1 – DEFINIÇÃO:
Como você já sabe, triângulo é um polígono de três lados. Ele é formado por três
retas que se encontram duas a duas e nunca passam pelo mesmo ponto, formando assim,
três ângulos.
Observando o triângulo acima, podemos identificar alguns dos seus elementos:
 A, B e C são os vértices;
 Os lados do triângulo são simbolizados pelos segmentos de retas
ou
pelas letras minúsculas a, b, e c;
 Os ângulos podem ser representados de duas formas:
ou
.
22
2 – PERÍMETRO DE UM TRIÂNGULO:
Para realizar o cálculo do perímetro de um triângulo, basta fazer a soma da medida
de todos os seus lados.
Perímetro = 10 + 8 + 14 = 32 cm.
3 – TIPOS DE TRIÂNGULOS:
Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas dos seus dados ou
com as medidas dos sem ângulos internos.
4 – CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS LADOS:
Considerando as medidas dos lados de um triângulo, temos:
 TRIÂNGULO EQUILÁTERO: É o triângulo que tem os três lados congruentes, ou
seja, os três lados têm a mesma medida.
23
 TRIÂNGULO ISÓSCELES: É o triângulo que tem apenas dois lados
congruentes.
 TRIÂNGULO ESCALENO: É o triângulo que apresenta os três lados com
medidas diferentes.
5 – CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS:
Considerando as medidas dos ângulos internos de um triângulo, temos:
 TRIÂNGULO ACUTÂNGULO: É o triângulo que tem os três ângulos
internos agudos, ou seja, menores que 90o.
24
 TRIÂNGULO RETÂNGULO: É o triângulo que tem um ângulo interno reto,
ou seja, igual a 90o e os outros dois ângulos internos agudos, ou seja,
menores que 90o.
 TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO: É o triângulo que tem um ângulo interno
obtuso, ou seja, maior que 90o e os outros dois ângulos internos agudos, ou
seja, menores que 90o.
6 – CONDIÇÕES PARA A EXISTÊNCIA DE UM TRIÂNGULO:
Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir
a condição de existência, ou seja, para construir um triângulo é necessário que a medida de
qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o
valor absoluto da diferença entre essas medidas. Observe:
25
7 – RELAÇÃO ENTRE OS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO:
Em qualquer triângulo, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180 o. Se
as medidas dos três ângulos internos forem expressas pelas letras a, b e c, teremos: a + b +
c = 180o.
EXEMPLO 01:
Vamos exercitar um pouco sobre o que você acabou de aprender? Resolva as
atividades a seguir e qualquer dúvida retome os exemplos acima!
Atividade 4
01. Utilizando uma régua, faça as medidas necessárias nos triângulos abaixo e classifiqueos quanto à medida dos seus lados:
26
02. Agora classifique os mesmos triângulos, quanto à medida de seus ângulos internos:
03. Calcule o perímetro dos triângulos abaixo:
04. De acordo com a condição de existência de um triângulo, verifique se o triângulo abaixo
é verdadeiro:
05. Dois ângulos internos de um triângulo medem 35o e 55o. Qual a medida do terceiro
ângulo?
27
Aula 5 : Quadriláteros.
Na
aula
anterior,
estudamos
os
triângulos, nesta atividade vamos aprender um
pouco sobre os quadriláteros. Você irá relembrar
o que é um quadrilátero, como calcular o
perímetro e realizar cálculos envolvendo seus
ângulos internos. Então, vamos lá? Aproveite e
bom estudo!
1 – DEFINIÇÃO:
Quadrilátero é um polígono de quatro lados. É uma figura limitada por quatro retas
que formam entre si quatro ângulos.
Observando o quadrilátero acima, podemos identificar alguns dos seus elementos:
 Os pontos A, B, C e D são os vértices;
 Os lados do quadrilátero são simbolizados pelos segmentos de retas
 Os
ângulos
podem
ou
ser
representados
de
duas
formas:
.
28
2 – PERÍMETRO DE UM QUADRILÁTERO:
Para realizar o cálculo do perímetro de um quadrilátero, basta fazer a soma das
medidas de todos os seus lados. Observe o exemplo abaixo:
Perímetro = 12 + 3 + 10 + 5 = 30.
3 – QUADRILÁTERO CONVEXO E CONCAVO:
No quadrilátero ABCD a seguir, as retas
não cortam nenhum lado
do quadrilátero, então temos que ABCD é um quadrilátero convexo.
29
No quadrilátero ABCD abaixo, a reta
corta o lado
e a reta
corta o lado
ABCD é um quadrilátero côncavo.
4 – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS:
Os quadriláteros notáveis são aqueles que têm pelo menos um par de lados
paralelos. Observe as características abaixo e veja como identificá-los.
 PARALELOGRAMOS: É quadrilátero que tem lados opostos paralelos.
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 LOSANGO: Ele tem 4 lados congruentes, ou seja lados com a mesma medida.
Na figura:
 RETÂNGULO: É o quadrilátero que tem 4 ângulos de 90° graus.
 QUADRADO: É o quadrilátero que possui quatro lados congruentes e quatro
ângulos retos.
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 TRAPÉZIO: O trapézio é o quadrilátero que tem apenas dois lados opostos
paralelos. Eles recebem os nomes de acordo com os triângulos que tem
características semelhantes, veja os triângulos e em seguida os trapézios e faça a
relação no esquema abaixo.
A  TRAPÉZIO RETÂNGULO: Tem dois ângulos retos, e um par de lados
paralelos
.
Como no triângulo acima, podemos notar que a uma certa semelhança entre o
triângulo e o trapézio.
B TRAPÉZIOS ISÓSCELES: Os lados não paralelos são congruentes
.
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C  TRAPÉZIO ESCALENO: É um trapézio não tem lados congruentes,
.
5 – RELAÇÃO ENTRE OS ÂNGULOS INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO:
Em qualquer quadrilátero, a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 360o.
Se as medidas dos quatros ângulos internos forem expressas pelas letras,
teremos:
= 360o.
,
Observe o desenho abaixo para que você possa
compreender melhor.
Para que possamos entender melhor a soma dos ângulos internos dos quadriláteros
vamos ver acima, que se traçarmos uma diagonal, nós teremos dois triângulos. Como a
soma dos ângulos internos do triângulos é 180°, tendo dois vamos ter: 180° + 180° = 360°
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EXEMPLOS 01:
Vamos exercitar um pouco sobre o que você acabou de aprender? Resolva as
atividades a seguir e qualquer dúvida retome os exemplos acima!
Atividade 5
01. Classifique os quadriláteros de acordo com as informações acima:
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02. Determine os perímetros dos quadriláteros abaixo:
03. Se o perímetro do quadrilátero abaixo for 40 cm, encontre o valor de x na figura.
04. Sabendo que a soma dos ângulos internos dos quadriláteros é 360°. Encontre o valor de
x nas figuras:
a)
35
b)
c)
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Aula 6: Áreas de figuras planas.
Caro aluno, nessa aula nós iremos fazer uma breve revisão sobre áreas e,
acrescentaremos algumas novas áreas para ampliarmos nosso conhecimento.
Também iremos ver a importância deste assunto em nossas vidas, vamos aprender
a sua importância e conhecer algumas aplicações em nosso cotidiano. No entanto, temos
que ler todas as informações abaixo com muita atenção e tentar resolver todos os desafios.
Boa aula!!
1 – RECORDANDO ÁREAS:
Como já foi dito acima, vamos fazer uma breve revisão das áreas de retângulo e
quadrado . Você se lembra como calculá-las?
Qualquer que seja o retângulo ou quadrado nós iremos usar essas fórmulas para
encontrar a região limitada por essas figuras.
EXEMPLO 01 :
Calcule as áreas das figuras abaixo:
a)
Resolução:
Área = b x h, substituindo os valores na
fórmula, teremos:
Área = 12 x 2 = 24 cm²
37
b)
Área = a², substituindo.
Área = 5² = 5 x 5 = 25 m²
2 – ÁREA DO PARALELOGRAMO:
Considere o paralelogramo ABCD:
Qualquer segmento perpendicular a uma base, com uma extremidade nela e a
outra extremidade na reta suporte da base oposta, é chamada de altura do paralelogramo.
Vamos considerar os segmentos paralelos
e
como bases. E o segmento
a altura
do paralelogramo.
Observe que a área do paralelogramo é calculada como a do retângulo.
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EXEMPLO 02 :
Resolução:
Para calcular a área do paralelogramo basta substituir os valores indicados como
base e altura. Observe os cálculos:
Área = b x h
Área = 15 x 6 = 90 cm²
3 – ÁREA DO TRIÂNGULO:
Observe triângulo abaixo ABC, veja como encontrar a sua área.
Qualquer segmento de reta com as extremidades em um vértice e na reta de
suporte do lado oposto a esse vértice, e que é perpendicular a essa reta, é chamada de
altura do triângulo.
No triângulo acima considere o segmento
como a base e
a altura do
triângulo. Veja em seguida como calcular a sua área.
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Com base na área do paralelogramo podemos ver que com esses dois triângulos
podemos formar um paralelogramo. Assim para encontrar a área do triangulo basta
multiplicar a base b pela altura h e dividir por 2.
EXEMPLO 03:
Resolução:
Vamos observar nesse exemplo que como feito acima nos anteriores, basta
substituir na formula a base e a altura, mas nesse caso temos que depois que multiplicar
dividir por dois.
Área =
Área =
Área =
= 12 cm²
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4 – ÁREA DO LOSANGO:
Considere o losango abaixo:
Nesse losango indicamos D a diagonal maior e d a menor. Para calcular a superfície
da figura acima vamos analisar o esquema abaixo e descobrir.
Se analisarmos bem essa representação, podemos ver que o losango formado
acima é a metade do retângulo, e suas diagonais estão no mesmo lugar que a base e a
altura. Por isso temos a formula acima.
EXEMPLO 04:
Resolução:
Área =
, substituindo os valores indicados pelas
diagonais, vamos ter.
Área =
Área =
Área = 12 m²
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5 – ÁREA DO TRAPÉZIO:
Considere o trapézio ABCD abaixo.
Nele, os lados paralelos
e
, são as bases do trapézio sendo
a maior e
a
menor.
Qualquer segmento que tem extremidades em uma das bases e na reta suporte da
outra, e é perpendicular a elas, é chamado de altura do trapézio. Observe que o segmento
é a altura do trapézio ABCD.
Agora veja como encontramos a formula do trapézio.
Para calcular a fórmula do trapézio temos que somar as bases, em seguida
multiplicar pela altura e no fim dividir por dois.
EXEMPLO 05:
Resolução:
Substituindo os valores indicados na
fórmula vamos ter.
Área =
Área =
Área =
Área =
= 15 cm²
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Atividade 6
01. Calcule a área das regiões abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
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f)
02. A área do paralelogramo abaixo é de 40 m², então qual é o valor de x na figura.
03. A área do quadrado abaixo é 25 cm², então calcule o lado do quadrado e em seguida
calcule o perímetro.
04. No triângulo a área é calculada da seguinte forma A =
, sendo assim qual é a base do
triângulo que a área é de 20 cm² e altura 5 cm.
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Avaliação
Caro aluno, chegou a hora de avaliar tudo o que nós estudamos nas aulas
anteriores. Leia atentamente cada uma das questões e faça os cálculos necessários. Vamos
lá, vamos tentar?
01. Determine o número real "a" que torna as expressões 3a + 8 e a + 12 iguais:
02. A Ache a raiz de cada uma das equações abaixo:
a) 8 + 4m = 40 + 2m
b) 10x = 5x + 50
03. Somando 5 anos ao dobro da idade de um aluno obtemos 35. Quantos anos tem esse
aluno?
04. Dois ângulos internos de um triângulo medem 30o e 60o. Qual a medida do terceiro
ângulo?
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05. Sabendo que a soma dos ângulos internos do quadrilátero é 360°, calcule x na figura
abaixo:
06. Encontre o perímetro das figuras abaixo:
46
07. Calcule as áreas das figuras planas:
a)
b)
c)
d)
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Pesquisa
Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 3°
bimestre, é hora de discutir um pouco sobre a importância deles na nossa vida. Então,
vamos lá?
Iniciamos este estudo, conhecendo a equação do 1° grau e suas aplicações. Depois,
trabalhamos com perímetros, soma de ângulos internos e propriedades de triângulos e
quadriláteros. Em seguida vimos áreas de figuras planas.
Agora, leia atentamente as questões a seguir e através de uma pesquisa responda
cada uma delas de forma clara e objetiva.
ATENÇÃO: Não se esqueça de identificar as Fontes de Pesquisa, ou seja, o nome dos livros
e sites nos quais foram utilizados.
I – Apresente alguns exemplos de situações reais nas quais podemos encontrar a equação
do 1° grau, e explique em que este exemplo irá nos ajudar a entender esse conceito?
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__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
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II – Agora que estudamos o conteúdo de áreas de figuras planas, faça uma planta baixa da
casa em que você mora, para em seguida calcular a área de cada cômodo dessa planta
utilizando essas medidas.
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( ATENÇÃO: Fazer esta parte da atividade em uma folha separada! )
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Referências
[1] Bianchini, Edwaldo. Matemática. 6 ed. São Paulo: Moderna, 2006.
[2] Bosquilha, Alessandra. Mini-manual compacto de matemática: teoria e Prática. 2 ed.
São Paulo: Rideel, 2003.
[3] Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. Volume 1, 3ed. São Paulo: Ática, 2003.
[4] Ferreira, Marcus Vinicius Reis. Geometria Analítica e Espacial. 1 ed. Rio de Janeiro,
2004.
[5] Giovanni, José Ruy, 1937 – A conquista da matemática. Volume 1, Edição renovada. São
Paulo: FTD, 2007.
[6] Matemática e realidade: 7° ano/ Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. – 6. ed.
– São Paulo: Atual, 2009.
[7] Bianchini, Edwaldo. Matemática: Bianchini/ Edwaldo Bianchini – 7. Ed. – São Paulo:
Moderna, 2011.
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Equipe de Elaboração
COORDENADORES DO PROJETO
Diretoria de Articulação Curricular
Adriana Tavares Mauricio Lessa
Coordenação de Áreas do Conhecimento
Bianca Neuberger Leda
Raquel Costa da Silva Nascimento
Fabiano Farias de Souza
Peterson Soares da Silva
Ivete Silva de Oliveira
Marília Silva
COORDENADORA DA EQUIPE
Raquel Costa da Silva Nascimento
Assistente Técnico de Matemática
PROFESSORES ELABORADORES
Ângelo Veiga Torres
Daniel Portinha Alves
Fabiana Marques Muniz
Herivelto Nunes Paiva
Izabela de Fátima Bellini Neves
Jayme Barbosa Ribeiro
Jonas da Conceição Ricardo
Reginaldo Vandré Menezes da Mota
Tarliz Liao
Vinícius do Nascimento Silva Mano
Weverton Magno Ferreira de Castro
Revisão de Texto
Isabela Soares Pereira
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