Disciplina de Álgebra I Unidade de Aprendizagem: A Lógica da

Credenciamento
Portaria MEC 3.613, de 08.11.2004 - D.O.U. 09.11.2004.
Disciplina de Álgebra I
Unidade de Aprendizagem: A Lógica da
Matemática, Caminhos, Grafos e
Algoritmos/Quest(ii)
Exercícios I
Construa a tabela-verdade de cada uma das proposições:
a) ~(~p ↔ q)
b) (p ˅ q) ˄ ~ (p ˄ q)
Construção de Tabelas-verdade
c) (p ˄ ~q) ˅ (~p ˄ q)
O valor verdade de proposições pode ser obtido via combinação de
conectivos. Assim como na linguagem, que é regida por algumas regras
de sintaxe, em lógica também devemos levar em conta determinadas
regras. Essas regras determinam cadeias válidas, também chamadas
fórmulas bem formadas (fbfs) ou wffs (well-formed formulas). As
expressões p˄q, ~~~p, ~p˅q→r são fórmulas. Mas, expressões do tipo
p˄, ↔z, não são fórmulas bem formadas.
Afim de reduzir o número de parênteses necessários em uma wffs,
estipulamos uma ordem na qual os conectivos são aplicados. Esta ordem
de precedência é:
d) (p →q) ˅ ~ (p ↔~q)
1. conectivos dentro dos parênteses, dos mais internos aos mais externos
2. ~
3. ˄, ˅
4. →
5. ↔
Isso quer dizer que a fórmula ~p˅q é o mesmo que (~p)˅q, o símbolo
de negação (~) seguido de uma letra proposicional sem parênteses referese somente à letra. Uma expressão do tipo q˅p→r˄s dá margem às
seguintes fórmulas proposicionais, utilizando-se os parênteses:
(q˅p)→(r˄s), q˅(p→(r˄s)), (q˅(p→r))˄s, q˅(p→r)˄s.
OBS: um alfabeto proposicional é composto por símbolos lógicos, que
são os conectivos (~,˅, ˄, →, ↔), por pontuação (,) e por símbolos nãológicos, que servem para representar as proposições.
As tabelas-verdade vistas na aula anterior (uma para cada conectivo)
permitem construir a tabela-verdade de qualquer proposição P(p, q, r, ...)
obtida a partir das proposições p, q, r, ... combinadas pelos conectivos já
conhecidos (~,˅, ˄, →, ↔),.
Complete a tabela verdade de cada uma das proposições:
a) ~p˄q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p˄q
F
F
V
F
~p
F
F
V
V
[CONFERIR EM AULA]
Tautologia ou Válida
Chama-se tautologia a proposição composta que sempre é verdadeira.
Na tabela-verdade de uma proposição tautológica, a coluna resultante
contém somente V (verdade). As tautologias também são denominadas
proposições logicamente verdadeiras.
Vamos verificar se a proposição “p ˅ ~p” é tautológica:
p
V
F
p ˅~p
V
V
~p
F
V
Contradição ou Contra-válida
Chama-se contradição a proposição composta que é sempre falsa. Ou
seja, a coluna resultante só tem F (falso). As contradições também são
denominadas proposições logicamente falsas.
Vamos verificar se a proposição “p ˄ ~p” é contraditória:
p
V
F
~p
F
V
p ˄ ~p
F
F
Contingência ou Indeterminada
Determina-se contingência a proposição composta que pode ser
verdadeira e pode ser falsa. Na tabela-verdade de uma proposição
contingencial, a coluna resultante contém a verdade (V) e a falsidade (F).
Vamos verificar se a proposição “~(p ˄ q) ˅ ~(q↔p)” é uma
contingência:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p˄q
V
F
F
F
~(p ˄ q)
F
V
V
V
q↔p
V
F
F
V
~(q↔p)
F
V
V
F
b) ~(p˄~q)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p˄~q
F
V
F
F
~(p˄~q)
V
F
V
V
C o m p l e x o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C a c h o e i r i n h a
Rua Silvério Manoel da Silva, 160 - CEP 94930000 - Cachoeirinha – RS - Tel/Fax. (51) 34418650 – www.cesuca.com.br – [email protected]
~(p ˄ q) ˅ ~(q↔p)
F
V
V
V
Credenciamento
Portaria MEC 3.613, de 08.11.2004 - D.O.U. 09.11.2004.
Exercícios II
1) Mostre que a proposição “p ˅ (p˄~q)” é uma contingência montando
toda a tabela-verdade.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p ˄~q
F
V
F
F
p ˅ (p˄~q)
V
V
F
F
Propriedades das implicações lógicas
1. Reflexiva: P  P
2. Transitiva: se P  Q e Q  R, então P  R
3. P  Q se, e somente se, a condicional P→Q é tautológica.

2) Mostre que a proposição composta “x = 5 ˅ (x = y ↔ x ≠ 5)” é uma
contingência montando toda a tabela-verdade.
x=5
x=y
x≠5
x=y↔x≠5
x = 5 ˅ (x = y ↔ x ≠ 5)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
3) Verificar se a proposição composta abaixo é uma tautologia,
contradição ou contingência:
“se Lucas é bom e Lucas é ruim, então Porto Alegre é a capital de Santa
Catarina, e Brasília é a capital do Brasil ou Brasília não é a capital do
Brasil” [CONFERIR EM AULA, NÃO SERÁ COBRADO NA
PROVA]
Agora verifique se p ˅ q  p ↔ q e justifique a sua
resposta.
Exercícios III
1) Verifique se a proposição A implica logicamente a proposição B.
A: Bruce Dickinson é vocalista e piloto particular em muitas turnês da
banda de heavy metal Iron Maiden.
B: Bruce Dickinson é vocalista ou piloto particular em muitas turnês da
banda de heavy metal Iron Maiden.
[CONFERIR EM AULA, NÃO SERÁ COBRADO NA PROVA]
2) Verifique se a proposição P: 24 = 16 e 42 = 16 implica logicamente a
proposição Q: 34 = 81 e 43 = 81.
[CONFERIR EM AULA, NÃO SERÁ COBRADO NA PROVA]
Implicação lógica (  )
Primeiramente, para que não haja confusão, o símbolo “→”
representa uma operação entre proposições resultando em uma nova
proposição, como já vimos. Por exemplo, operando a proposição P com
a proposição Q através do conectivo “→”, resultará na proposição P →
Q. O símbolo “  ” indica apenas uma relação entre duas proposições
dadas. A relação de implicação lógica entre as proposições p˄q e p˅q,
por exemplo, é dada por p˄q  p˅q.
Então, definindo uma implicação lógica, diz-se que uma proposição
P implica logicamente outra proposição Q quando, em suas tabelasverdade não ocorre VF nessa ordem em uma mesma linha. Em outras
palavras, P  Q se Q é verdadeira (V) todas as vezes que P é verdadeira
(V).
3) Mostre que “p ↔~q” não implica logicamente a proposição “p→q”.
Justifique sua resposta.
Ocorre VF na segunda linha, nas colunas resultantes das proposições
compostas. Portanto “p ↔~q” não implica “p→q”!
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p ↔~q
F
V
V
F
Por exemplo: vamos verificar se p  q→p.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q→p
V
V
F
V
Observe que para concluir se p  q→p, temos de analisar as colunas
em destaque, e logo notamos que “q→p” é verdadeira todas as vezes em
que “p” é verdadeira. Portanto, “p” implica logicamente “q”. Notamos
também que, comparando a primeira com a terceira coluna, não ocorreu
VF.
C o m p l e x o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C a c h o e i r i n h a
Rua Silvério Manoel da Silva, 160 - CEP 94930000 - Cachoeirinha – RS - Tel/Fax. (51) 34418650 – www.cesuca.com.br – [email protected]
p→q
V
F
V
V