8_Dotacao GABARITO - Departamento de Economia PUC-Rio

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
ECO 1113
TEORIA MICROECONÔMICA I N
PROFESSOR:
JULIANO ASSUNÇÃO
TURMA:
2JA
Comprando e Vendendo
1. Avalie se as afirmativas são verdadeiras ou falsas e justifique:
(a) Quando o preço de um bem varia, se os efeitos substituição e renda resultam em variações
na quantidade em sentidos opostos, tal bem será normal. Falso.
Eq. Slutsky:
renda, −x)
!"#
!$#
!"
!*
=
!"&
!$#
− x)
!"
!*
. O efeito substituição,
!"&
!$#
, é sempre negativo. O efeito
, também é negativo quando o bem é normal,
!"
!*
> 0.
(b) O efeito-substituição de Slutsky corresponde modificações na quantidade demandada de
um bem associadas à variações de seu preço, mantendo constante o poder aquisitivo do
consumidor. Verdadeiro.
(c) Um consumidor que possui determinada dotação dos bens 1 e 2 é, inicialmente, vendedor
do bem 1. Se, em resposta à diminuição do preço do bem 1, o consumidor passar de vendedor a comprador desse bem, seu bem-estar certamente diminuirá.
Falso. Se ele passa de vendedor a comprador não dá para dizer se sua situação melhora ou
piora, porque não dá para comparar as cestas usando o princípio de preferência revelada
(mudança da cesta X para A no gráfico abaixo). Se ele continuasse sendo vendedor saberíamos que sua situação piorou (mudança de X para B; W é a dotação).
(d) Se um consumidor é comprador líquido de um bem e o preço deste bem diminui, ele pode
continuar como comprador líquido ou tornar-se vendedor líquido do bem, dependendo da
magnitude da variação do preço. Falso. Ele vai continuar sendo comprador líquido, porque
por preferência revelada a situação em que ele é vendedor líquido é pior.
(e) Se dois bens são complementares perfeitos, o efeito substituição será sempre nulo quando
houver variação dos preços relativos dos bens. Verdadeiro. Complementos perfeitos são
sempre consumidos em proporções fixas.
(f) Se um bem é normal, ele não pode ser um bem de Giffen. Se um bem é de Giffen, ele deve
ser um bem inferior. Verdadeiro. Um bem de Giffen é um bem inferior cujo efeito renda
é maior do que o efeito substituição, em termos absolutos.
2. Um consumidor, cuja função de utilidade é dada por 𝐮 𝐱 𝟏 , 𝐱 𝟐 = 𝐥𝐧 𝐱 𝟏 + 𝐥𝐧 𝐱 𝟐 , possui a
seguinte dotação: 200 unidades do bem 1 e 100 unidades do bem 2. Considere que, inicialmente, os preços de mercado são 𝐩𝟏 = 𝟐 e 𝐩𝟐 = 𝟏 e que ocorre uma redução do preço do bem
1 para 𝐩6𝟏 = 𝟎, 𝟓.
(a) Obtenha a demanda líquida por cada um dos bens antes e depois da variação do preço. O
consumidor está melhor antes ou depois da variação do preço?
max u = ln(x) ) + ln(xB ) , sujeitoap) x) + pB xB = p) w) + pB wB
"# ,";
L = ln(x) ) + ln(xB ) + λ p) x) + pB xB − p) w) − pB wB
1 CPO
2 3 NO
N"#
NO
N";
NO
NS
=0∴
=0∴
$# T# UV; T;
B$;
"#
)
";
+ λp) = 0
+ λpB = 0
= 0 ∴ p) x) + pB xB = p) w) + pB wB De (1) e (2), 𝐱 𝟏 =
xB =
)
𝐩𝟐 𝐱 𝟐
𝐩𝟏
, x) =
. Substituindo em (3), obtemos a demanda bruta x1 e x2:
$# T# UV; T;
B$#
.
Definindo ei como a demanda líquida pelo bem i, e wi como a dotação inicial do
bem i, ei = xi – wi. Então,
antes: X
x) = 125 ∴ e) = −75
xB = 250 ∴ eB = 150
depois: W
x) = 200 ∴ e) = 0
xB = 100 ∴ eB = 0
Como W é a própria dotação inicial, sabemos que ela era factível antes da mudança
de preços, quando X foi escolhida. Portanto, X é revelada como diretamente preferida à cesta W, e podemos afirmar que o consumidor estava melhor antes da mudança de preço.
(b) Decomponha a variação na demanda bruta pelo bem 1 em efeito substituição, efeito renda
tradicional e efeito renda dotação.
Primeiro calculamos a variação de renda que deixa a cesta original exatamente acessível aos novos preços: Δm = 0,5(-75) + 150 = 112,5. Adicionando 112,5 à renda posterior à mudança de preço obtemos m’ = 200 + 112,5 = 312,5.
Efeito substituição (ES) = x1(p’1, m’) – x1(p1, m) = 312,5 – 125 = 187,5
Efeito renda tradicional (ERT) = x1(p’1, m) – x1(p’1, m’) = 500 – 312,5 = 187,5
Efeito renda dotação (ERD) = x1(p’1, m”) – x1(p’1, m’) = 200 – 500 = -300
*m é o valor da dotação inicial e m” o valor da dotação após a mudança de preço.
Conferindo: ET = ES + ERT + ERD = 75 a
3. Um consumidor tem preferências representadas pela função de utilidade U(x1x2)= (x1x2)1/2. O
preço do bem 1 é $5 enquanto o preço do bem 2 é $10.
(a) Considere que o consumidor tenha uma renda de $100 e que, devido a um choque climático, o preço do bem 1 tenha subido pra $10. Qual é o efeito dessa mudança sobre as
quantidades demandadas dos bens 1 e 2? Calcule os efeitos substituição e renda para a
variação na demanda do bem 1.
𝟏
𝐦
𝟐
𝐩𝟏
𝐱 𝟏∗ = ∗
𝟏
𝐦
𝟐
𝐩𝟐
, 𝐱 𝟐∗ = ∗
, e 𝐦6 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟓𝟎
∆𝐱 𝟏𝐬 = 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦6 − 𝐱 𝟏∗ 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦 = 𝟕, 𝟓 − 𝟏𝟎 = −𝟐, 𝟓
∆𝐱 𝟐𝐬 = 𝐱 𝟐∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦6 − 𝐱 𝟐∗ 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦 = 𝟕, 𝟓 − 𝟓 = 𝟐, 𝟓
∆𝐱 𝟏𝐦 = 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦 − 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦′ = 𝟓 − 𝟕, 𝟓 = −𝟐, 𝟓
∆𝐱 𝟐𝐦 = 𝐱 𝟐∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦 − 𝐱 𝟐∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦′ = 𝟓 − 𝟕, 𝟓 = −𝟐, 𝟓
∆𝐱 𝟏∗ = −𝟓 = ∆𝐱 𝟏𝐬 + ∆𝐱 𝟏𝐦
∆𝐱 𝟐∗ = 𝟎 = ∆𝐱 𝟐𝐬 + ∆𝐱 𝟐𝐦
(b) Suponha agora que, ao invés de ter uma renda fixa, o consumidor seja um produtor do bem
1 e que tenha uma dotação de 20 unidades desse bem. Qual é o efeito da mudança de preço
do bem 1 de $5 para $10 nesse caso? Calcule os efeitos substituição, renda e renda-dotação.
𝐦 = 𝐩𝟏 𝐰𝟏 = 𝟓 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟏𝟎𝟎
Como o nível de renda conseguido com a venda da dotação no mercado é igual ao nível
de renda da letra (a), para preço antes do choque climático, até o efeito dotação os dois
exercícios apresentarão resultados iguais.
𝐦66 = 𝐩6 𝟏 𝐰𝟏 = 𝟏𝟎 ∗ 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎𝟎
𝐱 𝟏 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦66 =
𝟏 𝟐𝟎𝟎
∗
= 𝟏𝟎
𝟐 𝟏𝟎
∆𝐱 𝟏𝐬 = 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦6 − 𝐱 𝟏∗ 𝐩𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦 = 𝟕, 𝟓 − 𝟏𝟎 = −𝟐, 𝟓
∆𝐱 𝟏𝐦 = 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦 − 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦′ = 𝟓 − 𝟕, 𝟓 = −𝟐, 𝟓
∆𝐱 𝟏𝐝𝐨𝐭 = 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦′′ − 𝐱 𝟏∗ 𝐩6 𝟏 , 𝐩𝟐 , 𝐦 = 𝟏𝟎 − 𝟓 = 𝟓
∆𝐱 𝟏 = ∆𝐱 𝟏𝐬 + ∆𝐱 𝟏𝐦 + ∆𝐱 𝟏𝐝𝐨𝐭 = −𝟐, 𝟓 − 𝟐, 𝟓 + 𝟓 = 𝟎
4. David tem utilidade u(x1,x2), em que x1 é seu consumo no primeiro período e x2 é seu consumo
no segundo período. David tem dotação (xo1,xo2) para consumir em cada período e pode trocar
consumo presente por consumo futuro, e vice versa, de modo que sua restrição orçamentária
é dada por p1x1 + p2x2 = p1xo1 + p2xo2.
(a) Derive a equação de Slutsky neste modelo.
Seguindo o apêndice do cap.9 do Varian. Seja x1(p1,m(p1)) a função de demanda do bem
1 quando o preço do bem 2 permanece fixo e a renda monetária depende do preço do bem
1 através de m(p1) = p1w1 + p2w2. Então:
𝐝𝐱 𝟏 𝐩𝟏 , 𝐦 𝐩𝟏
𝐝𝐩𝟏
=
𝐝𝐱 𝟏 𝐩𝟏 , 𝐦
𝐝𝐱 𝟏 𝐩𝟏 , 𝐦 𝐝𝐦 𝐩𝟏
+
𝐝𝐩𝟏
𝐝𝐦
𝐝𝐩𝟏
O primeiro termo do lado direito é o efeito da mudança de preço sobre a demanda de x1
quando a renda é fixa, que é dada pela equação de Slutsky derivada no apêndice do cap.8
do Varian:
𝐝𝐱 𝟏 𝐩𝟏 , 𝐦
𝐝𝐱 𝟏𝐬 𝐩𝟏 , 𝐦′
𝐝𝐱 𝟏 𝐩𝟏 , 𝐦
=
− 𝐱 𝟏𝐨
𝐝𝐩𝟏
𝐝𝐩𝟏
𝐝𝐦
Em que (x1o,x2o) é a cesta originalmente demandada aos preços (p1o,p2o) e renda m, e
x1s(p1,m’) é a função de demanda de Slutsky pelo bem 1, que diz o que o consumidor
demandaria ao enfrentar um conjunto diferente de preços (p1,p2) e uma renda m’ = p1x1o
+ p2x2o.
Adicionando o segundo termo da direita, o efeito renda-dotação
𝐝𝐦 𝐩𝟏
= 𝐰𝟏
𝐝𝐩𝟏
A equação de Slutsky com dotação fica:
𝐝𝐱 𝟏 𝐩𝟏 , 𝐦
𝐝𝐱 𝟏𝐬 𝐩𝟏 , 𝐦′
𝐝𝐱 𝟏 𝐩𝟏 , 𝐦
=
+ (𝐰𝟏 − 𝐱 𝟏𝐨 )
𝐝𝐩𝟏
𝐝𝐩𝟏
𝐝𝐦
(b) Suponha que a escolha ótima de David seja tal que x1 < xo1. Se p1 diminuir, David estará
melhor ou pior? E se p2 diminuir?
Se x1 < x1o, David vende de x1. Se p1 diminuir e David continuar sendo vendedor de x1,
estará pior, mas se ele virar comprador de p1 não é possível dizer.
Se x1 < x1o, então x2 > x2o: David é comprador de x2. Se p2 diminuir ele vai continuar
sendo comprador de x2 e sua situação será melhor. (por preferência revelada, veja os gráficos no cap.9 do Varian).
5. Um indivíduo tem função de utilidade por consumo (C) e lazer (R) dada por U(C,R) = C.R.
Suponha que a renda não monetária desse consumidor seja 𝐌 unidades de consumo por mês
e que o máximo que ele consegue trabalhar são 𝐑 horas mensais. Seja p = 1 o preço do consumo e w o salário horário que vigora no mercado de trabalho. Denote por 𝐋 = 𝐑 − 𝐑 a oferta
de trabalho do consumidor.
(a) Escreva a restrição orçamentária do consumidor.
pC = M + wL
pC − wL = M
DefinindoM = pCesomandowRnosdoislados:
pC + w R − L = pC + wR
RO:C + wR = C + wR
(b) Monte o Lagrangeano.
max U = CR , sujeitoaC + wR = C + wR
p,q
L = CR + λ C + wR − C − wR
(c) Derive as condições de primeira ordem (CPOs) e encontre a demanda por lazer.
1 CPO
2 NO
Np
NO
Nq
NO
(3)
NS
= 0 ∴ R + λ = 0
= 0 ∴ c + λw = 0
= 0 ∴ C + wR = C + wR
p
pUtq
t
B
De (1) e (2), R = . Substituindo em (3), obtemos C =
eR=
pUtq
Bt
.
(d) Suponha que M = 200 e R = 200. Qual a mudança na oferta de trabalho se w passar de
R$2/h para R$4/h?
R tuB = 150 → LtuB = 50
R tuw = 145 → LtuB = 55
O indivíduo oferta mais 5h de trabalho.