Distribuições contínuas e o modelo normal

Probabilidade e Modelos
Probabilísticos
2ª Parte: modelos probabilísticos para
variáveis aleatórias contínuas, modelo
uniforme, modelo exponencial, modelo
normal
1
Distribuição de Probabilidades
A
distribuição de probabilidades, ou modelo
probabilístico de uma variável aleatória:
 quais são os resultados possíveis;
 qual é a probabilidade de cada resultado
acontecer.
 Variável discreta: pares valores – probab.
 Variável contínua: função densidade de
probabilidades
2
Exemplo 1
 Construir

a
distribuição de
probabilidades
para o ângulo ()
obtido neste
experimento.
3
X = variável aleatória que
indica o ângulo formado
f(x)
1
360
Área = 1
0o
360o
x
4
Exemplo 1
 Qual
é a probabilidade de obter um ângulo entre
30o e 60o?
f(x)
1
360
P(30o < X < 60o)
= área = 0,0833
0o
360o
x
5
Variável aleatória contínua

Valor esperado e variância

  E ( X )   xf ( x)dx


  V ( X )   ( x   ) 2 f ( x)dx
2
onde:
ou
 2
x

E( X )  
2
6
V ( X )  E( X 2 )   2
f ( x)dx
Distribuição Uniforme
f(x)
1

1
f(x) =



x
7
Distribuição Uniforme
f(x)

a
b-a
P(a < X < b) =

x

b
E( X ) 

2

 
Var ( X ) 
2
12
8
Distribuição Exponencial
 Intervalo
de tempo entre ocorrências
 Variável aleatória X de Poisson tem média de 
ocorrências em um intervalo de tempo, então o
intervalo de tempo T entre ocorrências segue uma
distribuição exponencial e tem média de 1/.
 Em
média chegam 2 pessoas/min em uma fila, o tempo
médio entre a chegada de pessoas à fila é 0,5 minuto.
 Em média atendem-se 10 pedidos de suprimentos/dia, o
tempo médio de atendimento de um pedido é 0,1 dia.
9
Distribuição Exponencial
f(t) = e-t,
t>0
 - parâmetro da distribuição ( > 0
10
Distribuição Exponencial
f(t)
E (T ) 
f(t) = e - t, t > 0
1

Var (T ) 
1

2
P(T > t0) = e - t0
t0
t
11
Justificativa para a fórmula da exponencial
0
A primeira ocorrência
ser depois do tempo t
T>t
t
Nenhuma ocorrência
em [0, t]
Xt = 0
T = tempo até a próxima ocorrência (distrib. exponencial)
Xt = núm. de ocorrências até t (distrib. de Poisson)
(t ) e
P( X t  k ) 
k!
k
P(T > t )  P( X t  0)  e
 t
 t
(distrib. exponencial)
12
Exercício 1
O
setor de manutenção de uma empresa fez um
levantamento das falhas de um importante
equipamento, constatando que há, em média, 0,75
falha por ano e que o tempo entre falhas segue
uma distribuição exponencial. Qual é a
probabilidade do equipamento não falhar no
próximo ano?
13
Resposta
 = 0,75
P(T > t) = e - t
P(T > 1) = e -(0)1 = 0,4724 ou 47,24%
14
Exercício 2
A
vida útil de um certo componente eletrônico
é, em média, 10.000 horas e apresenta
distribuição exponencial. Qual é a percentagem
esperada de componentes que apresentarão
falhas em menos de 10.000 horas?
15
Resposta
 = 1 / 10000 = 0,0001
P(T < t) = 1 - e - t
P(T < 10.000) = 1 - e -(0,0001)(10000) =
= 1 - 0,3679 =
= 0,6321 ou 63,21%
16
Exercício 2 – cont.
A
vida útil de um certo componente eletrônico
é, em média, 10.000 horas e apresenta
distribuição exponencial. Após quantas horas se
espera que 25% dos componentes tenham
falhado?
17
Resposta
 = 1 / 10000 = 0,0001
P(T > t) = e - t
P(T > t) = e -(0,0001) t = 1 - 0,25 = 0,75
-(0,0001) t = ln(0,75)
t = 2.876,82 horas
18
Exemplo 2 (Distribuição normal)


Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade,
um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, em
centímetros.
Apresenta-se, a seguir, uma possível distribuição de
probabilidades para este caso.
f(x)
130
140
150
160
170
180
altura (em cm.)
190
200
210
x
19
Exemplo 2
Representar: o evento “estudante selecionado tem 180 cm
ou mais” (X  180) e sua probabilidade, P(X  180)
f(x)
P(X  180)
130
140
150
160
170
180
altura (em cm.)
190
200
X  180
210
x
20
Distribuição Normal
f(x)
1
f ( x) 
 2
1 x 2
 (
)
e 2 
: média
: desvio padrão

x
21
Características


Área abaixo da
curva é igual a 1
(100% de
probabilidade) .
A variável
aleatória pode
assumir valores
de - ∞ a + ∞ .
Área = 1

x
22
Características

Identificada pela
média ( e pelo
desvio padrão ( .


x
23
Média e Desvio Padrão
mesmo  e diferentes µ
1
2
x
24
Média e Desvio Padrão
mesmo  e diferentes 
=2
=4

X
25
Características

Simetria
em relação
à média.
50%

x
26
Exemplo
área = 68,3%
-
 +
27
Exemplo
área = 95,4%
-2

+2
28
Exemplo
área = 99,7%
-3

+3
29
Normal Padronizada
x-
z=

z - variável normal padronizada
x - variável normal
 - média
 - desvio padrão
30
Normal Padronizada

-2 -  + +2
-2
-1
0
1
2
x
z
31
Exemplo 3
 Selecionar,
aleatoriamente, de uma certa
universidade, um estudante do sexo masculino.
Seja X o valor de sua altura, em centímetros.
Admita que nesta universidade os estudantes têm
altura média de 170 cm com desvio padrão de 10
cm. Qual é o escore padronizado de um
estudante com 190 cm?
 x = 190.
x-
z=

=
190 - 170
10
20
=
=2
10
32
Exemplo 3
  10
 = 10
170
0
190
2
x
z
33
Exemplo 3
P(X<190) = P(Z<2)
170
0
190
2
x
z
34
Exemplo 3
  10
 = 10

140 150 160 170
-3
-2
-1
0
180 190 200
1
2
3
x
z
35
Exercício 3: uso da tabela
Com base na tabela da normal padronizada,
calcular:
a) P(Z > 1)
0,1587 (tabela)
0
+1
z
36
Exercício 4
Com base na tabela da normal padronizada,
calcular:
b) P(Z > 1,23)
0,1093 (tabela)
0
1,23
z
37
Exercício 5
c) P(-2 < Z < 2)
0,0228 (tabela)
-2 0 2
z
P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9554
38
Exercício 6
 Selecionar,
aleatoriamente, de uma certa
universidade, um estudante do sexo masculino.
Seja X o valor de sua altura, em centímetros.
Admitindo que nesta universidade os estudantes
têm altura média de 170 cm com desvio padrão
de 10 cm, qual é a probabilidade do estudante
sorteado ter altura superior a 185 cm?
39
Exercício 6: resposta
x

= 185 cm
z?
(  10   10
x-
z=

=
185 - 170
10
15
=
= 1,5
10
40
Exercício 6: resposta
P(Z > 1,5)
0,0668 (tabela)
0
1,5
z
41
Aproximação da binomial pela
normal
 Considere
que um aluno irá fazer um teste de
Estatística. Pelo que estudou ele tem 50% de
probabilidade de responder corretamente uma
questão. Se o teste tem 10 perguntas, seja X o
número de respostas corretas.
42
Exemplo 4
Distribuição binomial:
n=10
p=0,5
P(X)
0,246
0,205
0,205
0,117
0,117
0,044
0,001 0,01
-1
0
1
2
0,044
0,01 0,001
3
4
5
6
7
8
9
10
11
número de respostas corretas (X)
43
Exemplo 4


Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 corretas?
P(X>6)=P(7)+P(8)+P(9)+P(10)=0,117+0,044+0,010+0,001=0,172
0,246
0,205
P(X>6) = 0,172
0,205
0,117
0,117
0,044
0,001 0,01
-1
0
1
2
0,044
0,01 0,001
3
4
5
6
7
8
9
10
11
44
Aproximação da Binomial
pela Normal

Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a
distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal
com média np e variância np(1- p).
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
45
Exemplo 4 (de novo)

Qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 respostas
afirmativas? (usando a normal)
P(X>6,5)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
46
Exemplo 4 (de novo)
P(X>6,5)
5
6,5
x
47
Exemplo 4 (de novo)
=5
 = 1,581139 x = 6,5
x-
z=

=
6,5 - 5
1,581139
0,1711
0
0,95
z
= 0,95
Lembrando:
a probabilidade.
Exata (pela
binomial)
era de 0,1720
48