Guia pedagógico

Números
e funções
Guia do professor
Experimento
A roda-gigante
Objetivo da unidade
Introduzir o conceito de função periódica e discutir
suas propriedades.
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Guia do professor
A roda-gigante
Sinopse
Com este experimento será possível introduzir conceitos de movimentos
oscilatórios, períodos e pontos de máximo e mínimos de funções perió­
dicas. A atividade envolve a construção de uma roda-gigante em tamanho
reduzido feita de material reciclável.
„„
„„
Conteúdos
Relações e Funções;
Trigonometria: Modelagem de Fenômenos Oscilatórios, Funções Seno
e Cosseno.
Objetivo
Introduzir o conceito de função periódica e discutir suas propriedades.
Duração
Uma aula dupla.
Material relacionado
Software: Ondas trigonométricas.
Introdução
Podemos encontrar na natureza algumas ocorrências que se repetem com
o tempo. O batimento cardíaco, a respiração, as ondas cerebrais,
os :cam­
cos
R→I
pos eletromagnéticos, as fases da Lua, o movimento de um pêndulo, das
marés ou de uma roda-gigante são alguns exemplos. A característica em
comum desses fenômenos é que todos podem ser descritos por funções
periódicas.
Um importante teorema garante que todo movimento periódico pode
ser descrito por uma combinação algébrica de senos e cossenos, ou seja,
a trigonometria é a base para qualquer fenômeno periódico.
Neste experimento nos preocupamos com o movimento de uma rodagigante que gira com uma velocidade constante, executando, assim,
um movimento que se repete. A função que representa a posição de uma
cadeira da roda-gigante durante o movimento é uma função cosseno.
Os alunos poderão modelar a altura de uma das cadeiras em função do
tempo ou do arco percorrido no movimento usando apenas as noções
trigonométricas do triângulo retângulo, observando a periodicidade do
movimento.
Motivação
„„
„„
„„
Esta atividade motiva o estudo:
das medidas de arcos e de ângulos;
das funções trigonométricas;
do conceito introdutório de função periódica.
A periodicidade é um conceito muito importante em matemática e suas
aplicações. Uma função periódica pode ser representada pela soma de
A roda-gigante funções trigonométricas seno e cosseno. Essas funções têm como domínio
todos os números reais. Formalmente, podemos representar assim:
, I I =I [−1,
coscos
: R :→
R I→ I e sensen
: R :→
R I→
= [−1,
1] 1]
sen : R → Ionde I = [−1, 1], isto é, o conjunto imagem é intervalo real entre −1 e 1,
incluindo os extremos. As funções seno e cosseno têm origem nos concei­
tos trigonométricos, em especial do triângulo retângulo.
Nesta atividade é mais conveniente usarmos o conceito de radiano
no lugar de grau para a medida dos ângulos. Assim, as medidas em radianos
serão as variáveis das funções trigonométricas.
O experimento
Comentários iniciais
Grau é uma medida de ângulos muito usada quando trabalhamos com
triângulos retângulos pré-determinados e fixos pois está mais associado
ao conceito de direção. No entanto quando estamos lidando com o conceito
de percurso (e seu comprimento) em uma circunferência, o radiano é mais
conveniente pois ele associa o ângulo subentendido por dois segmentos de
retas radiais (que saem do centro do círculo), chamado de ângulo central,
com o comprimento do segmento do arco associado. Por conta disso,
neste experimento adotaremos o radiano como unidade de medida de
ângulos.
O conceito de radiano
Considere uma circunferência de centro O e um arco dessa circunferên­
cia. Se o arco tiver comprimento igual ao raio, diremos que o arco mede
1 radiano.
Guia do professor 2 / 8
B
A
fig. 1
fig. 3
1 radiano
fig. 2
Definição
1 radiano é a medida do ângulo central que determina na circunferência
um arco cujo comprimento é igual ao raio.
Denotando por C =
o comprimento
2πr
2π de uma circunferência Cde=raio
2πr,
Se é o arco
C = 2πr unidades
2π de comprimento.
C = 2πr
2πde 1 radiano, concluímos
que o arco de uma volta
tem
medida 2π radianos.
C=
2πr
C = 2πC = 2πrunidades
No círculo unitário, r = 1 e, portanto,
2π de compri­
mento. Isso significa que o comprimento do arco de uma volta completa,
de 360°, corresponde a 2π unidades de comprimento. Então, 360° corres­
ponde a 2π.
Dividindo por 2π, temos
1 radiano =
360◦
≈ 57, 3◦.
2π
Portanto, o ângulo de 1 radiano tem aproximadamente 57,3°.
Assim, um quarto de uma volta, ou 90°, corresponde a
11
π ◦
π360
(2π) −
− radianos
(2π)
radianos
≈ 57,.3◦
1 radiano
=
44
222π
Professor, observe com os seus alunos o fato de que a altura não é uma
função linear do ângulo. O modelo confeccionado fará com que o aluno
perceba que a altura da cadeira da roda-gigante é uma função do ângulo
A roda-gigante Guia do professor 3 / 8
2π
Etapa 1 Construção da roda­gigante
correspondente ao giro e que o gráfico dessa função não é composto por
segmentos de reta, pois a taxa de variação da altura em relação ao ângulo,
definida por
A construção do modelo da roda­gigante, que é essencialmente um disco
giratório dividido em fatias, deve seguir as etapas sugeridas no experi­
mento.
Por simplicidade vamos considerar que as cadeiras estejam na circun­
ferência do disco giratório e que as medidas das alturas sejam relativas à
base do modelo.
Recomendamos uma roda para cada grupo de quatro alunos. Os círculos
devem ser cortados com capricho para que os erros nas medições dos
ângulos e da altura sejam os menores possíveis.
∆h h(θ1 ) − h(θ2 )
,
−
∆θ
θ 1 − θ2
altura (cm)
não é constante.
Ao contrário, o gráfico dos pontos que mostram algumas alturas em
termos dos respectivos ângulos centrais, da figura 4, mostra que a função
cresce, decresce e se repete a cada 2π radianos.
��
Etapa 2 O sobe­e­desce da cadeira
��
„
��
��
„
„
��
„
�
fig. 4
π⁄�
π
�π⁄�
�π
A roda-gigante
�π⁄�
�π
Conduza a atividade fazendo perguntas aos alunos, como:
Supondo que o movimento de rotação da roda seja uniforme e que tenha
se iniciado quando um passageiro entrou e se sentou na cadeira, qual é
a altura da cadeira? Marque no gráfico.
Depois de quantas voltas essa altura se repete?
Qual é a altura máxima da cadeira? Marque no gráfico.
Observando que entre a altura mínima e a altura máxima há uma altura
intermediária que é atingida duas vezes em cada volta, quanto mede essa
altura intermediária? Marque no gráfico.
�π⁄�
�π
ângulo (rad)
Guia do professor
4/8
Etapa 3 Construção dos gráficos
Na primeira etapa, os alunos deverão usar o minitransferidor que foi cons­
truído no início da atividade para medir os ângulos e, para medir a altura,
eles usarão uma régua como indica a figura 5.
fig. 6
„„
fig. 5
Na segunda etapa, os alunos determinarão o comprimento de arcos
utilizando um pedaço de barbante e medirão também as alturas com auxílio
de uma régua. Na figura 2, os ângulos foram medidos em radianos e as
alturas em centímetros. Caso os alunos não tenham estudado o conceito
de radiano, é possível fazê-lo utilizando o texto que se encontra em
Comentários iniciais deste guia.
A roda-gigante Para provocar os seus alunos, faça perguntas, como a seguinte:
Por que o gráfico que representa a altura não é constituído simplesmente
por segmentos de reta?
A resposta pode ser a seguinte:
O modelo confeccionado faz com que o aluno perceba que a altura de
uma cadeira da roda-gigante é uma função do ângulo correspondente ao
giro. Para duas medidas quaisquer do ângulo, digamos
θ1 θ1 e θ2, θa2taxa de
variação da altura em relação a esses ângulos, denotada por
∆h h(θ1 ) − h(θ2 )
−
,
∆θ
θ 1 − θ2
não é constante. Se fosse constante, o gráfico seria uma reta, pois esse
quociente representa a inclinação da reta. Ao contrário, o gráfico é melhor
representado por funções trigonométricas, como mostra a figura 7
a seguir.
Guia do professor 5 / 8
altura (cm)
Conclusão importante
��
período
��
Θ
R cos(Θ)
R
�
h
h − R cos(Θ)
π⁄�
fig. 7
π
�π⁄�
�π
�π⁄�
�π
�π⁄�
�π
ângulo (rad)
fig. 8
A função geral que descreve a relação “a altura em função do ângulo” é
Os alunos verificarão que seus gráficos possuem o mesmo período.
f
h dada
θ porfy = hR− R cos
h (θ)
f ,θondeR
yy=é=h
h
−−RRcos
cos
θ é(co(θ)
/Rângulo,
fy) = hyR
−=éRhocos
−h R
(θ)
cosθ (c/R
y )=
y
ahaltura,
raio
c
f do R
θ da base.
y = h − R cos (θ)
y = h − R cos ( /R)
disco e h a altura
R
Função periódica
R
hse seus
θ valores
y =se
h−
R cos (θ)
y = h − R cos (c/R)
Uma função f é periódica
repetem
em intervalos
regulares.
f
Pergunta
De que forma é possível encontrar a função que descreve o gráfico?
R
Observação
h
θQuandoy a=função
h − Ré cos
(θ) por yf = h −
R R cosh(c/R),θonde y é=ahaltura,
− R cos (θ)
descrita
c é o comprimento percorrido,
f
R é o fraio
h doR
θ e hyé =
hθ − R cos
ydo=centro
(θ)
h − R cos
y =(θ)
h−
disco
a distância
à base, então o ângulo está sendo medido em radianos.
fComo R é o raio
h dafroda­gigante,
θ Ry = hh−é aRdistância
cos
θ (θ)y da
= base
hy −
=que
Rh cos
−sustenta
R(θ)
cos (c/Ry)= h − R cos (c/R)
f centro
R do disco
h e θ é o ângulo
y = h de
−R
cos (θ)
yda= h − R cos (c/R)
a roda­gigante ao
deslocamento
cadeira, a função procurada é:
f
R
h
θ
y = h − R cos (θ)
A roda-gigante
y = h − R cos (c/R)
Guia do professor
6/8
Fechamento
Bibliografia
O que propomos nesta atividade pode ser o ponto de partida para a gene­­
ralização dos conceitos de medida de ângulo, de arco e de ângulo orien­
tado, que são temas essenciais ao Ensino Médio.
A seguinte pergunta se encontra na Folha do Aluno:
Carmo, Manfredo P do; Morgado, Augusto C; Wagner, Eduardo. Trigo­
nometria, Números Complexos. Rio de Janeiro. Sociedade Brasileira de
Matemática. Coleção do Professor de Matemática, 1996.
Pense e responda
Quais características possui este gráfico que o difere dos outros tipos de
gráficos que você conhece? Você saberia dizer qual altura teremos quando
o ângulo for de 6π radianos (1080°)?
θ
Connally, Eric; Hughes-Hallett, Deborah; Gleason, Andrew; et all.
Function Modeling Change. A Preparation for Calculus. New York: John
Wiley & Sons, Inc., 2000.
Uma das características do gráfico é a sua periodicidade, ou seja, a
altura é a mesma a cada volta completa da roda-gigante. Quando o ângulo
for de 6π radianos, a roda-gigante terá dado três voltas completas e a altura
y será
= hfigual
− R àcos
Raltura
(θ) h inicial.
y θ= h −y R
=cos
h −(c/RR)cos (θ)
y = h − R cos (c/R)
Variações
Aproveite a oportunidade e trabalhe com a altura das marés, que é outro
exemplo de função periódica. No site: www.mar.mil.br, encontramos
tabelas que fornecem a altura das marés em vários portos do Brasil, ou dê
uma olhada no software Ondas trigonométricas, que analisa vários fenô­
menos periódicos através de funções trigonométricas.
A roda-gigante Guia do professor 7 / 8
Ficha técnica
Autores
Maria Zoraide M. C. Soares
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons
Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Folha do aluno
1
2
3
Números e funções
Etapa 1 Construção da mini roda-gigante
Ao lado, temos uma figura que auxiliará no processo
de construção da roda-gigante. Atente para algumas
instruções:
1.1 O disco do primeiro passo deve ter um raio R entre 5 e
4
15 centímetros e é necessário traçar nele dois diâmetros
perpendiculares. O furo no centro do disco tem de per­
mitir a passagem de um lápis;
1.2 Sugerimos que o disco da base tenha aproximadamente
6 cm de raio;
1.2 O passo 4 representa o suporte da roda-gigante. O tama­
nho de h deve ser um pouco superior ao tamanho do
raio do disco maior;
1.4 Faça um reforço de papelão no minitransferidor que foi
entregue e monte a roda-gigante, como na parte 7 da
figura.
5
h
7
6
fig. 1 Procedimento de construção da roda-gigante.
A roda-gigante
Folha do aluno 1 / 2
Folha do aluno
Etapa 2 O sobe-e-desce da roda-gigante
Agora vamos coletar alguns dados. Para isso, faça uma
tabela de 20 linhas e 2 colunas, como a sugerida a
seguir:
Altura (cm)
Ângulo (radianos)
2.1 O zero do transferidor deve estar alinhado ao eixo h do
suporte. Escolha uma das tampinhas e a coloque na
posição 0 do transferidor;
2.2 Registre na tabela a altura da tampinha escolhida e o
ângulo em que ela se encontra. Nesse caso, o primeiro
dado será Altura = h e Ângulo = 0. Gire sua roda-gigante
e meça novamente o valor da altura e do ângulo.
Complete a tabela preenchendo com os valores obtidos
após, no máximo, duas voltas na roda-gigante;
2.3 Faça então outra tabela 20 × 2, que será denominada
“Altura × Comprimento percorrido”;
2.4 Voltando a tampinha na posição 0, faça o seguinte
procedimento: você vai marcar o comprimento percor­
rido, usando, para obter este dado, um barbante e uma
régua.
Números e funções
Etapa 3 Construção dos gráficos
3.1 Com os dados das tabelas, faça dois gráficos em planos
cartesianos diferentes. No primeiro gráfico, o eixo x
deve ser o ângulo e o eixo y deve ser a altura. Já no
segundo, o eixo x será o comprimento percorrido e o
eixo y será a altura;
3.2 Esboce o traçado das curvas.
Pense e responda
Quais características possui este gráfico que o difere
dos outros tipos de gráficos que você conhece? Você
saberia dizer qual altura teremos quando o ângulo for
de 6π radianos (1080°)?
tabela 1
fig. 2 Medindo comprimento.
A roda-gigante
Folha do aluno 2 / 2
A roda-gigante
Folha do aluno · anexo