OLAM6_Figuras no plano_Isometrias

Preparação para a Prova Final de Matemática
2.º Ciclo do Ensino Básico
Olá, Matemática! – 6.º Ano
Geometria
Figuras no plano
•
•
•
•
Retas, semirretas e segmentos de reta
Ângulos: amplitude e medição
Polígonos: propriedades e classificação
Círculo e circunferência: propriedades e construção
Reflexão, rotação e translação
•
•
•
•
Noção e propriedades da reflexão
Noção e propriedades da rotação
Noção e propriedades da translação
Simetrias axial e rotacional
Síntese
 Reta
Dois pontos de um plano definem uma e uma só reta.
Exemplo:
A reta que contém os pontos A e B é a reta AB ou reta r .
 Semirreta
A semirreta
o ponto B.
Exemplo:
está contida na reta
. Ao ponto A chama-se origem da semirreta que contém
 Segmento de reta
O segmento de reta
está contido na reta
segmento de reta
e são os seus extremos.
Exemplo:
. Os pontos A e B estão contidos no
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 Retas paralelas
Duas retas são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum (estritamente paralelas)
ou quando têm todos os pontos em comum (coincidentes).
Construção de retas paralelas:
As retas
e são estritamente paralelas.
As retas e são coincidentes.
 Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes quando têm um único ponto em comum (perpendiculares e
oblíquas). São retas perpendiculares se fazem ângulos retos entre si e são retas oblíquas se
não fazem ângulos retos entre si.
Construção de retas concorrentes:
Retas perpendiculares.
Retas oblíquas.
Estritamente paralelas: r // s
Paralelas
Coincidentes: r ≡ s
Retas r e s
Perpendiculares: r
s
Concorrentes
Oblíquas
 Classificação de ângulos
Agudo: 0º
90º
Reto:
90º
Obtuso: 90º
180º
Raso:
Giro:
180º
360º
 Ângulos complementares
Dois ângulos dizem-se complementares se a soma das suas amplitudes é 90º .
Exemplo:
90
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 Ângulos suplementares
Dois ângulos dizem-se suplementares se a soma das suas amplitudes é 180º .
Exemplo:
180
 Ângulos adjacentes
Dois ângulos dizem-se adjacentes quando têm uma semirreta comum que os separa.
Exemplo:
Repara que, o ângulo
é adjacente ao ângulo
.
 Ângulos verticalmente opostos
Ângulos verticalmente opostos têm a mesma amplitude.
Exemplo:
O ângulo
O ângulo
é verticalmente oposto ao ângulo
é verticalmente oposto ao ângulo
.
.
 Ângulos alternos internos
Ângulos alternos internos em relação a uma secante de duas retas paralelas têm a mesma
amplitude.
Exemplo:
O ângulo
O ângulo
é alterno interno ao ângulo
é alterno interno ao ângulo
Se
//
O ângulo
então:
é alterno interno ao ângulo
.
é alterno interno ao ângulo
.
O ângulo
.
.
e
e
 Polígono regular
Um polígono diz-se regular quando tem os lados iguais e os ângulos também todos iguais.
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 Polígono irregular
Um polígono que não é regular diz-se irregular.
 Classificação de polígonos
Triângulo: 3 lados
Quadrilátero: 4 lados
Pentágono: 5 lados
Hexágono: 6 lados
Heptágono: 7 lados
Octógono: 8 lados
Eneágono: 9 lados
Decágono: 10 lados
Dodecágono: 12 lados
Icoságono: 20 lados
 Classificação de triângulos
Quanto aos lados:
• Equilátero: tem três lados geometricamente iguais.
• Isósceles: tem pelo menos dois lados geometricamente iguais.
• Escaleno: tem os lados todos diferentes.
Quanto aos ângulos:
• Retângulo: tem um ângulo reto (e os outros dois agudos).
• Obtusângulo: tem um ângulo obtuso (e os outros dois agudos).
• Acutângulo: tem os três ângulos agudos.
 Desigualdade triangular
Num triângulo, qualquer um dos seus lados é menor que a soma dos outros dois.
 Relações entre ângulos e lados de um triângulo
Num triângulo, ao lado de maior comprimento opõe-se o ângulo de maior amplitude.
Num triângulo, ao lado de menor comprimento opõe-se o ângulo de menor amplitude.
A soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180º .
Num triângulo, a amplitude de cada ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos
ângulos internos não adjacentes.
A soma das amplitudes dos ângulos externos de um triângulo é 360º .
 Construção de triângulos
Dadas as medidas do comprimento de três lados de um triângulo
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Dadas as medidas do comprimento de dois lados de um triângulo e a amplitude
do ângulo formado por dois dos seus lados
Dadas as medidas do comprimento de um dos lado de um triângulo e a amplitude
dos ângulos adjacentes a esse lado
 Triângulos congruentes
Dois triângulos dizem-se congruentes (ou geometricamente iguais) quando têm, de um para o
outro, os três lados e os três ângulos correspondentes iguais.
 Circunferência
Uma circunferência é uma linha fechada em que todos os seus pontos estão à mesma distância
de um ponto fixo, o seu centro.
A um segmento de reta definido pelo centro e por qualquer um dos pontos da circunferência
chama-se raio.
A um segmento de reta definido por quaisquer dois pontos da circunferência e que passa pelo
centro chama-se diâmetro. Repara que: comprimento do diâmetro = 2 × comprimento do raio .
 Círculo
Um círculo é um conjunto de pontos definidos por uma circunferência e por todos os pontos que
estão no seu interior.
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 Reflexão
A reflexão em relação à reta r transforma um ponto P num ponto P' tal que:
os pontos P e P' estão numa reta perpendicular ao eixo de reflexão r ;
os pontos P e P' estão à mesma distância da reta r .
Exemplo:
O triângulo !′#′$′é o transformado do triângulo !#$ por
uma reflexão de eixo r .
Repara que:
• %%′ & ;
• ((((
%' (((((
%′' .
O mesmo acontece para qualquer outro ponto da imagem
original e o seu correspondente transformado por uma
reflexão de eixo r .
 Propriedades da reflexão
A figura original e o seu transformado são geometricamente iguais.
Um ponto da figura original pertencente ao eixo de reflexão é transformado em si
próprio.
 Rotação
Uma rotação transforma uma figura do plano noutra figura, rodando todos os pontos da figura
original à volta de um ponto fixo (centro de rotação), num determinado sentido (positivo ou
negativo) e segundo um determinado ângulo (ângulo de rotação).
À amplitude do ângulo de rotação chamamos amplitude de rotação.
Exemplo:
O triângulo !#′$′é o transformado do triângulo !#$ por
uma rotação de centro ! e amplitude 90º , no sentido positivo.
Repara que:
* )+ ,-° e /%
* /+ ,-°;
• )%
((((( e /%
(((( (((((
(((( )′%
• )%
/′%;
• o ponto % é transformado em si próprio, pois
pertence à figura original.
 Propriedades da rotação
A figura original e o seu transformado são geometricamente iguais.
Um ponto e o seu transformado estão à mesma distância do centro de rotação.
O centro de rotação, no caso de pertencer à figura original, é transformado em si
próprio.
 Translação
Numa translação todos os pontos da figura original sofrem o mesmo deslocamento.
Se o transformado do ponto P é P' e o transformado de Q é Q' , então a distância de P a P' é
igual à distância de Q a Q' .
Além disso, PP' // QQ' .
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Exemplo:
O triângulo !′#′$′é o transformado do triângulo !#$ por
uma translação.
Repara que:
• (((((
%%′ (((((
))′ (((((
//′ ;
+
• %% //))′////′ .
 Propriedades da translação
A figura original e o seu transformado são geometricamente iguais.
Um segmento de reta é transformado num segmento de reta paralelo.
 Isometria
Uma isometria transforma uma figura do plano noutra figura conservando as distâncias entre
pontos.
 Simetria axial
Uma figura tem simetria axial quando existe pelo menos uma reta que a divide em duas partes
que se podem sobrepor ponto por ponto por dobragem, isto é, por reflexão. A essa reta dá-se
o nome de eixo de simetria.
A bissetriz de um ângulo é a semirreta que o divide em dois ângulos
geometricamente iguais. A bissetriz de um ângulo está contida no seu eixo de
simetria.
Simetria axial de triângulos:
• Um triângulo equilátero tem 3 eixos de simetria.
• Um triângulo isósceles (não equilátero) tem 1 eixo de simetria.
• Um triângulo escaleno não tem eixos de simetria.
 Simetria rotacional
Uma figura tem simetria rotacional quando fica invariante por uma rotação de amplitude inferior a
360º .
Simetria rotacional de triângulos:
• Um triângulo equilátero é o único tipo de triângulo que tem simetria rotacional.
Existem três rotações (de sentido positivo) pelas quais esta figura fica invariante.
Ordem de simetria de rotação: é o número de vezes em que a figura fica invariante
numa rotação de 360º .
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Nas próximas páginas encontrarás questões de provas finais de Matemática do 2.º Ciclo
seguidas de novas propostas semelhantes.
Não te esqueças que podes, e deves, consultar a síntese inicial sempre que tiveres
alguma dúvida.
Bom trabalho!
Prova Final de Matemática (2013 - Caderno 2)
1. Qual a fração que representa a amplitude do ângulo agudo formado pelos ponteiros do relógio às 5
horas e 30 minutos, considerando como unidade 360º?
Assinala com X a opção correta.
0
12
0
34
5
612
0
61
2. Assinala com X a opção que representa a amplitude de um ângulo obtuso, com amplitude múltipla de
5e3.
300º
180º
120º
30º
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Prova Final de Matemática (2013 - Caderno 2)
3. Na Figura 1 , estão representadas duas retas perpendiculares,
é o ponto 7 .
e
, cujo ponto de interseção
Assinala com X a opção que corresponde à soma das amplitudes dos ângulos 7 com 7 .
120º
180º
60º
300º
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4. Na Figura 2 , estão representadas duas retas paralelas,
.
A amplitude do ângulo 8 é 60º .
e
, intersetadas por uma secante
Qual a amplitude do ângulo
?
Mostra como chegaste à resposta.
Resposta: ___________________________________________________________________
5. Na Figura 3 , estão representadas duas retas perpendiculares,
ponto .
A bissetriz do ângulo
é a semirreta
.
e
, que se intersetam no
Qual a amplitude do ângulo
?
Mostra como chegaste à resposta.
Resposta: ___________________________________________________________________
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Olá, Matemática! – 6.º Ano
Prova Final de Matemática (2012 - Caderno 2)
Prova Final de Matemática (2012 - Caderno 2)
Prova Final de Matemática (2013 - Caderno 2)
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Prova Final de Matemática (2012 - Caderno 2)
6. Na Figura 4 estão representados os triângulos
e
congruentes e as retas
e
que são paralelas.
9
•
45°
9
•
75°
Qual a amplitude, em graus, do ângulo
?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Resposta: __________________________________________________________________
Pág. 12
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7. Na Figura 5 está representado um triângulo equilátero
Qual a amplitude, em graus, do ângulo ?
Mostra como chegaste à tua resposta.
.
Resposta: __________________________________________________________________
8. Na Figura 6 está representado o triângulo
Sabe-se que:
9
•
24°
9
•
108°
Qual a amplitude, em graus, do ângulo
Mostra como chegaste à tua resposta.
e o seu ângulo externo
.
?
Resposta: __________________________________________________________________
9. Na Figura 7 está representado o triângulo
9
•
38°
•
25°
9
•
117°
em que:
A Joana afirmou: "O lado de menor comprimento do triângulo
é
."
Indica se a Joana fez uma afirmação verdadeira ou falsa, justificando a tua resposta.
Resposta: __________________________________________________________________
Pág. 13
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10. Na Figura 8 está representado o triângulo
9
•
57°
• (((( 4,5cm
• (((( 4,5cm
Qual a amplitude, em graus, do ângulo
Mostra como chegaste à tua resposta.
em que:
?
Resposta: __________________________________________________________________
Prova Final de Matemática (2013 - Caderno 2)
Prova Final de Matemática (2012 - Caderno 2)
Prova Final de Matemática (2013 - Caderno 2)
Pág. 14
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Prova Final de Matemática (2013 - Caderno 2)
11. Considera uma circunferência de centro O e raio
11.1. Se ((((
.
4 cm , qual a maior distância possível entre dois pontos da circunferência?
Resposta: ___________________________________________________________
11.2. Se (((( 10 cm , qual o valor numérico do triplo do diâmetro desta circunferência?
Assinala com X a opção correta.
20
40
60
100
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Prova Final de Matemática (2012 - Caderno 2)
12. Considera os polígonos congruentes A , B , C e D .
12.1. Qual o polígono que corresponde ao
transformado do polígono A por uma rotação
de 90º no sentido positivo?
Resposta: __________________
12.2. Qual o polígono que corresponde ao
transformado do polígono A por uma reflexão
de eixo r ?
Resposta: __________________
12.3. Qual o polígono que corresponde ao transformado do polígono A por uma translação?
Resposta: __________________
Pág. 16
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13. Completa as figuras de modo a que as retas r e s sejam os eixos de reflexão respetivos.
14. Para cada uma das figuras dadas, desenha o transformado da figura por uma rotação de centro P e
amplitude 270º no sentido positivo.
Prova Final de Matemática (2013 - Caderno 2)
Pág. 17
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15. A professora de Matemática perguntou aos seus alunos qual o polígono de três lados que tem
apenas um eixo de simetria.
O Pedro disse: – O triângulo equilátero.
O Tomás disse: – Não é verdade! É o triângulo isósceles, não equilátero!
Indica qual dos dois alunos está correto, justificando a tua resposta.
Resposta: ___________________________________
Justificação: ______________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Prova Final de Matemática (2012 - Caderno 2)
16. Nem todos os polígonos têm simetria rotacional.
Indica um polígono de três lados que não tenha simetria rotacional.
Resposta: __________________________________________________________________
Pág. 18
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17. Considera as figuras A e B .
17.1. Qual a ordem de simetria de rotação da Figura A ?
8
4
3
não tem simetria rotacional
17.2. Quantos eixos de simetria axial possui a Figura A ?
8
1
3
4
17.3. Qual a ordem de simetria de rotação da Figura B ?
2
4
não tem simetria de rotação
8
17.4. Indica qual a menor amplitude de um ângulo de simetria rotacional da Figura B ?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Resposta: __________________________________________________________________
17.5. Quantos eixos de simetria axial possui a Figura B ?
4
2
não tem simetria axial
8
18. Pinta, na figura C , o menor número de triângulos, de forma a que
se obtenha uma figura sem simetria axial e com simetria
rotacional de ordem 2.
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19. Considera a Figura A que representa um pormenor de um vitral de uma igreja.
19.1. Quantas simetrias axiais consegues observar na Figura A ?
Resposta: __________________________________________________________________
19.2. Quais as amplitudes dos ângulos das simetrias rotacionais da Figura A ?
Mostra como chegaste à tua resposta.
Resposta: __________________________________________________________________
20. Considera o friso que se segue.
Indica quais as simetrias que se podem identificar neste friso.
Resposta: ___________________________________________________________________
Pág. 20