Diagonalização [ ] [ ]β` Operador diagonalizável

Diagonalização
Operador linear
Se T: V → V for uma transformação linear definida no espaço
vectorial V, então T designa-se por operador linear.
A representação matricial de um operador linear depende da
base escolhida para essa representação.
B = Q −1AQ onde
A = [T ]β
B = [T ]β'
Problema
Encontrar a forma mais simples para a representação matricial
do operador linear T → matriz diagonal
ÁLGEBRA
Diagonalização - 1
Operador diagonalizável
Questões
• Será que existe uma base β na qual a representação de T seja
uma matriz diagonal?
• Se essa base existe, como pode ser calculada?
Operador diagonalizável
Um operador linear é diagonalizável se existe uma base β para
V tal que [T]β é uma matriz diagonal
ÁLGEBRA
Diagonalização - 2
Valores e vectores próprios
Teorema
Um operador linear é diagonalizável se e só se existe uma base
β = {x1, x2, ..., xn} e n escalares λ1, λ2, ... λn (não necessariamente
distintos) tais que T(xj) = λjxj.
Nestas condições
λ1 0 " 0 
0 λ " 0 
2

[T]β = 
# % # 
#

0 " λ n 
0
xj é um vector próprio associado ao valor próprio λj
ÁLGEBRA
Diagonalização - 3
Valores e vectores próprios
Determinante de um operador linear
é o determinante de [T]β, det([T]β), para qualquer base β.
Teorema
Um escalar λ é valor próprio de um operador linear T se e só se
det(T - λI) = 0 (ou det([T]β - λI))= 0.
O polinómio na variável t, det([T]β - tI), é designado polinómio
característico do operador linear T.
ÁLGEBRA
Diagonalização - 4
Valores e vectores próprios
Cálculo de valores próprios
Os valores próprios são os zeros do polinómio característico
f(t) = det(A - λI) = |A - λI|, onde A = [T]β .
Teorema
O polinómio característico de A = [T]β é um polinómio de grau n
com coeficiente (-1)n no termo de maior grau.
Corolário
Seja A = [T]β uma matriz n×n e f(t) o seu polinómio característico.
a) um escalar λ é valor próprio de A se e só se f(λ) = 0;
b) A tem no máximo n valores próprios distintos.
ÁLGEBRA
Diagonalização - 5
Valores e vectores próprios
Cálculo dos vectores próprios
Conhecidos os valores próprios, λ1, λ2, ..., λn, o cálculo do vector
próprio associado ao valor próprio λi faz-se substituindo λi na
equação
(A - λiI)[x]β = 0
e resolvendo-a em ordem a [x]β.
Teorema
O vector x ∈ V é vector próprio de T se e só se
x ≠ O e x ∈ N(T - λiI)
onde λi é um dos valores próprios do operador linear T.
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Diagonalização - 6
Diagonalizabilidade
Condição necessária e suficiente para que um operador seja
diagonalizável
Existência de uma base de vectores próprios
Teorema
Vectores próprios associados a valores próprios distintos são
linearmente independentes.
Corolário
Se um operador definido num espaço de dimensão n tiver n
valores próprios distintos, então o operador é diagonalizável.
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Diagonalização - 7
Espaços próprios
Espaço próprio de T
Seja T um operador linear definido num espaço vectorial V
e λ um valor próprio de T.
Define-se espaço próprio de T associado ao valor próprio λ
como
Eλ = { x ∈ V: T(x) = λx } = N(T-λI)
A dimensão de Eλ é chamada multiplicidade geométrica do
valor próprio.
A multiplicidade algébrica (m) do valor próprio λ é a respectiva
multiplicidade como zero do polinómio característico.
1 ≤ dim(Eλ) ≤ m
ÁLGEBRA
Diagonalização - 8
Diagonalizabilidade
Teorema
Seja T um operador linear num espaço vectorial de dimensão
finita cujo polinómio característico é factorizável.
Sejam λ1, λ2, ..., λk os valores próprios distintos de T. Então
(a) T é diagonalizável se e só se a multiplicidade algébrica de
λi é igual a dim(Eλi) para todo o i:
(b) Se T é diagonalizável e Si é uma base para Eλi para todo o i,
então
β = S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Sk
é uma base para V constituída por vectores próprios de T.
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Diagonalização - 9
Diagonalizabilidade
Teste de diagonalizabilidade
Seja T um operador linear definido em V (dimensão finita)
T é diagonalizável se e só se:
1. O polinómio característico de T é factorizável;
2. A multiplicidade algébrica do valor próprio λi é igual a
n - caract(T - λI) para cada valor próprio λ de T.
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Diagonalização - 10
Subespaços invariantes
Subespaços invariantes
Seja T um operador linear definido em V. Um subespaço W de V
é dito invariante sob T se T(W) ⊆ W, ou seja, se T(x) ∈ W para
todo o x ∈ W.
Subespaços invariantes sob T:
• {O}
• V
• N(T)
• R(T)
• Eλ, para qualquer valor próprio λ
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Diagonalização - 11
Subespaços invariantes
Subespaços invariantes
A existência de um subespaço invariante permite definir um novo
operador cujo domínio é o subespaço.
T: V → V,
W for um subespaço invariante sob T
TW: W → W , a restrição de T a W é um operador linear
O operador TW herda algumas da propriedades do operador T
que lhe dá origem.
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Diagonalização - 12
Teorema de Cayley-Hamilton
Teorema
Seja T: V → V, um operador linear num espaço vectorial V de
dimensão finita e seja f(t) o polinómio característico de T.
Então f(T) = T0 (transformação zero), isto é, T satisfaz o seu
polinómio característico.
Este teorema permanece válido qualquer que seja a representação
para T.
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Diagonalização - 13