colégio israelita brasileiro

TUTORIAL – 11R
Data:
Aluno (a):
Série: 3ª
Ensino Médio
Turma:
Equipe de Matemática
MATEMÁTICA
Função Quadrática
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada
por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns
exemplos de função quadráticas:
1.
2.
3.
4.
5.
f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a
parábola.
0, é uma curva chamada
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida,
ligamos os pontos assim obtidos.
x
y
-3
6
-2
2
-1
0
0
0
1
2
2
6
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
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 se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
 se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Zero e Equação do 2º Grau
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números
reais x, tais que f(x) = 0.
Então, as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2ºgrau ax2 + bx + c
= 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
Observação
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o
radicando
, chamado discriminante, a saber:
 quando
é positivo, há duas raízes reais e distintas;
 quando
é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
 quando
é negativo, não há raiz real.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a
parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
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. Veja os gráficos:
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Imagem
O conjunto-imagem Im, da função y = ax2 + bx + c, onde a
pode assumir. Há duas possibilidades:
1ª - quando a > 0,
0, é o conjunto dos valores que y
a>0
2ª quando a < 0,
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a<0
Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau sem montar a tabela de pares (x, y), mas
seguindo apenas o roteiro de observação seguinte:
1. O valor do coeficiente a define a concavidade da parábola;
2. Os zeros definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x;
3. O vértice V
indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou máximo (se a< 0);
4. A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola;
5. Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c; então (0, c) é o ponto em que a parábola corta o eixo
dos y.
Sinal
Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para
os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante,
 = b2 - 4ac, podem ocorrer os seguintes casos:
1º caso -
>0
Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1
x2). a parábola intercepta
o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
quando a > 0
y>0
(x < x1 ou x > x2)
y<0
x1 < x < x2
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quando a < 0
y>0
x1 < x < x2
y<0
(x < x1 ou x > x2)
2º caso -
=0
quando a > 0
quando a < 0
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3º caso -
<0
quando a > 0
quando a < 0
Forma fatorada da função quadrática
A forma fatorada é um instrumento muito útil no caso de querermos determinar a função quadrática
a partir de seu gráfico. No caso, f(x) = ax2 + bx + c pode ser escrita como f(x) = a(x – x’)(x – x’’), onde x’
e x’’ são as raízes da função.
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Forma Problemas de Máximo e de Mínimo
Geralmente, problemas envolvendo situações onde se pede o valor máximo ou o valor mínimo nos
conduzem a uma função quadrática, pois seu gráfico, a parábola, é uma curva que possui um ponto de
máximo ou um ponto de mínimo. Na função f(x) = ax2 + bx + c, se a > 0 a parábola tem sua concavidade
(abertura) voltada para cima e, consequentemente, possui mínimo.
Se a < 0, a parábola possui concavidade (abertura) voltada para baixo e, consequentemente,
possui ponto de máximo. Tanto o mínimo quanto o máximo ocorrem no vértice da parábola, cujas
coordenadas já vimos como calcular.
Questões
1. (UFRS) A parábola na figura a seguir tem vértice no ponto (- 1, 3) e representa a função quadrática
f(x) = a x2 + b x + c.
Portanto, a + b é
a) - 3.
b) - 2.
c) - 1.
d) 0.
e) 1.
2. (UFSM) Na parede da sala de aula de Manolito, que tem 4 m de
altura e 6 m de largura, será pintado um painel, conforme a figura
apresentada.
O valor de x para que a área hachurada seja máxima é
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
3. (Unesp 2007) A expressão que define a função quadrática f(x), cujo
gráfico está esboçado, é:
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a) f(x) = -2x2 - 2x + 4.
b) f(x) = x2 + 2x - 4.
c) f(x) = x2 + x - 2.
d) f(x) = 2x2 + 2x - 4.
e) f(x) = 2x2 + 2x - 2.
4. (Unifesp) A tabela mostra a distância s em centímetros que uma bola percorre descendo por um
plano inclinado em t segundos.
A distância s é função de t dada pela expressão s(t) = at2+ bt + c, onde a, b, c são constantes. A
distância s em centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a
a) 248.
b) 228.
c) 208.
d) 200.
e) 190.
5. Sobre a função f(x) = ax2 + bx + c, representada no gráfico abaixo, a afirmativa correta é
a) a > 0, b > 0, c > 0
b) a < 0, b < 0, c < 0
c) a < 0, b > 0, c < 0
d) a < 0, b > 0, c > 0
e) a > 0, b < 0, c < 0
6. O lucro de uma Empresa é calculado pela fórmula l(x) = 10(1 - x) (x - 2) em que x é a quantidade
vendida. Podemos afirmar que o lucro é
a) máximo para x = 2
b) positivo para qualquer valor de x
c) positivo para x > 2
d) positivo para 1 < x < 2
e) mínimo para x = 2
7. A empresa SKY transporta 2 400 passageiros por mês da cidade de Acrolândia a Bienvenuto. A
passagem custa 20 reais, e a empresa deseja aumentar o seu preço. No entanto, o departamento de
pesquisa estima que, a cada 1 real de aumento no preço da passagem, 20 passageiros deixarão de
viajar empresa.
Nesse caso, qual é o preço da passagem, em reais, que vai maximizar o faturamento da SKY?
a) 75
b) 70
c) 60
d) 55
e) 50
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8. A função f(x) do segundo grau tem raízes – 3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x),
é igual a 8.
A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é:
a) f(x) = –2(x–1)(x+3)
b) f(x) = – (x–1)(x+3)
c) f(x) = –2(x+1)(x-3)
d) f(x) = (x–1)(x+3)
e) f(x) = 2(x+1)(x–3)
9. (PUC) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se
cada pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um
total de R$2760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição,
receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a
maior possível, o preço unitário, em reais, da inscrição em tal evento deve ser:
a) 15,00
b) 24,50
c) 32,75
d) 37,50
e) 42,50
10. (PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de
certo produto é x – 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada
mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 – x. Nas condições dadas, o lucro
mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor
máximo, na unidade monetária usada, é:
a) 1200
b) 1000
c) 900
d) 800
e) 600
Gabarito
1) A
2) C
3) D
4) D
5) C
6) D
7) B
8) A
9) D
10) C
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