problemas - FCT

Universidade do Algarve
Olimpíadas Concelhias da Matemática
Ensino da Matemática na óptica da resolução de problemas:
Uma parceria entre a Universidade e as Escolas
1. Na figura, [ABCD] é um quadrado e [CDP] é um triângulo equilátero Qual é a
amplitude do ∠CBP?
2. Na figura, os dois triângulos são equiláteros. Qual é a medida do ângulo x?
x
75°
65°
3. No triângulo ABC, a medida do ângulo Ĉ é 60° e a bissectriz do ângulo B̂ forma 70°
com a altura relativa ao vértice A. Qual é a medida do ângulo  ?
B
A
C
4. O triângulo CDE pode ser obtido pela rotação do triângulo ABC de 90o no sentido
anti-horário em torno de C, conforme mostrado no desenho abaixo. Calcula a amplitude
do ângulo α.
B
α
A
D
60
C
O
40
O
E
5. Seja ABC um triângulo e BD uma mediana, tal que AC = 2 BD . Calcula a amplitude
do ângulo ABC.
6. No rectângulo ABCD, o ponto E é o ponto médio do lado BC e o ponto F é o ponto
∧
médio do lado CD. A intersecção de DE com FB é o ponto G. O ângulo EAF mede 20o.
∧
Quanto mede o ângulo EGB ?
D
F
C
G
E
A
B
7. Mostra que a soma dos ângulos internos de um triângulo rectângulo é 180º.
8. Prova que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
9. Justifica que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.
10. Prova que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 540º.
11. Qual é a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados?
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1.
Calcule a área sombreada na figura ao lado, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 16 cm2 de área e que C é o ponto
médio do segmento AB
2.
Calcule a área sombreada na figura ao lado, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 16 cm2 de área e que o segmento
AB está dividido em três partes iguais.
3.
Calcule a área sombreada na figura ao lado, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 16 cm2 de área e que o segmento
AB está dividido em quatro partes iguais.
4.
Calcule a área sombreada na figura ao lado, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 16 cm2 de área e um quarto de
circunferência.
5.
Calcule a área sombreada na figura ao lado, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 16 cm2 de área, um quarto de
circunferência e uma parte de uma diagonal do quadrado.
6.
Calcule a área sombreada na figura, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 9 cm2 de área e por partes de
duas circunferências centradas em vértices do quadrado.
7.
Calcule a área sombreada na figura, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 36 cm2 de área, por partes de
duas circunferências centradas num vértice e no centro do
quadrado.
8.
Calcule a área sombreada na figura, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 36 cm2 de área, por uma
circunferência
inscrita
no
quadrado
e
por
partes
de
circunferências centradas nos vértices do quadrado.
9.
Calcule a área sombreada na figura, sabendo que esta é
composta por um quadrado com 16 cm2 de área e por partes de
circunferências centradas nos pontos médios dos lados do
quadrado.
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1. Qual é o último algarismo do produto dos primeiros 2005 números primos?
2. Considera todos os números primos maiores que 2 e menores que 5000. Qual é o
último algarismo do seu produto?
3. Ao somar cinco números consecutivos na sua calculadora, Esmeralda encontrou
um número de 4 algarismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido, pois o
visor da calculadora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. Este
algarismo só pode ser:
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 9
4. Quantos números de dois algarismos não são primos nem múltiplos de 2, 3 ou 5?
A) 1
B) 3
C) 2
D) 4
E) mais de 4
5. Apresenta todos os números inteiros positivos menores do que 200 que têm
exactamente três divisores positivos. Por exemplo: o número 4 tem exactamente
três divisores positivos: 1, 2 e 4.
6. Quantos números de dois algarismos são primos e têm como antecessor um
quadrado perfeito?
A) 2
B) nenhum
C) 1
7. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5,
7.1.quantos números pares,
7.2.quantos múltiplos de 10,
7.3.quantos múltiplos de 5,
7.4.quantos múltiplos de 3,
7.5.quantos múltiplos de 6,
7.6.quantos múltiplos de 9,
7.7.quantos múltiplos de 4,
7.8.quantos múltiplos de 11,
de três algarismos diferentes se podem formar?
D) 3
E) 6
8. Considera o número de três algarismos abc . Prova que
8.1. abc é par se e só se c é par
8.2. abc é divisível por 3 se e só se a + b + c é divisível por 3
8.3. abc é divisível por 4 se e só se bc é divisível por 4
8.4. abc é divisível por 5 se e só se c é divisível por 5
8.5. abc é divisível por 9 se e só se a + b + c é divisível por 9
8.6. abc é divisível por 10 se e só se c = 0
8.7. abc é divisível por 11 se e só se a + c − b é divisível por 11
9. Determina o menor múltiplo de 84 formado pelos algarismos 6 e 7.
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1. Mostra que a soma de dois números pares é um número par.
2. Justifica que a soma de dois números ímpares é um número par.
3. Porque é que a soma de um número par com um número ímpar é sempre ímpar?.
4. Será que o produto de dois números é par se um dos factores for um número
par?
5. Prova que o produto de números ímpares é sempre ímpar.
6. Determina todos os números primos inferiores a 50.
7. Mostra que se p > 2 é um número primo então p + 5 é um número par.
8. Justifica que se p > 2 é um número primo então p 2 − 1 = ( p + 1)( p − 1) é
múltiplo de quatro.
9. Prova que se p > 2 é um número primo então p 3 − p é múltiplo de doze.
10. Prova que se n é um número natural então n(n + 1)(2n + 1) é múltiplo de seis.
11. Considera o número m = n 2 − n + 41 .
a) Calcula o valor de m para n = 1,2,3,4,5 e verifica que o resultado é um
número primo.
b) Será sempre m um número primo? Porquê?
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1. Dois irmãos herdaram o terreno ABC com a forma de um triângulo rectângulo
em A, e com o cateto AB de 84m de comprimento. Eles resolveram dividir o
terreno em duas partes de áreas iguais, por um muro MN paralelo a AC, como
mostra a figura abaixo. Assinale a opção que apresenta o valor mais aproximado
do segmento BM.
B
N
M
A
A) 55mB) 57m
C
C) 59m
D) 61m
E) 63m
2. Na figura, os triângulos ABC e EGF são equiláteros. O perímetro do triângulo
ABC é 132cm e, além disso, AE = EC, BD = DC, EF = FC e DG = GE.
a) Qual é o perímetro da área sombreada?
b) Que fracção da área do triângulo ABC representa a área sombreada?
B
D
G
A
E
F
C
3. No desenho, o quadrado ABCD tem área de 30 cm2 e o quadrado FHIJ tem área
de 20 cm2. Os vértices A, D, E, H e I dos três quadrados pertencem a uma
mesma recta. Calcule a área do quadrado BEFG.
4. Uma folha rectangular ABCD de área 1000 cm2 foi dobrada ao meio e em
seguida desdobrada (segmento MN); foi dobrada e desdobrada novamente
(segmento MC) e finalmente, dobrada e desdobrada segundo a diagonal BD.
Calcule a área do pedaço de papel limitado pelos três vincos (região escura no
desenho).
5. No desenho, os quadriláteros ABCD, EFAG e IAJH são rectângulos e H é ponto
médio de AE. Calcule a razão entre a área do rectângulo ABCD e a do triângulo
AHI.
A
J
G
D
I
F
B
H
E
C
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6. Num quadrado [ABCD] de lado 1 cm, marcam-se os pontos P e Q sobre os lados
[BC] e [CD], respectivamente, de forma a que PC = 3PB e QD = 2QC . Sendo
M o ponto de intersecção de [AQ] com [PD], determina a área do triângulo
[QMD].
7. Duas escadas estão apoiadas na vertical, numa passagem estreita, entre dois
edifícios verticais. As extremidades superiores das escadas estão a 8 metros e a 4
metros do pavimento. Encontre a altura do ponto em que se cruzam (T) sobre o
pavimento.
T
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