Aula 14 - Professores da UFF

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Cı́rculo
MÓDULO 1 - AULA 14
Aula 14 – Cı́rculo
Objetivos
• Determinar a equação do cı́rculo de centro C e raio r, como um lugar
geométrico.
• Aprender os conceitos de retas tangente e normal num ponto P de
um cı́rculo.
• Esboçar o gráfico do cı́rculo a partir da sua equação.
• Identificar os pontos do plano interiores ou exteriores a um cı́rculo.
Conceitos:
Números reais, reta real,
potências de números reais,
sistema de coordenadas
cartesianas e distâncias.
Referências:
Aulas 7, 8, 9, 13 e 14.
Na nossa civilização há vários mecanismos e objetos construı́dos com
a forma circular, tais como: relógios, rodas, moedas, aros de cestas de basquete etc. Nos parques de diversões também nos deparamos com cı́rculos, no
carrossel e na roda gigante.
O cı́rculo de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do
plano cuja distância ao ponto C é r.
Figura 14.1: Cı́rculo de centro C e raio r.
Observe que 2 pontos do cı́rculo, situados sobre uma reta passando pelo
centro C, estão a uma distância 2r. Estes pontos são ditos diametralmente
opostos. O diâmetro do cı́rculo é o valor 2r.
Como encontrar a equação que relaciona as coordenadas x e y de um
ponto P qualquer do cı́rculo?
Primeiramente, fixamos um sistema de coordenadas. Seja P = (x, y)
um ponto do cı́rculo de centro C = (h, k) e raio r > 0. Então,
p
d(P, C) = r ⇐⇒
(x − h)2 + (y − k)2 = r
⇐⇒ (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 .
207
CEDERJ
Cı́rculo
Portanto, o cı́rculo de centro (h, k) e raio r, tem equação
(x − h)2 + (y − k)2 = r 2 .
Desenvolvendo os quadrados desta equação, obtemos a equação
equivalente:
x2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 = r 2 .
O gráfico do cı́rculo é o conjunto
Graf = {(x, y) | (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 }.
Exemplo 14.1
A equação do cı́rculo de centro C = (0, 0) e raio r é x2 + y 2 = r 2 . Observe que
os pontos (r, 0), (−r, 0), (0, r) e (0, −r) são pontos deste cı́rculo. A Figura
14.2 ilustra o gráfico deste cı́rculo.
Figura 14.2: Cı́rculo de centro (0, 0) e raio r.
Exemplo 14.2
A equação (x+3)2 +(y −2)2 = 5 representa um cı́rculo de centro C = (−3, 2)
√
e raio r = 5.
Exemplo 14.3
A equação x2 + y 2 + 4x − 2y − 11 = 0 é de um cı́rculo. De fato, reescrevemos
esta equação como:
(x2 + 4x) + (y 2 − 2y) − 11 = 0 ⇐⇒
(x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒
((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 16 ⇐⇒
(x − (−2))2 + (y − 1)2 = 42 .
Observe que a primeira equivalência foi obtida completando os quadrados dos
polinômios nas variáveis x e y. Portanto, o centro do cı́rculo é C = (−2, 1)
e o raio é r = 4.
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Cı́rculo
MÓDULO 1 - AULA 14
Exemplo 14.4
Que subconjuntos do plano representam as equações
x2 + y 2 + 4x − 2y + 5 = 0 e
x2 + y 2 + 4x − 2y + 6 = 0?
Veremos que estes conjuntos não são cı́rculos. De fato, as duas equações
diferem da equação do exemplo anterior apenas no termo independente de x
e y, isto é, a constante. Procedendo de maneira análoga ao exemplo anterior,
completamos os quadrados nas duas equações, olhando para os polinômios
nas variáveis x e y:
e
(x2 + 4x) + (y 2 − 2y) + 5 = 0 ⇐⇒
(x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒
((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 0 ,
(x2 + 4x) + (y 2 − 2y) + 6 = 0 ⇐⇒
(x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒
((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒
(x + 2)2 + (y − 1)2 = −1 .
Como a soma de quadrados de números reais é sempre um número real maior
ou igual a zero, temos que a única solução da primeira equação é x + 2 = 0
e y − 1 = 0 e não há solução, em pares de números reais, para a segunda
equação. Logo, apenas o ponto (−2, 1) é solução da primeira equação e não
há solução em pares (x, y) de números reais, para a segunda equação, isto é,
o conjunto solução da segunda equação é o conjunto vazio.
Cuidado!
Como acabamos de verificar, a equação x2 + y 2 + ax + by + c = 0 nem
sempre representa um cı́rculo, podendo representar um único ponto ou o
conjunto vazio. Para determinar que subconjunto do plano esta equação representa, vamos completar os quadrados, repetindo o que foi feito no exemplo
anterior:
x2 + y 2 + ax + by + c = 0
a2 a
b2 b2
2
2
x + ax +
+ y + by +
+c=0
−
−
4
4
4
4
a 2
b 2 a2 b2
x+
−
−
+c=0
+ y+
2
2
4
4
b 2 a2 b2
a 2
+
−c
+ y+
x+
=
2
2
4
4
a 2
b 2 a2 + b2 − 4c
x+
+ y+
=
.
2
2
4
2
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
209
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Cı́rculo
Agora, podemos responder à pergunta. Qual o subconjunto do plano
C=
C = { (x, y) | x2 + y 2 + ax + by + c = 0 }?

a

b


o ponto P = − , −
,
se a2 + b2 − 4c = 0


2
2
o cı́rculo de centro C e raio r, se a2 + b2 − 4c > 0




o conjunto vazio,
se a2 + b2 − 4c < 0.
No segundo caso, observe que os parâmetros do cı́rculo são:
√
a2 + b2 − 4c
a
b
centro C = − , −
e raio r =
.
2
2
2
Em cada ponto P de um cı́rculo, considere a reta n que passa pelo centro
C e pelo ponto P . Esta reta é dita normal ao cı́rculo no ponto P . A reta t,
perpendicular à reta n passando pelo ponto P , é dita tangente ao cı́rculo no
ponto P .
Figura 14.3: Retas tangente e normal ao cı́rculo no ponto P .
Exemplo 14.5
Vamos determinar as equações das retas horizontais e tangentes ao cı́rculo
de centro C = (−2, 2) e raio r = 3.
A equação deste cı́rculo é (x − (−2))2 + (y − 2)2 = 9, que é equivalente a
(x + 2)2 + (y − 2)2 = 9. As retas tangentes horizontais são perpendiculares
à reta vertical s que passa pelo centro C = (−2, 2). A equação da reta s é
x = −2. Para determinar a interseção do cı́rculo com a reta s, substituı́mos
a equação de s na equação do cı́rculo. Para isto, fazemos x = −2 na equação
do cı́rculo, obtendo:
(−2 + 2)2 + (y − 2)2 = 9 ⇐⇒ (y − 2)2 = 9, extraindo a raiz quadrada,
⇐⇒ |y − 2| = 3
⇐⇒ y − 2 = 3 ou y − 2 = −3
⇐⇒ y = 5 ou y = −1.
Portanto, os pontos do cı́rculo que estão na reta s são (−2, 5) e (−2, −1). As
retas tangentes ao cı́rculo passando por estes pontos são horizontais e têm
equações y = 5 e y = −1.
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Cı́rculo
MÓDULO 1 - AULA 14
Exemplo 14.6
Fixemos o cı́rculo C de centro C = (1, 2) e raio 3, cuja equação é
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 9.
Os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 6= 9 não estão no cı́rculo C.
Por exemplo, os pontos A = (−1, 3) e B = (2, 5) têm esta propriedade, pois:

5, se (a, b) = (−1, 3)
(a − 1)2 + (b − 2)2 =
10, se (a, b) = (2, 5).
Faça um desenho de C e observe que A está no interior de C e que B está no
exterior de C.
Os pontos P = (a, b) tais que (a−1)2 +(b−2)2 < 9 são ditos pontos interiores
ao cı́rculo C. Por outro lado, os pontos P = (a, b) tais que (a−1)2 +(b−2)2 > 9
são ditos pontos exteriores ao cı́rculo C.
Todo cı́rculo divide o plano em duas partes, chamadas interior e exterior
do cı́rculo.
Se a equação do cı́rculo é (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 e P = (x0 , y0 ), então
• P está no interior do cı́rculo
• P está no cı́rculo
• P está no exterior do cı́rculo
⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 < r 2 .
⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 = r 2 .
⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 > r 2 .
Exemplo 14.7
Na figura ao lado, esboçamos o gráfico
do cı́rculo de centro C = (−2, 1) e raio
r = 52 , cuja equação é
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 25
.
4
O ponto A = (−2, 3) está no interior do
cı́rculo e o ponto B = (1, 2) está no exterior do cı́rculo.
Dê outros exemplos de pontos situados
no interior e exterior deste cı́rculo.
Curiosidade:
Figura 14.4:
Cı́rculo de centro
5
(−2, 1) e raio 2 .
Outras curvas planas podem ser construı́das a partir do cı́rculo. Vejamos alguns exemplos interessantes.
211
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Cı́rculo
Exemplo 14.8
A ciclóide é a curva descrita por um ponto fixado no cı́rculo, que rola,
sem deslizar, em linha reta. Esta curva pode ser observada, se um ponto é
marcado no pneu de uma bicicleta. Na figura a seguir, ilustramos a ciclóide
descrita por um ponto P fixado no cı́rculo de raio r = 1. Inicialmente, o
ponto P é o ponto de contato do cı́rculo com a reta.
Figura 14.5: Ciclóide com raio r = 1.
Exemplo 14.9
Consideremos dois cı́rculos de raios r e R com r < R e fixemos um ponto P
no cı́rculo de raio menor. Quando o cı́rculo de raio menor rola, sem deslizar,
no interior do cı́rculo de raio maior, conforme mostra a Figura 14.6, o ponto
R
P descreve uma curva plana. Quando r = , a curva descrita pelo ponto P
2
é um segmento de reta. Veja a Figura 14.7.
Figura 14.6: Cı́rculo menor rolando den- Figura 14.7: Ponto P descrevendo um segmento se r = R2 .
tro do maior.
R
, a curva descrita pelo ponto P é chamada hipociclóide. A
2
R
R
hipociclóide, nos casos r = e r = , é conhecida como deltóide e astróide,
3
4
Quando r <
respectivamente.
R
Escolhendo r = , onde n é um inteiro positivo, verificamos que este pron
cesso permite dividir o cı́rculo de raio R em n partes iguais. Desta maneira,
podemos construir um polı́gono regular de n lados.
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Cı́rculo
Figura 14.8: Deltóide, r =
R
3.
Figura 14.9: Astróide, r =
MÓDULO 1 - AULA 14
R
4.
Resumo
Você aprendeu a determinar a equação do cı́rculo, a partir do raio
r e das coordenadas (h, k) do centro C; a esboçar o gráfico do cı́rculo; a
determinar as coordenadas do centro e do raio, a partir da equação do cı́rculo;
a determinar a reta tangente e a reta normal em um ponto do cı́rculo e
a determinar a posição relativa de um ponto do plano com respeito a um
cı́rculo.
Exercı́cios
1. Escreva a equação do cı́rculo de centro C e raio r dados:
(a) C = (3, 4) e r = 2.
(b) C = (1, −3) e r =
√
3.
(c) C = (−2, 3) e r = 4.
√
(d) C = (−2, −1) e r = 6.
√
(e) C = (0, 0) e r = 8.
2. Determine o centro e o raio do cı́rculo de equação dada:
(a) x2 + y 2 − 4x + 6y + 4 = 0
(b) x2 + y 2 + 6x = 0
(c) x2 + y 2 − 10x + 6y + 4 = 0
(d) x2 + y 2 + x + y − 1 = 0
(e) 9x2 + 9y 2 − 6x + 12y − 31 = 0
213
CEDERJ
Cı́rculo
(f) 2x2 + 2y 2 − x + y − 3 = 0
3. Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano são cı́rculos. Caso
afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o
subconjunto.
(a) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 2x + 4y − 3 = 0}.
(b) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 4x + 6y + 9 = 0}.
(c) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 6x − 10y − 2 = 0}.
(d) S = {(x, y)| 4x2 + 4y 2 − 4x + 8y − 23 = 0}.
(e) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 10x − 14y + 25 = 0}.
(f) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 2x + 4y − 7 = 0}.
(g) S = {(x, y)| 4x2 + 4y 2 − 4x + 8y − 20 = 0}.
4. Determine a equação do cı́rculo tal que A = (4, −3) e B = (−2, 7) são
pontos diametralmente opostos.
5. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos A e B do
exercı́cio anterior. Com um compasso e uma régua, sem escala, construa o ponto médio do segmento AB (Veja exercı́cio 10 da Aula 14).
Agora desenhe o cı́rculo.
6. Determine a equação do cı́rculo que satisfaz a propriedade dada:
(a) Tangente a ambos os eixos coordenados, centro no primeiro quadrante e raio 2.
(b) Centro em (−4, 6) passando por (1, 2).
(c) Passa pelos pontos (1, 1), (1, −2) e (2, 3).
7. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos do item (c)
do exercı́cio anterior. Usando apenas régua sem escala e compasso,
determine o centro do cı́rculo que passa por estes pontos, e depois
desenhe o cı́rculo.
8. Escreva a equação da reta tangente ao cı́rculo x2 +y 2 +14x+18y−39 = 0
no ponto do segundo quadrante deste cı́rculo, tal que x = −2.
9. Encontre a equação da reta tangente ao cı́rculo x2 + y 2 = 180 que tem
inclinação 2.
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214
Cı́rculo
MÓDULO 1 - AULA 14
10. Encontre os pontos de interseção dos cı́rculos com equações
x2 + y 2 − 2x = 0 e x2 + y 2 − 3y = 0.
11. Mostre que o cı́rculo x2 + y 2 + ax + by + c = 0 é tangente ao eixo x se,
e somente se, 4c = a2 .
12. Determine o centro e o raio do cı́rculo que passa pelos pontos dados:
(a) P1 = (−2, −3), Q1 = (4, −1) e R1 = (2, −2).
(b) P2 = (−1, 4), Q2 = (4, 6) e R2 = (0, −7).
13. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos dos itens (a)
e (b) do exercı́cio anterior. Usando apenas uma régua sem escala e
um compasso, determine os centros C1 e C2 dos cı́rculos do exercı́cio
anterior e desenhe-os.
14. Determine as retas tangentes ao cı́rculo x2 + y 2 = 4 que passam pelo
√ √
ponto (4 2, 2 2).
15. Um ponto P do plano se move de modo que a soma dos quadrados
de suas distâncias a dois pontos fixos A e B é uma constante
k > 0. Determine a equação do lugar geométrico descrito pelo ponto
P e identifique-o.
Sugestão: Seja a = d(A, B). Considere o sistema de coordenadas com
o eixo x sendo a reta que passa por A e B, com origem A e orientada de
A para B. Neste sistema de coordenadas, temos A = (0, 0), B = (a, 0)
e P = (x, y). Você deve considerar os casos: k <
a2
a2
a2
,k=
ek> .
2
2
2
16. Esboce os seguintes subconjuntos do plano:
(a) A = { (x, y) | (x − 2)2 + (y − 3)2 > 1 }.
(b) B = { (x, y) | (x − 4)2 + (y − 3)2 < 2 }.
(c) C = { (x, y) | (x − 2)2 + (y − 3)2 ≤ 4 }.
(d) D = A ∩ B.
(e) E = A ∩ C.
17. Considere os seguintes conjuntos:
A = {(x, y)| x2 + (y − 1)2 = 4}.
B = {(x, y)| (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1}.
215
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Cı́rculo
C = {(x, y)| x + y = 1}.
Determine os subconjuntos do plano: A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C.
18. Desafio:
Considere 2 cı́rculos de raios r e R. Quando o cı́rculo de raio r rola, sem
deslizar, no exterior do cı́rculo de raio R, um ponto P fixado no cı́rculo
do exterior descreve uma curva plana chamada epiciclóide. Considere,
inicialmente, o ponto P como o ponto de contato dos 2 cı́rculos.
(a) Visualize as curvas nos casos em que r = R, r =
r=
R
. A primeira curva é chamada cardióide.
4
R
R
, r =
e
2
3
(b) O que podemos afirmar sobre o ponto P , quando r = aR e a é um
número racional?
Sugestão: escreva a =
primos entre si.
p
, com p e q números inteiros positivos
q
(c) O que podemos afirmar sobre o ponto P , quando r = aR e a é um
número irracional?
Auto-avaliação
Você deve prosseguir apenas se souber identificar a equação de um
cı́rculo, determinando as coordenadas do centro e o raio. Sabe localizar
pontos do plano com respeito a um cı́rculo? Os exercı́cios consolidam os
conceitos aprendidos e os relacionam com outras áreas do conhecimento!
Para melhorar a sua aprendizagem faça muitos exercı́cios. Vamos para a
Aula 18 conhecer as belas propriedades da parábola.
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