Lógica Matemática

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Lógica
A Lógica surge na sua expressão primeira, na obra do filósofo
grego Aristóteles (séc. IV a.C.), como uma “Analítica” das
formas da linguagem através das quais se poderia concluir
certas afirmações a partir de certas teses estabelecidas.
Lógica Matemática
Breve Histórico, Definições
e Conceitos Básicos
O que hoje podemos chamar de “Lógica”, enquanto atividade
teórica da investigação, é bastante amplo e, até certo ponto,
variável conforme a perspectiva teórica que se possa assumir.
Uma definição razoável seria:
Fábio Gondim
Lógica é o estudo sistemático do pensamento que permite
construir raciocínios válidos, e que possibilita distinguir os
argumentos corretos dos incorretos.
[email protected]
http://fabio.iesp.googlepages.com
2
Uma boa explicação contida na Wikipédia
(http://pt.wikipedia.org )
“A lógica é uma ciência de índole matemática e
fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é
a manifestação do conhecimento, e que o
conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer
algumas regras para que essa meta possa ser
atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que
cuida das regras do bem pensar, ou do pensar
correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A
aprendizagem da lógica não constitui um fim em si.
Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que
nosso pensamento proceda corretamente a fim de
chegar a conhecimentos verdadeiros. (continua...)
Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos,
isto é, das conclusões a que chegamos através da
apresentação de evidências que a sustentam. O principal
organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra
chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e
material.
A Lógica Formal, também chamada de Lógica Simbólica,
preocupa-se, basicamente, com a estrutura do raciocínio.
A Lógica Formal lida com a relação entre conceitos e
fornece um meio de compor provas de declarações. Na
Lógica Formal os conceitos são rigorosamente definidos, e
as sentenças são transformadas em notações simbólicas
precisas, compactas e não ambíguas.” (...)
Para ler o resto do artigo visite o endereço:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica (com acento)
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Personagens e Períodos Históricos
Lógica: surgimento da palavra
Período Aristotélico ( +/- 390 a +/- 1840 d.C.)
Aristóteles (384 - 322 a.C)
Gottfried Leibniz (1646-1716)
Originada na Filosofia grega, onde:
Logos
Linguagem-discurso e pensamentoconhecimento.
Período Booleano (+/- 1840 a +/- 1910)
George Boole (1815-1864)
Augustus de Morgan (1806-1871)
Gotlob Frege (1848-1925)
Giuseppe Peano
Conduziu os filósofos a indagarem se o logos
obedecia ou não a regras, possuía ou não normas,
princípios e critérios para o seu funcionamento.
Lógica
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Período atual (1910-...)
Bertrand Russel (1872-1970)
David Hilbert (1862-1943)
Kurt Gödel (1906-1978) , Tarski (1902-)
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Conceitos Básicos
Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional
Proposição:
Na lógica proposicional é uma expressão, verbal ou
simbólica, suscetível de ser dita verdadeira ou falsa. É,
portanto, todo o conjunto de palavras ou símbolos que
exprimem um pensamento de sentido completo. Para tanto
deve ser uma declaração afirmativa ou negativa não
podendo ser imperativa, exclamativa ou interrogativa.
A lógica matemática adota como regras fundamentais os
seguintes princípios ou axiomas:
(I) PRINCÍPIO DA IDENTIDADE - Aquele que afirma a
identidade de determinada coisa com ela mesma. Pode ser
assim enunciado: Toda coisa é o que é.
(II) PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: Uma proposição não
pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Ex: O ano de 2008 é bissexto.
Não foi concluída a obra.
“Joaquim, vá estudar sua lição” é imperativa logo não é uma
proposição. “Qual foi o resultado da loteria?” é interrogativa logo,
também não é uma proposição.
(III) PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Qualquer
proposição é verdadeira ou falsa, não podendo ser nada mais
do que isso.
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Proposição simples ou atômica:
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Proposição composta ou molecular:
É aquela que não contém nenhuma outra
proposição como parte integrante de si
mesma.
É aquela que contém pelo menos uma outra
proposição mais simples que ela mesma.
Exemplo:
Exemplos:
Pedro estuda e trabalha.
1) A lua é quadrada.
Equivale a:
2) A lua é redonda.
Pedro estuda e Pedro trabalha.
Veja pelos exemplos acima que uma
proposição pode ser falsa (A lua é quadrada)
ou verdadeira (A lua é redonda).
É a conjunção de duas proposições simples,
logo a conclusão dependerá do resultado de
ambas.
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Modos de Negação de uma proposição:
Proposição fechada:
É aquela que podemos garantir com toda
certeza que é verdadeira ou que é falsa.
Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo:
Jorge gosta de mamão.
Jorge não gosta de mamão.
Ex.: 5 + 5 = 10.
Retirando-se a negação antes do verbo:
Proposição aberta:
Paulo não é dentista.
É aquela que contém uma variável, um
elemento desconhecido, e, portanto não
podemos tirar nenhuma conclusão sobre o
seu resultado.
Paulo é dentista.
Substituindo-se um termo da proposição por um
antônimo:
A casa é bonita.
Ex.: x + 5 = 10.
A casa é feia.
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2
Negação de “Todo”:
Negação de “Nenhum”:
Considere a afirmação:
Considere a afirmação:
Todo gato come alface.
Nenhum gato come alface.
Se você quiser negar esta afirmação não deverá
argumentar que nenhum gato come alface. Existindo um
gato que não come alface já muda o resultado da
afirmação feita.
Se você quiser negar esta afirmação não deverá
argumentar que todo gato come alface. Existindo um
gato que coma alface já muda o resultado da afirmação
feita.
Portanto a negação será:
Portanto a negação será:
Algum gato não come alface.
Algum gato come alface.
Ou se preferir:
Ou se preferir:
Pelo menos um gato não come alface.
Pelo menos um gato come alface.
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Negação de “Algum”:
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Argumento:
Considere a afirmação:
Algum gato come alface.
Está sendo argumentado que pelo menos um gato
come alface. Neste caso será necessário que nenhum
gato coma alface para negar a afirmação que pelo
menos um o faz.
Portanto a negação será:
Raciocínio, indício ou prova pelo qual se tira
uma conseqüência ou dedução (Dicionário
Aurélio).
Um argumento é um conjunto de proposições
em que se pretende justificar ou defender
uma delas, a conclusão, com base nas
outras, que se chamam premissas.
Nenhum gato come alface.
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Um paradoxo que é muito encontrado em livros e sites da internet (com
pequenas variações) é o paradoxo da prova surpresa:
Paradoxo (antinomia):
Considere a sentença:
“Imagine que o período letivo acabe no próximo dia 30. Dez dias antes,
o professor ameaça os alunos, dizendo que até o fim desse período
letivo haverá uma prova surpresa.”
Esta sentença não é verdadeira.
Há duas opções: A sentença é verdadeira ou é falsa.
Suponha que a sentença seja verdadeira. Então,
chegamos ao resultado de que a sentença é falsa.
Agora suponha que a sentença seja falsa. Então,
contraditoriamente chegamos ao resultado de que a
sentença é verdadeira.
Em ambos os casos, chega-se a conclusão de que a
sentença é verdadeira e falsa.
Este tipo de paradoxo ficou conhecido como paradoxo do
mentiroso e foi descoberto pelo filósofo grego Eubúlides
de Mileto (384-322 a.C.).
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“Porém é impossível a aplicação dessa prova surpresa: a prova não
pode ser no dia 30, que é o último dia de aula, pois, no fim do dia 29,
não havendo ela ocorrido, ainda, os alunos já saberiam que a prova
seria no dia 30 (e assim não seria mais surpresa). Sendo assim, o dia
29 passa a ser o último dia possível para que o professor aplique uma
prova surpresa. Mas então, no fim do dia 28, os alunos já saberão que a
prova seria no dia 29, e ela deixaria de ser surpresa. Esse raciocínio
pode ser estendido dia por dia, de forma que não resta ao professor
nenhum dia para a aplicação de uma prova realmente surpresa.”
Por este raciocínio é impossível a aplicação da prova surpresa, mas se
ela for aplicada no dia 25, por exemplo, terá sido sim uma surpresa,
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pois os alunos não sabiam que seria naquele dia.
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Paradoxo (definição):
“São raciocínios em que se parte de enunciados nãocontraditórios, mas as conclusões feitas são
contraditórias. Um paradoxo demonstra tanto a
veracidade quanto a falsidade de um argumento.”
Henrique Rocha no livro Raciocínio Lógico
(ver bibliografia)
De acordo com o dicionário Aurélio:
1.Conceito que é ou parece contrário ao comum; contrasenso, absurdo, disparate. (...)
5.Lóg. Dupla implicação entre uma proposição e sua
negação, que caracteriza uma contradição insolúvel. (...)
6.Lóg. Dificuldade na conclusão de um raciocínio, seja
pela vaguidade dos termos das suas proposições, seja
pela insuficiência dos instrumentos lógicos formais. (...)
Sentenças auto-referentes:
Assim como as sentenças imperativas,
exclamativas e interrogativas, as sentenças
auto-referentes, que se referem ao seu
próprio valor verdade, também, devem ser
evitadas. Este tipo de sentença pode resultar
em paradoxos e impedir a atribuição de um
valor verdade, como visto anteriormente no
exemplo: “Esta sentença é falsa”.
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Ambigüidade:
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Alguns Tipos de Raciocínios
Segundo o dicionário Aurélio:
1.Qualidade ou estado de ambíguo. (...)
4.Lóg. Sofisma verbal.
O saco de feijões de Peirce
Ambíguo:
1.Que se pode tomar em mais de um sentido;
equívoco. (...)
Ex: Considera a sentença abaixo:
Vejo uma amiga na praia com os meus binóculos.
Quem está com os binóculos? O interlocutor ou a
amiga dele? Veja que a frase fica aberta a duas
interpretações. É ambígua.
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Dedução
Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.
Caso: Estes feijões provêm deste saco.
Resultado: ?
Alguns Tipos de Raciocínio
Os exemplos, a seguir,
foram
empregados
pelo filósofo, cientista
e matemático norteamericano, Charles
Sanders Peirce (18391914) .
Indução
Regra: Estes feijões provêm deste saco.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: ?
Abdução
Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: ?
PEIRCE C. S. Collected Papers of
Charles Sanders Peirce, edição de
Charles Hartshorne, Paul Weiss e
Arthur W. Burks, 8 vol., Cambridge
(Massachusetts), Harvard University
Press, 1931-1966.
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Dedução (O resultado representa uma certeza)
Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.
Caso: Estes feijões provêm deste saco.
Resultado: Estes feijões são brancos.
Dedução (O resultado representa uma certeza)
Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.
Caso: Estes feijões provêm deste saco.
Resultado: Estes feijões são brancos.
Indução (O resultado representa uma probabilidade)
Regra: Estes feijões provêm deste saco.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: Todos os feijões deste saco são brancos.
Indução (O resultado representa uma probabilidade)
Regra: Estes feijões provêm deste saco.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: Todos os feijões deste saco são brancos.
Abdução ou Apagogia (O res. rep. uma hipótese)
Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: Estes feijões provêm deste saco.
Abdução ou Apagogia (O res. rep. uma hipótese)
Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: Estes feijões provêm deste saco.
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Dedução
Indução
Geral: Todos os feijões deste saco são brancos.
Particular: Estes feijões provêm deste saco.
Resultado: Estes feijões são brancos.
Regra: Estes feijões provêm deste saco.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: Todos os feijões deste saco são brancos.
Na dedução a partir de um conjunto de proposições,
chamadas premissas, se tira, por inferência, uma
outra, chamada conclusão.
Neste tipo de raciocínio se caminha do geral para o
particular, do todo para a parte, para daí chegar a um
resultado.
Em um argumento dedutivo válido, se as premissas
forem verdadeiras é impossível que a conclusão seja
falsa. Analise o exemplo acima e verifique que se as
duas primeiras proposições forem verdadeiras a
conclusão também será.
Neste tipo de raciocínio a verdade das premissas não basta
para assegurar a verdade da conclusão. Apesar de haver uma
relação entre as premissas, note que o fato de ter tirado
apenas feijões brancos não garante que todos os feijões no
saco sejam da mesma cor. No entanto, quanto maior a
amostra de feijões exclusivamente brancos retirados do saco
maior a probabilidade da conclusão acima ter sido correta.
Mas certeza absoluta só teremos se tirarmos todos os feijões
do saco. Neste curso veremos a lógica proposicional que não
trata deste tipo de problema. Este tipo de raciocínio é
estudado na estatística e outros tipos de lógica (ex.: lógica de
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predicados).
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Silogismo: noções básicas
Abdução
Regra: Todos os feijões deste saco são brancos.
Caso: Estes feijões são brancos.
Resultado: Estes feijões provêm deste saco.
Veja que analisadas as duas premissas iniciais não existe
nenhuma relação que comprove a conclusão. Podemos
chegar, apenas, a conclusão que é possível que os feijões
provenham do saco, e levantarmos uma hipótese que deverá
ser investigada.
A abdução é o processo de criação de uma hipótese
explicativa. É a única operação lógica que apresenta uma
idéia nova. A Dedução prova que algo deve ser; a Indução
mostra a probabilidade de ser; a Abdução simplesmente
sugere que alguma coisa pode ser.
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Silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo em
que, partindo-se de certas informações, infere-se
uma determinada conclusão. Nos silogismos
categóricos, formais ou regulares são postas duas
proposições, chamadas premissa maior e
premissa menor, e delas, por inferência, se tira
uma terceira, chamada conclusão. A premissa
maior é a premissa geral de maior extensão e que
vem geralmente citada primeiro. A premissa menor
é a premissa mais particular que vem geralmente
em segundo.
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5
Silogismo
Falácia: Paralogismos e Sofismas
Exemplo clássico:
Premissa maior: Todos os homens são mortais;
Premissa menor: Sócrates é homem;
Conclusão: Sócrates é mortal.
Ou seja:
Quando são dadas as seguintes proposições:
Todos os homens são mortais.
Sócrates é homem.
A conclusão a que podemos chegar é:
Sócrates é mortal.
Falácia é um falso raciocínio lógico com aparência de
verdadeiro. O termo deriva do verbo latino fallere, que
significa enganar. Algumas falácias são cometidas
involuntariamente e, neste caso, são denominadas
paralogismos; outras, elaboradas com o objetivo de
confundir, são denominadas sofismas. As falácias podem
ser elaboradas com base em premissas falsas ou
premissas verdadeiras que, por representarem casos
específicos (e não gerais), não podem ser generalizadas.
Ex.:
Premissa 1: Eu sou mortal;
Premissa 2: Sócrates é mortal;
Conclusão: Todos os homens são mortais.
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32
Bibliografia
Estes livros fazem parte do
acervo de nossa biblioteca.
• ABE, Jair Minoro; SCALZITTI, Alexandre; FILHO, João I. da Silva.
Introdução à lógica para a ciência da computação. São Paulo: Arte &
Ciência, 2002.
• ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. São Paulo:
Nobel, 2002.
• AZEREDO, Vânia Dutra de. Introdução à Lógica. 3. ed. Ijuí: Unijuí, 2004.
• DAGHLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4. ed. São Paulo: Atlas,
2006.
• ROCHA, Enrique. Raciocínio lógico. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006.
• SILVA, Flávio S. Corrêa da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. Vieira de.
Lógica para computação. São Paulo: Thompson Learning, 2006.
• SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da computação.
Rio de Janeiro: Elsevier, 2002.
33
• Notas de Aulas do Professor Edson Holanda.
• Novo Dicionário Eletrônico Aurélio versão 5.11a.
• Pesquisas em sites voltados para o estudo da Filosofia, Lógica, Matemática
e Computação.
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