Lugares Geométricos - Aprende Matemática

8. Indica uma equação da circunferência de centro C→ (5 , − 9 ) e tangente ao eixo
Matemática
Ficha de Trabalho
das abcissas.
Lugares Geométricos - 10º ano
9. Define uma equação da circunferência tal que:
a) o centro é o ponto C→ (3 , − 4 ) e passa pela origem do referencial;
1. Determina num referencial ortonormado, as coordenadas dos pontos da recta
b) um diâmetro é o segmento [AB], onde A→ (− 2 , 5) e B→ (8 , − 1) .
x = 3 cuja distância ao ponto P→ (3 , − 2) é 5.
2. Calcula as coordenadas dos pontos da bissectriz dos quadrantes ímpares cuja
distância ao ponto A→ (5 , − 1) é 6.
10. Considera a circunferência
(x − 1)
2
+ ( y − 5) = 36
2
Determina os pontos de intersecção da circunferência com:
a) os eixos coordenados;
b) a recta x = −5 ;
3. Considera o ponto A→ (− 1 , − 4 ) .
Encontra as coordenadas de dois pontos do eixo dos yy que distem de A 3
c) a recta
y = 3;
d) a bissectriz dos quadrantes pares;
unidades.
e) a bissectriz dos quadrantes ímpares.
4. Dados os pontos: A→ (− 2 , 3) e B→ (4 , − 1) .
a) Define algebricamente o conjunto dos pontos equidistantes de A e de B.
11. Considera a circunferência de equação:
b) O ponto C→ (2 , 2 ) pertence ao conjunto definido na alínea a)? Justifica.
c) Determina a ∈ ℜ, de modo que o ponto D→
(a
2
+ 3a , a 2 + 5a ) pertença à
a) Determina as coordenadas do seu centro e o valor do raio.
1 3
,− 
3 2
b) Verifica as posições dos pontos A (−1 , 3) e B→ 
mediatriz de [AB].
5. Sendo P→
4 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 8 y = 12
(k − 5 , − k)
e Q→ (8 , − 5) , determina k ∈ ℜ, de modo que o ponto
relativamente à
circunferência.
T→ (3 , − 1) seja o ponto médio de [PQ].
12. Averigua se as equações seguintes representam ou não circunferências e, em
6. Determina a intersecção da recta
y = 3 x + 2 com a mediatriz do segmento de
caso afirmativo, indica o respectivo centro e raio.
a)
x 2 + y 2 − 2x + 4 y + 5 = 0
b)
x 2 + y 2 − 10 x + 12 y = 3
7. Considera num referencial o.n. os pontos A→ (3 , 2 ) ; B→ (− 3 , 2 ) e C→ (1 , 0 ) .
c)
2 x 2 + 2 y 2 + 12 x − 4 y + 16 = 0
a) Verifica se o triângulo [ABC] é rectângulo.
d)
3x 2 + 3 y 2 − 6 x − 18 y = 51
b) Escreve uma equação da circunferência de centro A e que passa por C.
e)
x 2 + y 2 − 10 x − 4 y = −45
recta de extremidades
(1 , 0) e (4 , 2) .
c) Determina o ponto de intersecção das mediatrizes dos segmentos [BC] e [AC].
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13.
Determina
os
valore
de
∈
k
ℜ,
de
modo
que
a
expressão
x + y − 8 x + 10 y + k = 0 represente:
2
20. Define analiticamente o conjunto dos pontos do plano a sombreado.
2
a) um ponto;
b) uma circunferência;
a)
b)
c)
d)
e)
f)
c) o conjunto vazio;
d) uma circunferência de raio 5.
x 2 + y 2 − mx + (m + 2) y = 5 − m 2 , sendo o
14. Determina o raio da circunferência
centro o ponto C→ (0 , − 1) .
15. Mostra que se tivermos
A→ (− 2 , 3, 1)
e
B→ (1 , 3 , − 2 ) , a equação do plano
z = x.
mediador do segmento de recta [AB] é
16. Escreve a equação da superfície esférica de centro no ponto
(2 , 3 , − 1)
e
tangente ao plano de equação z = 3 .
21. Representa num referencial o.m. do plano, os conjuntos de pontos definidos
pelas condições:
17. Escreve a equação da esfera de centro no ponto
(− 4 , 2 , − 3)
plano de equação x = 4 .
18.
Relaciona
m
e
a
(parâmetros
reais)
de
forma
que
a
equação
x + y + z − 4 x + ay − 2 z + m = 0 , represente uma superfície esférica de raio 4.
2
2
a)
(x < −3
b)
(x > 1
c)
x 2 + y 2 < 9 ∧ x 2 + y 2 ≥ 22 ;
d)
x 2 + y 2 + 4 x − 12 y + 24 ≥ 0 ;
e)
y ≥ − x ∧ x < −1 ∧ ( x + 1) + ( y − 1) < 16 ;
e tangente ao
2
f)
19. Define através de uma condição o conjunto de pontos do espaço:
a) cuja distância a
(− 1 , 4, 2)
b) que são equidistantes de
∨ x ≥ 3) ∨ x 2 + y 2 < 9 ;
∧ y < 1) ∧ ( x − 2 ) + ( y + 1) < 16
2
2
2
2
x 2 + y 2 < 9 ∨ ( x − 5) + ( y − 3) > 16
2
2
é não superior a 5;
(− 1 , 4, 2)
e
(3 , − 1 , − 2) ;
c) da superfície esférica de diâmetro [AB], sendo A→ (1 , 3, 1) e B→ (− 5 , 3 , 8) ;
d) do plano mediador do segmento que tem A→ (1 , 3, 1) por extremo e o ponto
médio
(− 5 , 3 , 8) ;
e) com abcissa positiva e interiores à circunferência de centro na origem e raio
20 .
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