1 – Em todo polígono o ângulo interno externo adjacentes são

REVISÃO DA TEORIA MA11
UNIDADE 12 FUNÇÕES POLINOMIAIS
1 Funções Polinomiais vs Polinômios

Diz-se que p: IRIR é uma função polinomial quando existem números a0, a1,..., an tais que, para todo x
 R, tem-se
p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + . . . + a1x + a0
Se an  0, dizemos que p tem grau n.
 Um exemplo interessante de produto é:
(x – )(xn – 1+ xn – 2 + . . . + n – 2x + n – 1) = xn – n
Dizemos então que xn – n é divisível por x – .

1, 2,..., k são raízes de p se, e somente, para todo x  IR vale
p(x) = (x – 1)(x – 2) ... (x – k)q(x)
onde q é uma função polinomial de grau n – k se p tem grau n. Daí resulta que uma função polinomial de
grau n não pode ter mais do que n raízes.
 Uma função polinomial chama-se identicamente nula quando se tem p(x) = 0 para todo x  IR. Nesse
caso p tem uma infinidade de raízes, ou seja, todo número real é raiz de p. Assim:
p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + . . . + a1x + a0
tem todos os coeficientes an, an – 1, ... a1, a0 são iguais a zero.

Se os polinômios p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + . . . + a1x + a0 e q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + . . . + b1x + b0
segue que:
an = bn, an – 1 = bn – 1, ... , a1 = b1, a0 = b0.

A cada polinômio p(X) = anXn + an – 1Xn – 1 + . . . + a1X + a0 faz-se corresponder a função polinomial p (x)
= anxn + an – 1xn – 1 + . . . + a1x + a0, para todo x  IR. Esta correspondência (polinômio)  (função
polinomial) é sobrejetiva.
2 Determinando um Polinômio a Partir de Seus Valores

Dados n + 1 números reais distintos x0, x1, ..., xn e fixados arbitrariamente os valores y0, y1, ..., yn, existe
um, e somente um, polinômio p, de grau  n, tal que
p(x0) = y0, p(x1) = y1, ..., p(xn) = yn.

Fórmula de interpolação de Lagrange:
n = 1:
p  x   y0
x  x0
x  x1
 y1
x0  x1
x1  x0
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n = 2:
p  x   y0
2
 x  x1  x  x2   y  x  x0  x  x2   y  x  x0  x  x1 
 x0  x1  x0  x2  1  x1  x0  x1  x2  2  x2  x0  x2  x1 
Caso geral:
n
 x  xk 
p  x    yi   

i 0
k  i  xi  xk 
3 Gráficos de Polinômios

Seja p(x) = anxn + an – 1xn – 1 + . . . + a1x + a0, com a  0.
Se n é par então, para |x| suficientemente grande, p(x) tem o mesmo sinal de an. Este sinal é, portanto,
o mesmo, não importando se x < 0 ou x > 0, desde que |x| seja suficientemente grande.
Se, entretanto, n é ímpar, p(x) tem o mesmo sinal de an para valores positivos muito grandes de x e tem
o sinal oposto de an para valores negativos muito grandes de an.
Em ambos os casos (n par ou n ímpar), quando |x| cresce ilimitadamente, |p(x)| também cresce
ilimitadamente.

Um exemplo de algoritmo grandemente eficiente para obter uma raiz da equação p(x) = 0 é o método
de Newton. Segundo este método, se x1 é um valor próximo de uma raiz, a sequência x1, x2, ..., xn, ...de
números reais obtidos pela fórmula iterativa
xn 1  xn 

p  xn 
p '  xn 
Um caso particular do método de Newton já era conhecido pelos babilônios, que calculavam a raiz
quadrada de um número positivo a (ou seja, uma raiz da equação x2 – a = 0) tomando um valor inicial x1
e, a partir dele, construir as aproximações x1, x2, ..., xn, ... de
a pela fórmula iterativa:
1
a
xn 1   xn  
2
xn 
UNIDADE 13 FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 Introdução

O modelo matemático conveniente para descrever a variação de um capital aplicado a juros fixos, em
função do tempo, deve ser uma função crescente c(t) tal que o acréscimo relativo


c t  h   c t 
c t 
dependa apenas de h, mas não de t.
As únicas funções com estas propriedades são as da forma c  t   c0  at .
Uma situação análoga ocorre quando se estuda a desintegração radioativa. De um modo geral, se
designarmos por m = m(t) a massa da substância radioativa presente no corpo no instante t, veremos
que m é uma função decrescente de t e, além disso, a perda relativa
m t  h   m t 
m t 
, ocorrida após o
decurso do tempo h, depende apenas de h mas não do instante inicial t, ou seja, da massa m(t)
existente naquela ocasião.
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
3
As únicas funções com essas propriedades são as do tipo m  t   b  at .
2 Potências de Expoente Racional


Seja a um número real positivo. Para todo n  IN, a potência an, de base a e expoente n é definida
como o produto de n fatores iguais a a.
Para quaisquer m; n  IN tem-se a m  a n  a m n . Segue-se que, para m1, m2, ..., mk quaisquer vale:
am1  am2  ...  a mk  a m1 m2 ...mk
 
k
 a mk .

Em particular, se m1 = m2 = ... = mk = m, vem a m



Se a  1  1  a  a 2  ...  a n  a n1  ....
Além disso, 0  a  1  1  a  a 2  ...  a n  a n1  ....
Como a igualdade a0  a1 = a0+1 deve ser válida, teremos a0  a = a, logo a única definição possível é a0 =
1.

Dado qualquer n  IN, devemos ter a  n  a n  a  nn  a0  1 , logo a  n 

Que sentido pode ser dado à potência ar quando r 
1
.
an
m
é um número racional (onde m  Z e n  N), de
n
m
modo que continue válida a regra a r  a s  a r  s . Desta igualdade resulta, que se deve ter, para r  :
n
a 
r
n
 a r  a r  ...  a r  a r r ...r  a rn  a m
Portanto ar é o número real positivo cuja n-ésima potência é igual a am. Por definição de raiz, este
número é
n
a m , a raiz n-ésima de am. Assim, a única maneira de definir a potência ar , com r 
Z, n  IN, consiste em pôr
m
,m
n
m
a n  n am

Lema: Fixado o número real positivo a  1, em todo intervalo de R+ existe alguma potência ar, com r 
Q.
UNIDADE 14 FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 A Função Exponencial

Seja a um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1. A função exponencial de base a,
f: IR  IR+ , indicada pela notação f(x) = ax , deve ser definida de modo a ter as seguintes propriedades,
para quaisquer x; y  IR:
1) a x  a y  a x  y
2) a1  a
3) x  y  a x  a y quando a  1 e x  y  a y  a x quando 0  a  1.
4) A função f: IR  IR+, definida por f(x) = ax , é ilimitada superiormente.
5) A função exponencial é contínua.
6) A função exponencial f: IR  IR+, f(x) = ax , a  1 é sobrejetiva.

Vemos, pois, que para todo número real positivo a, diferente de 1, a função exponencial f: IR  IR+,
dada por f(x) = ax , é uma correspondência biunívoca entre IR e IR+, crescente se a > 1, decrescente se
0 < a < 1, com a propriedade adicional de transformar somas em produtos, isto é,
f  x  y  f  x  f  y .
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
4
A injetividade da função x  ax decorre da sua monotonicidade. Se a > 1, por exemplo, então:
x  y  a x  a y e x  y  a x  a y , portanto x  y  a x  a y .
2 Caracterização da Função Exponencial

Teorema: (Caracterização da função exponencial.) Seja f: IR  IR+ uma função monótona injetiva (isto
é, crescente ou decrescente). As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) f  nx   f  x  para todo n  Z e todo x  IR.
n
(2) f  x   a x para todo x  IR, onde a  f 1 .
(3) f  x  y   f  x   f  y  para quaisquer x,y  IR.
UNIDADE 15 FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO INVERSA
1 Funções Exponenciais e Progressões

Seja f: IR  IR, f(x) = bax, uma função de tipo exponencial. Se x1, x2, ..., xn, ... é uma progressão
aritmética de razão h, isto é, xn+1 = xn + h, então os valores
f  x1   ba x1 , f  x2   ba x2 , ..., f  xn   ba xn , ..., formam uma progressão geométrica de razão ah
pois:



f  xn1   ba xn1  ba xn h  ba xn  a h
Teorema: Seja f: IR  IR uma função monótona injetiva (isto é, crescente ou decrescente) que
transforma toda progressão aritmética x1, x2, ..., xn,... numa progressão geométrica y1, y2, ..., yn, .... =
f(xn) . Se pusermos b = f(0) e a = f(1)/f(0) teremos f(x) = bax para todo x  IR.
2 Função Inversa




Diz-se que a função g: Y  X é a inversa da função f: X  Y quando se tem g(f(x)) = x e f(g(y)) = y para
quaisquer x  X e y  Y. Evidentemente, g é inversa de f se, e somente se, f é inversa de g. Quando g é
a inversa de f, tem-se g(y) = x se, e somente se, f(x) = y.
Se g(f(x)) = x para todo x  X então a função f é injetiva, pois f(x1) = f(x2)  g(f(x1)) = g(f(x2))  x1 = x2.
Por sua vez, a igualdade f(g(y)) = y, valendo para todo y  Y, implica que f é sobrejetiva pois, dado y 
Y arbitrário, tomamos x = g(y)  X e temos f(x) = y.
Portanto, se a função f: X  Y possui inversa então f é injetiva e sobrejetiva, ou seja, é uma
correspondência biunívoca entre X e Y.
Observação. Se f: X  Y é sobrejetiva e g: Y  X é tal que g(f(x)) = x para todo x  X então tem-se
necessariamente f(g(y)) = y para todo y  Y e g = f –1 é a inversa de x. Com efeito, dado qualquer y  Y
existe x  X tal que f(x) = y, logo
f(g(y)) = f(g(f(x))) = f(x) = y.
UNIDADE 16 FUNÇÃO LOGARÍTMICA
1 Funções Logarítmicas

A inversa da função exponencial de base a é a função loga: IR+  IR, que associa a cada número real
positivo x o número real loga x, chamado o logaritmo de x na base a. Por definição de função inversa,
tem-se aloga x = x e loga(ax ) = x.
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
5
Consequências da definição:
(1) log b 1  0,..b  IR* \ 1
(2) log b b  1,..b  IR* \ 1
(3) log b b n  n,..b  IR* \ 1
(4) b logb a  a,..b  IR* \ 1

Propriedades operatórias
Todas as propriedades abaixo são válidas a, b, c  IR* , com..a  1
(1) log a (b  c)  log a b  log a c
b
c
(3) log a (c n )  n  log a c,..n  IN
(2) log a    log a b  log a c
log c b
log c a
(5) log a b  log a c  b  c
(4) log a b 
2 Caracterização das Funções Logarítmicas

Teorema: (Caracterização das funções logarítmicas.) Seja f: IR+  IR uma função monótona injetiva
(isto é, crescente ou decrescente) tal que f(xy) = f(x) + f(y) para quaisquer x; y  R+. Então existe a > 0
tal que f(x) = loga x para todo x  R+.

Generalidades sobre a Função Logarítmica
Dado um número real a  IR* \ 1, chamamos de função logarítmica de base a a função f : IR*  IR
que associa a cada x o número real log a x, isto é, f : IR*  IR tal que f ( x)  log a x .



A função é crescente se a  1
A função é decrescente se 0  a  1 .
Para resolver inequações logarítmicas, após igualar as bases, observamos o a .
Se a  1 , log a x1  log a x2  x1  x2
Se 0  a  1, log a x1  log a x2  x1  x2
UNIDADE 17 LOGARITMOS NATURAIS
1 Logaritmos Naturais



Pelo Teorema de Caracterização das funções logarítmicas, existe um número real positivo, que
chamaremos de e, tal que f(x) = loge x para todo x  R+.
Escreveremos ln x em vez de loge x e chamaremos o número ln x de logaritmo natural de x.
O número e, base dos logaritmos naturais, é caracterizado pelo fato de que seu logaritmo natural é igual
a 1, ou seja ÁREA H1e  1 .
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
O número e é irracional. Um valor aproximado dessa importante constante é e = 2,718281828459.
x
 ln 1  x   x
1 x
Dividindo por x:
ln 1  x 
1

1
1 x
x
1
Tomando x  :
n
n
n
 1
 ln 1    1
n 1
 n
Portanto:
e
n
n 1
n
n
 1
 1
 1    e  lim 1    e
n

 n
 n
6