universidade federal de pelotas instituto de física e matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
INSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
Lista de Exercícios 2
Disciplina: Teoria Eletromagnética
PROFESSOR: Fernando Simões Junior
Problemas1
4. Encontre o campo elétrico a uma distância z acima
do centro de uma espira circular de raio r (fig. 3),
que tem uma densidade linear de carga uniforme
λ.
1. (a) Doze cargas iguais q, estão localizadas nos
cantos de um polígono regular de 12 lados (por
exemplo, em cada número do mostrador de um
relógio). Qual é a força líquida sobre uma carga
de prova Q no centro? (b) Suponha que uma das
12 cargas seja removida (a que está em 6 horas).
Qual será a força sobre Q? Explique cuidadosamente seu raciocínio.
2. (a) Encontre o campo elétrico (magnitude, direção e sentido) a uma distância z acima do ponto
central entre duas cargas iguais, q que estão separadas por uma distância d 1. Verifique se o resultado é coerente com o que se espera quando
z d. (b) Repita a questão (a), só que desta vez
faça a carga do lado direito igual a −q em vez de
+q .
Figura 3: Problema 4
5. [?]2 Encontre o campo elétrico a uma distância
z do centro de uma superfície esférica de raio R
(Fig. 4), que tem uma distribuição superficial de
carga elétrica de densidade constante σ. Aborde o
caso z < R (interno), bem como z > R (externo).
Expresse suas respostas em termos da carga total
q da esfera. [Dica: use a lei dos cossenos para escrever r em termos de R e θ. Certifique-se
de esco√
2
2
lher a raiz quadrada positiva: R + z − 2Rz =
(R − z) se R > z , mas é (z − R) se R < z.]
Figura 1: Problema 2
3. Encontre o campo elétrico a uma distância z acima
do centro de uma espira quadrada de lado a que
tem uma densidade linear de carga uniforme λ
(fig. 2 .
Figura 4: Problema 5
6. Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por E = kr3 r̂ em coordenadas
esféricas (k é uma constante). (a) Encontre a densidade de carga de ρ. (b) Encontre a carga total
contida em uma esfera de raio R, centrada na origem.
Figura 2: Problema 3
7. Uma carga q fica no vértice traseiro de um cubo,
1
Exercício: 2.1a,b; 2.2; 2.4; 2;5; 2.7; 2.9; 2.10, 2.11; 2.12; 2.13; 2.14; 2.16; 2.20; 2.21; 2.24; 2.24; 2.27; 2.28; 2.32;
2.36; 2.39. David J. Griffthis, Eletrodinâmica 3º ed. Pearson 2011
2
Problema desafiador
1
Verifique suas respostas calculando ∇V . [Dica:
você deve escolher um caminho específico para a
integração. Não importa qual é esse caminho, já
que a resposta é independente do caminho escolhido, mas simplesmente não se pode integrar sem
um caminho particular em mente.]
como mostra a figura 5. Qual é o fluxo de E através da face sombreada?
14. Encontre o potencial dentro e fora de uma esfera
sólida uniformemente carregada cujo raio é R e
cuja carga total é q. Use o infinito como ponto
de referência. Calcule o gradiente de V em cada
região e verifique se ele fornece o campo correto.
Esboce V (r).
Figura 5: Problema 7
8. Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
dentro e fora de uma casca esférica de raio R, que
tem uma densidade superficial de carga uniforme
σ. Compare sua resposta com o problema 5.
15. Para a configuração do problema 12, encontre a
diferença de potencial entre um ponto no eixo e
um ponto no cilindro externo.
Se você utilizar a
Rb
equação V (b)−V (a) = − a E·dl não é necessário
vincular-se a um ponto de referência em particular.
9. Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro de uma esfera uniformemente carregada (com densidade de carga ρ).
16. Encontre o potencial no eixo de um cilindro sólido uniformemente carregado, a uma distância z
do centro. O comprimento do cilindro é L, e seu
raio é R, e a densidade de carga é ρ? Use o resultado para calcular o campo elétrico nesse ponto.
(Considere que z > L/2).
10. Encontre o campo elétrico a uma distância s de
um fio reto de comprimento infinito, que tem uma
densidade linear de carga uniforme λ.
11. Encontre o campo elẽtric dentro de uma esfera
com uma densidade de carga proporcional à distância da origem ρ = kr, k sendo uma constante.
17. Use a equação
1
V (r) =
4πε0
12. Um cabo coaxial longo (fig. 6) possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ no cilindro interno (raio a) e uma densidade superficial de
carga uniforme na casca externa do cilindro (raio
b). Essa casca superficial é negativa e de magnitude exata para que o cabo, como um todo, seja
eletricamente neutro. Encontre o campo elétrico
em cada uma das três regiões (i) dentro do cilindro interno (s < a), (ii) entre os dois cilindros
(a < s < b), (iii) externa ao cabo (s > b). Faça um
gráfico de |E| em função de s.
Z
ρ(r0 ) 0
dτ
|r|
para calcular o potencial dentro de uma esfera sólida de raio R com densidade de carga uniforme e
carga total q. Compare sua resposta ao problema
14.
18. Encontre a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada de raio R e carga q.
Faça-o de três formas diferentes:
(a) Use a equação
Z
1
W =
ρV dτ
2
e o potencial que você encontrou no problema 14
(b) Use a equação
Z
ε0
W =
E 2 dτ
2
todo o espaço
Figura 6: Problema 10
não esqueça de integrar sobre todo o espaço
(c) Use a equação


Z
I
ε0 
W =
E 2 dτ + V E · da
2
13. Uma destas expressões é um campo eletrostático
impossível. Qual delas?
(a) E = k[xyx̂ + 2yzŷ + 3xzẑ];
(b) E = k[y 2 x̂ + (2xy + z 2 )ŷ + 2yzẑ] ,
k é uma constante com as unidades adequadas. Para o campo possível, encontre o potencial
usando a origem como seu ponto de referência.
υ
S
tome um volume esférico de raio a. O que acontece quando a → ∞?
2
19. Duas cavidades esféricas de raio a e b são escava- Respostas:
das no interior de uma esfera condutora (neutra)
de raio R (fig. 7). No centro de cada cavidade é Problemas:
1 qQ
colocada uma carga pontual - chame estas cargas
1. (a) zero; (b) F = 4πε
.
0 r2
de qa e qb .
2qz
1
(a) Encontre as densidades superficiais de carga
2. (a) E = 4πε
“
”3/2 ẑ ;
0
d 2
2
z
+
(
)
2
σa , σb e σR .
qd
1
(b) E = 4πε
x̂.
“
”
(b) Qual é o campo fora do condutor?
2 3/2
0
z 2 +( d2 )
(c) Qual é o campo dentro de cada cavidade?
(d) Qual é a força em qa e qb ?
4λaz
1
“
”q
ẑ.
3. E = 4πε
2
0
a2
2
(e) Qual destas respostas mudariam se uma terz 2 + a2
z + 4
ceira carga qc , fosse aproximada do condutor?
λ(2πr)z
1
4. E = 4πε
3/2 ẑ
2
0
(r +z²)
5. Para z > R
Para z < R
1 q
E = 4πε
2 ẑ;
0 z
E=0.
6. (a) 5ε0 kr2 ; (b) 4πε0 kR5 .
R
q
7.
E · da = 24ε
0
uma f ace
8. Dentro E = 0; Fora E =
Figura 7: Problema 17
20. Encontre a capacitância por unidade de comprimento de dois tubos cilíndricos coaxiais metálicos,
com raios a e b. (fig. 8)
9. E =
1
3ε0 ρrr̂
10. E =
λ
2πε0 s ŝ.
11. E =
1
2
4πε0 πkr r̂
12. (i) E =
ρs
2ε0 ŝ;
(ii) E =
σR2
r̂.
ε0 r 2
ρa2
2ε0 s ŝ;
(iii) E = 0.
13. (a) impossível; (b) possível V (x, y, z) = −k(xy² +
yz 2 ).
Figura 8: Problema 18
16.
17.
18.
19.
14. Para r > R :
V (r) =
Para r < R :
V (r) =
q
4πε0
q
4πε0
1
r;
1
2R
3−
r2
R2
.
2
b
15. ∆V = − ρa
4ε0 1 + 2 ln a .
(
"
#
)
q
2
q
2
q
2
z+ L
+ R2 +(z+ L
)
ρ
2
2
L
L
L
L
2
q
V = 4ε0
z+ 2
R2 + z + 2 − z − 2
R2 + z − 2 + R ln
− 2zL .
2
z− L
+ R2 +(z− L
2
2)
q
q
ρ
L 2
L 2
ẑ.
E = 2ε0 L − R² + z + 2 + R² + z − 2
2
1 qa
1 qb
(c)Ea = 4πε
V (r) = 8πεq0 R 3 − Rr 2 .
2 r̂a ; Eb = 4πε r 2 r̂b ;
0 ra
0 b
(d) zero.
2
1
3q
(a, b, c) W = 4πε
(e) σR muda (mas σa e σb não); Ef ora muda (Ea
5 R ;
0
e Eb não); a força em qa e qb permanece zero.
qa
qb
qa +qb
(a) σa = − 4πa
2 ; σb = − 4πb2 ; σR = 4πR2 ;
1 qa +qb
20. C = ln2πεb0 .
(b)Ef ora = 4πε
r̂;
(a)
r2
0
3