Coeficiente de reflexão

LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 1
• Havendo um só gerador a alimentar a linha como será possível existirem duas ondas,
propagando-se em diferentes direcções?
• Só será possível se existirem reflexões na linha. Resolvendo as equações diferenciais da linha
alimentada com uma excitação sinusoidal chegam-se às soluções em regime estacionário.
V ( z ) = V + ( z ) + V − ( z ) = VO+ e − γz + VO− e γz
I ( z ) = I + ( z ) + I − ( z ) = I O+ e −γz + I O− e γz
• Poderíamos chegar à mesma conclusão determinando a onda inicial que parte do gerador e
considerar depois todas as reflexões e re-reflexões dessa onda.
• O termo VO+ e − γz representa as ondas individuais que se propagam na direcção dos zz positivos e o
termo VO− e + γz representa as ondas que se propagam na direcção contrária.
• Designando por + e – respectivamente as ondas incidentes (que se propagam no sentido z
positivo) e as reflectidas (que se propagam no sentido z negativo) podemos escrever:
V (z ) = V + (z ) + V − (z )
I (z ) = I + (z ) + I − (z )
V+
V−
−
sendo I =
eI =
Z0
Z0
+
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 2
• As equações para a tensão e corrente ao longo da linha indicam que em qualquer ponto da linha
a tensão e corrente são a resultante de duas ondas que se propagam em sentidos opostos.
• Os campos que existem numa linha de transmissão uniforme podem, em geral, ser considerados
como a resultante de duas ondas progressivas.
o Uma onda incidente que transporta a potência em direcção ao terminal de carga da linha.
o A outra transporta potência na direcção oposta, afastando-se da carga, é chamada de onda
reflectida. É uma fracção da onda incidente que é reflectida pela impedância da carga que
termina a linha de transmissão.
• O coeficiente de reflexão de tensão é, por definição:
V − (z )
ρ v (z ) = +
V (z )
• Isto é, a razão entre a onda reflectida e a onda incidente num determinado ponto da linha de
transmissão.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 3
• No terminal da carga, estando a linha terminada pela impedância Z=ZL teremos:
V (l )
V + e − γl + V − e γl
ZL =
= Z 0 + − γl
I (l )
V e − V − e γl
o Sendo l o comprimento da linha.
V − e γl V − 2 γl
• Fazendo ρ v (l ) = + −γl = + e e ρ v (l ) = ρ teremos:
V e
V
ZL = Z0
1+ ρv
1− ρv
ρv =
ZL − Z0
ZL + Z0
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 4
• Tensão e corrente na linha em função do coeficiente de reflexão de tensão na carga e da distância
à carga
o A figura mostra como a tensão e corrente pode ser expressa em função da distância à carga.
o As equações podem ser expressas em função da distância d (distância entre o ponto a
analisar e a carga). Para tal basta usar a mudança de coordenadas d=l-z. Substituindo z por
l-d, obtemos:
V (d ) = V + e − γl (eγd + ρ v e − γd )
V + − γl γd
I (d ) =
e (e − ρ v e − γd )
Z0
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 5
• A razão V/I em qualquer ponto da linha dá-nos a impedância do ponto quando olhamos na
direcção da carga.
Z L − Z 0 −γd
e
ZL + Z0
ZL + Z0
V (d ) V + e −γl (e γd + ρ v e −γd )
Z (d ) =
= Z0
= +
= Z0
Z
−
Z
I (d ) V −γl γd
− γd
L
Z0 + ZL
e (e + ρ i e )
e γd + 0
e −γd
Z0
ZL + Z0
e γd +
Z (d ) = Z 0
e γd
e γd
e γd
e γd
− e − γd
+ e − γd
− e − γd
+ e − γd
Z L + Z 0 tgh(γd )
Z 0 + Z L tgh(γd )
• Quando z’=l, o gerador vê uma impedância Zi:
Z i = Z (l ) z = 0 = Z 0
Z L + Z 0 tghγl
Z 0 + Z L tghγl
o Do ponto de vista do gerador a linha de transmissão terminada pode ser substituída por Zi.
A tensão de entrada Vi e a corrente de entrada Ii são facilmente calculados a partir deste
circuito.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 6
• Circuito equivalente para uma linha de transmissão
terminada aos terminais do gerador.
Vi =
Zi
Vg
Z g + Zi
Ii =
Vg
Z g + Zi
• Um caso particular de especial importância é quando a linha se encontra terminada com uma
impedância igual à sua impedância característica (ZL=Z0).
• Neste caso a impedância vista em qualquer ponto da linha é igual a Z0 e o coeficiente de reflexão
de tensão e de corrente são nulos.
Z (d ) = Z 0
ρv = ρi = 0
V (d ) = V + e −γ ( l − d )
V + −γ ( l − d )
I (d ) =
e
Z0
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 7
• Linhas de transmissão como elementos de um circuito
o As linhas de transmissão podem não só ser utilizadas como estruturas para a transferência
de potência e de informação de um ponto para outro. A frequências extremamente elevadas,
acima de 300 MHz e comprimentos de onda inferiores a 1 m, podem também ser utilizadas
como elementos do circuito.
o Nestas frequências os elementos dos circuitos são difíceis de fabricar. Podem-se utilizar
secções de linhas de transmissão de modo a fornecerem impedâncias capacitivas ou
indutivas e são utilizadas de modo a ser possível a adaptação de qualquer carga.
o O comprimento necessário à realização de tais linhas de transmissão como elementos de
circuitos começa a ser realizável na banda UHF. A frequências mais baixas que 300 MHz as
linhas necessárias tendem a ser demasiado longas e para frequências superiores a 3 GHz a
dimensão física começa a ser demasiado pequena e começa a haver vantagem na utilização
de guias de onda.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 8
• Na maior parte dos casos os segmentos de linha de transmissão podem ser considerados sem
perdas: γ=jβ
β, Z0=R0 e tgh(γγl)=tgh(jβ
βl)=jtg(β
βl). A expressão para a impedância de entrada de uma
linha sem perdas com comprimento l terminada com uma carga ZL será:
Z i = R0
Z L + jR0 tgβl
R0 + jZ L tgβl
• Linha aberta (ZL→∞)
Z io = X io = −
jR 0
= − jR 0 cot gβl
tgβl
o A impedância de entrada de uma linha de transmissão sem
perdas terminada num circuito aberto é puramente reactiva.
o A linha pode, no entanto, ser capacitiva ou indutiva
dependendo se a função cotg βl tiver valores positivos ou
negativos o que depende do valor de βl (=2π
πl/λ
λ).
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 9
• Linha em curto-circuito (ZL=0)
Z is = X is = jR 0 tgβl
o A impedância de entrada de uma linha de transmissão sem perdas terminada num circuito
aberto é puramente reactiva.
o A linha pode, no entanto, ser capacitiva ou indutiva dependendo se a função tg βl tiver
valores positivos ou negativos o que depende do valor de βl (=2π
πl/λ
λ).
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 10
• Linha com um quarto de onda (l=λ
λ/4)
o Quando o comprimento da linha é um múltiplo ímpar de λ/4, l=(2n-1)λ
λ/4, (n=1,2,3,...)
βl =
π

tgβl = tg (2n − 1)  → ±∞
2

2π
(2n − 1) = (2n − 1) π
λ
2
R02
Zi =
ZL
o Uma linha de transmissão com um quarto de comprimento de onda transforma a
impedância da carga. Posso assim adaptar uma carga com impedância ZL a uma linha com
impedância Z0 através de um transformador de um quarto de onda com impedância ZT.
RT = Z 0 Z L
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 11
• Linha com meia onda (l=λ
λ/2)
o Quando o comprimento da linha é um múltiplo de λ/2, l=nλ
λ/2, (n=1,2,3,...)
βl =
2π
λ
 nλ 
  = nπ
 2 
tgβl = 0
Zi = Z L
• Medindo-se a impedância de entrada de uma linha de transmissão em circuito aberto e em curtocircuito pode-se determinar a impedância característica e a constante de propagação da linha.
Z 0 = Z io Z is
Z is
1
γ = tgh −1
l
Z io
(Ω )
(m )
-1
• Interferência entre ondas progressivas
o Sempre que num sistema existam duas ondas de frequência idêntica e propagando-se em
sentidos opostos, cria-se um fenómeno de interferência conhecido como onda estacionária.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 12
o A amplitude da onda em vez de diminuir gradualmente e exponencialmente (como acontece
num sistema de onda progressiva sem reflexões) apresenta máximos e mínimos a intervalos
determinados pelo comprimento de onda das ondas individuais.
o Define-se Coeficiente de Onda Estacionária (VSWR-Voltage Standing-Wave Ratio) como:
S=
S=
S=
V+ +V−
V+ −V−
1+ ρv
1− ρv
Vmáx
Vmin
=
I máx
I min
V+
1+ −
1 + ρv
V
=
=
V + 1 − ρv
1− −
V
e
ρv =
S −1
S +1
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 13
Tensão ao longo de uma linha desadaptada
Coeficiente de reflexão de
tensão
ρv =
ZL − Z0
ZL + Z0
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 14
Coeficiente de reflexão de
corrente
ρi =
Z0 − ZL
= ρv
ZL + Z0
Coeficiente de transmissão de
corrente
τi =
2Z 0
1 + ρi
Z0 + ZL
Coeficiente de transmissão de
tensão
τv =
2Z L
1 + ρv
Z0 + ZL
Coeficiente de onda
estacionária
S=
Valor do coeficiente de
reflexão
ρv = ρi =
1+ ρv
1 − ρv
=
1 + ρi
1 − ρi
S −1
S +1
• Expressão geral da onda estacionária
o A tensão numa linha em função do coeficiente de reflexão de tensão na carga e da distância
à carga é dada por:
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 15
V (d ) = V + e − γl (e jγd + ρ v e − jγd )
fazendo:
ρ v = ρ v e jφ
ρv = e
ln ρ v
=e
1
2. ln ρ v
2
=e
2 ln
ρv
=e
− 2 ln
1
ρv
= e −2 p
e
q=−
φ
2
ρ v = e −2 ( p + jq )
V (d ) = V + eγl {eγd + e −2 ( p + jq ) .e − γd } = V + eγl e − ( p + jq ) {e ( p + jq ) .eγd + e − ( p + jq ) .e − γd }
V (d ) = V + eγl e − ( p + jq ) {e ( p + jq ) .e (α + jβ )d + e − ( p + jq ) .e − (α + jβ )d }
V (d ) = V + eγl e − ( p + jq ) {e (αd + p )+ j ( βd + q ) + e − (αd + p )− j ( βd + q ) }
eθ + e −θ
Sabendo que cosh θ =
obtemos:
2
V (d ) = V + eγl e − ( p + jq ) . cosh[(αd + p ) + j (βd + q )]
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 16
Considerando que cosh (α + jβ ) = cosh α cos β + jsenhαsenβ obtemos para o módulo de V(d):
V (d ) = V + eγl e −( p + jq ) {senh 2 (αd + p ) + cos 2 (βd + q )} 2
1
Atendendo a que V + eγl e − ( p + jq ) é uma constante, teremos:
V (d ) = K {senh 2 (αd + p ) + cos 2 (βd + q )} 2
1
• Caso de linhas sem perdas
o Neste caso α=0 e a equação transforma-se em:
V (d ) = K {senh 2 p + cos 2 (βd + q )} 2
1
o Para valores fixos de ZL e Z0, senh2p é constante e um gráfico de |V(d)|2 é fácil de traçar,
tendo a forma de um cos2α somado com um valor constante e igual a senh2p.
o Na figura estão representadas envolventes de ondas estacionárias para três valores
diferentes de coeficientes de reflexão: ρv=0, ρv=0,5(0o) e ρv=1(180o).
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 17
Exemplos de envolventes de ondas estacionárias
• A envolvente de uma onda estacionária numa linha sem perdas é periódica, os máximos são
idênticos e os mínimos são também idênticos.
• Os pontos de máximo e mínimo ocorrem nos pontos onde as ondas incidente e reflectida estão em
fase e em oposição de fase.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 18
• A distância entre máximos ou mínimos adjacentes é de meio comprimento de onda (λ
λ/2).
• Para valores de cos2(β
βd+q)=1 temos um máximo para valores de cos2(β
βd+q)=0 temos um mínimo.
o Os mínimos ocorrem nos pontos em que se verifique a relação βd min + q =
β=
2π
1
e q=− φ:
λ
2
π
+ nπ , sendo
2
d min 1 φ n
= +
+
λ
4 4π 2
o Os máximos ocorrem quando βd máx + q = nπ :
d máx
φ n
=
+
λ
4π 2
• Linha sem perdas com terminação resistiva
o Neste caso temos ZL=RL e Z0=R0 e o coeficiente de reflexão de tensão será:
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 19
ρv =
R L − R0
R L + R0
o O coeficiente de reflexão de tensão tem um valor real, sendo possíveis duas situações:
§ RL>R0, neste caso ρ é positivo e real e φ=0:
d min 1 n
= +
λ
4 2
e
d máx n
=
λ
2
temos um máximo de tensão junto à carga.
§ RL<R0, neste caso ρ é negativo e real e φ=-π
π:
d min n
=
λ
2
e
d máx
1 n
=− +
λ
4 2
temos um mínimo de tensão junto à carga.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 20
Ondas estacionárias de tensão e de corrente de linhas sem perdas terminadas com cargas resistivas
• Linha sem perdas terminadas em circuito-aberto
o Neste caso o coeficiente de reflexão de tensão é igual a 1, o que faz que p=0 e q=0.
V (d ) = K (1 + cos βd )
teremos assim um máximo de tensão, igual a 2V+, junto à carga e um mínimo, igual a 0, λ/4
depois.
LINHAS DE TRANSMISSÃO
Ä
Coeficiente de reflexão - 21
• Linha sem perdas terminadas em curto-circuito
o Neste caso o coeficiente de reflexão de tensão é igual a -1, o que faz que p=0 e q=-π
π/2.
π 


V (d ) = K 1 + cos βd − 
2 


teremos assim um mínimo de tensão, igual a 0, junto à carga e um máximo, igual a 2V+, λ/4
depois.
Ondas estacionárias de tensão e de corrente de linhas sem perdas terminadas em curto-circuito e em
circuito-aberto