Matema0ca para Jogos I

Matema&ca para Jogos I Aula 4 Mark Joselli [email protected] Apresentação •  Os sistemas de equações lineares estão presentes nas mais diversas áreas, como: computação grafica, fisica de games, em problemas de o&mização... •  Vários problemas corriqueiros resultam, na sua forma final, em um sistema de equações lineares, o que permite uma simplificação e uma fácil resolução de problemas considerados inicialmente mais complexos. •  Nesta aula, aprenderemos sobre como manipular os sistemas lineares e veremos também os métodos para sua resolução. Obje&vos •  Iden&ficar sistemas lineares. •  Representar os sistemas lineares na forma matricial e realizar as devidas manipulações. •  Conhecer e aplicar corretamente os métodos de resolução de sistemas lineares. Equação linear: Definição •  Define-­‐se equação linear toda equação do &po: •  a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn= b •  Onde: –  ai e b∈ R –  x1,x2,x3,…,xn são as incognitas; –  a1,a2,a3,…,an são os coeficientes numericos; –  E b é o termo independente. Exemplo:Quais das equações abaixo são lineares? • 
• 
• 
• 
• 
• 
–5x –8y –10,3z = 2 2,5x − √2y = 0 –2+x –y =3z x − 3y − √z = 2 2x –yz +4 = 0 X2+x=3 sistema de equações lineares •  Um sistema de equações lineares ou sistema linear consiste em um conjunto de m equações lineares com n incógnitas; Sistemas homogêneos e não homogêneos •  Existem algumas classificações para sistemas de equações lineares; •  a mais simples delas é a que diferencia os sistemas homogêneos dos não homogêneos. –  Os sistemas lineares homogêneos são aqueles onde os termos independentes bi são todos nulos –  mas, caso haja ao menos um desses coeficientes diferentes de zero, então, o sistema passa a ser classificado como não homogêneo. Solução de sistemas lineares •  A solução de um sistema de equações lineares é a sequência de números tais que a equação é sa&sfeita. É chamada de conjunto solução. •  A quan&dade de soluções de um sistema de equações lineares implica em uma nova classificação dos sistemas lineares. Classificação de um sistema linear • SPD – Sistema Possível e Determinado – possui apenas uma solução. •SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções. • SI – Sistema Impossível – não possui solução. Classificação de um sistema linear −1
1
5
10
Classificação de um sistema line
Sistema Possível Determinado Todoesistema
linear é classificado
•  Sistema Possível e Determinado ao Possível
ser  SPD –(SPD): Sistema
e
resolvido encontraremos ma ú–nica solução,  uSPI
Sistema
Possível e
isto é, apenas um único as Impossível –
 valor SI –para Sistema
incógnitas. O sistema a seguir é considerado um sistema possível e determinado, ois a Sistema
Possível e pDeterminado
um único
as incógnitas
única solução existente para valor
ele épara
o par ordenado (4,1). a única solução existente para ele
𝑥+𝑦 = 5
𝑥−𝑦 = 3
Sistema Possível e Indeterminad
assumem inúmeros valores. Obse


SPI – Sistema Possível e Indeterm
SI – Sistema Impossível – não po
Sistema Possível e Indeterminado Sistema Possível e Determinado (SPD): a
um único
valor para as incógnitas.
O sistem
•  Sistema Possível e Indeterminado (SPI): esse a única
solução
existente
para eleos é o par o
&po de sistema possui infinitas soluções, =5
valores de x𝑥 e+
y 𝑦
assumem inúmeros valores. 𝑥 − 𝑦 =a 3seguir, x e y podem Observe o sistema Sistema
Possível
Indeterminado
assumir mais de um valor, (e0,4), (1,3), (2,2), (SPI):
assumem inúmeros valores. Observe o sist
(3,1) e etc. (2,2), (3,1) e etc.
𝑥+𝑦 =4
0𝑥 − 0𝑦 = 0
Sistema Impossível (SI): ao ser resolvido,
Sistema Possível e Indeterminad
assumem
inúmeros valores. Obse
Sistema Impossível (2,2), (3,1) e etc.
•  Sistema Impossível (SI): 𝑥+𝑦
=a4o ser resolvido, não encontraremos oluções para as 0𝑥s−
0𝑦 =possíveis 0
incógnitas, por isso esse &po de sistema é classificado como impossível. O sistema a Sistema
Impossível
(SI):
ao
ser
r
seguir é impossível. esse tipo de sistema é classificad
𝑥+𝑦 = 9
𝑥+𝑦 = 5
Umsendo
sistema
linear pode de
tersistema
ou não solução,
ão,
denominado
possível sendo
ou denominado de sistema po
ssível,
Dentre
os sistemas
que admitem solução, existem os
mas
querespectivamente.
admitem solução,
existem
os que têm
as
solução
(determinado)
e outros
que podem apresentar um conjun
rosuma
queúnica
podem
apresentar
um conjunto
infinito
luçõestambém
(indeterminado).
Oschamados
sistemas possíveis
síveis
podem ser
de consis-também podem ser chamados d
e os • 
impossíveis,
de inconsistente.
São sistemas de equações lineares que Sistemas equivalentes apresentam o mesmo conjunto solução, stemas
equivalentes
apesar de se apresentarem dis&ntamente. São
sistemas
de
equações
que apresentam
o mesmo conjunto soluçã
•  Por o emesmo
xemplo: (lineares
x=2,y=1) presentam
conjunto
solução,
apesar
distintamente.
exemplo,
vimos anteriormente que o conjunto
o,apresentarem
vimos
que oPor
conjunto
solução
! anteriormente
!
!
x+y =3
∈ #+/yx==72, y = 1} , já o sistema
stema
é {x, y 3x
=
2, y = 1} , já o sistema
x−y =1
2x − 2y = 2
3x + y
2x − 2
!
!
3.2 + 1
3.2
+
1
=
7
ar de serconjunto
diferente,solução:
também apresenta o mesmo. conjunto solução:
mesmo
2.2 − 2
2.2
−
2.1
=
2
anto, os dois sistemas são equivalentes.
Propriedades •  Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente. Propriedades •  Mul&plicando uma ou mais equações de um sistema por um número K, obtemos um sistema equivalente ao anterior. Propriedades •  Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, obtemos um sistema equivalente ao anterior. •  subs&tuindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -­‐1 com (II), obtemos: Representação matricial •  Vamos considerar um sistema de equações lineares genérico, com m equações e n incógnitas: ..
.
. + ain xn
..
.
..
.
= bi
..
.
•  Se considerarmos as incógnitas em um vetor, . + amn
xn = b m
teremos: eremos:



X=


x1
x2
..
.
xn






•  Da mesma forma, um vetor com os termos independentes: 


ndependentes: B = 


b1
b2
..
.
bm



.




rmos independentes: B = 


b1
b2
..
.
bm


.


•  Por fim, montamos uma matriz com os termos coeficientes: 



s termos coeficientes: A = 


a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
am1
am2
· · · amn
de equações na forma matricial: A·X = B.
a1n
a2n
..
.


.


•  Então, poderemos escrever o sistema de equações na forma matricial: A·∙X = B 2$ % 8& ' 16
5$ * & ' 12+
0" #
!
5$ * & ' 24
Exemplo •  Construa as matrizes: !" "#$%&'()!)!*)&'+,!+$-#*./0&)!0!)!*)&'+,!-#*./0&)!10#$#
√3$ % 4& ' 2+
)2 2 !
!
*" % & ' 1
3$ % 2& ' 5
32!!!5 $ * & ' 1 +!
4" # $ % 6
*
%" 40'+5+6(0!%0!)!&0'$)!#'10$)1)!789!89!82!:!%#/(;<#!1#!%+%&0*)$## 5!2
$%&'"&($%)"$&
2
Resolução de sistemas lineares • 
• 
• 
• 
Metodo da adição Metodo da subs&tuição Regra de Cramer Eliminação gaussiana x−y =1
Exemplo apesar de ser diferente, também apresenta o mesmo conjunto solução:
Portanto, os dois sistemas são equivalentes.
!
3.2 + 1 = 7
.
2.2 − 2.1 = 2
Exemplo
3
•  Resolva (adição e subs&tuição) e classifique os sistemas: a)
a)
Sistemas lineares homogêneos:
!
!
!
2a − b = 2
2a − b = 1
b)
c) 2a − b = 1
a−b=1
−4a + 2b = −2
−4a + 2b = −1
!
2a − b = 2
fazendo a primeira equação menos a segunda, temos:
a−b=1
2a − a = 2 − 1
a=1
Se a = 1, então, b = 0
S = {a, b ∈ # / a = 1, b = 0}
Sistema possível determinado →Apresenta única solução.
Resolução por Regra de Cramer •  A regra de Cramer é uma ferramenta ú&l na obtenção da solução de sistemas lineares que apresentam n equações e n incógnitas. Ela diz que a solução xi é dada por: •  Onde: –  A → matriz dos coeficientes –  Ai → matriz ob&da da subs&tuição dos elementos da i-­‐ésima coluna de A pelos termos independentes Encontre a solução do sistema usando a usando a regra de Cramer '
2x1 − x2 = −1
ção de
usando a regra d
x1 − x2 = −2
a forma matricial AX=B, temos:
2 −1
)
(
x1
)
(
2 −1
1 −1
)
(
)
−1
de ser utilizada para encontrar a solução quando a matriz
do determinante.
Encontre a solução do sistema usando de
'
a usando a regra de Cramer 2x1 − x2 = −1
usando a regra de C
x1 − x2 = −2
− x2 = −1
usando
a
regra
de
Cramer.
Passando para a forma matricial AX=B, (
temos: − x2 = −2
(
)(
)
(
rma matricial AX=B,
2 −1
xtemos: −1
al AX=B, temos:
(
X =−1
)
)
x
1
B=
1 −1
(
1
x2
)
(
)
−1
x1
=
−2
2 −1
1 −1
)(
(
)
)
−1
(
para a forma matricial AX=B, temos:
assando para a forma matricial AX=B, temos:
(
)
(
)
2 −1
)(
1−1 −1
2
1 −1
(
(
(
)
2 (−12 −1 )
xx1 )
−1
−1
1
=
X
=
B
=
nde: •  ACálculo =
X=
B = d
os d
eterminantes: 1 −11 −1
xx22
−2 −2
**
* **
*
*
* 2 −1 * *
álculo dos determinantes: det A =* * 2 −1* *= −1
s determinantes: det A = * * 1 −1 * * = −1
* 1 −1 *
x1
x2
)
)
x1(
x
=2
=)
−1
−2
ara calcular det(A1), substituímos a primeira coluna de A por B e para calular det(A
uímos
a segunda
coluna de A por
lar
det(A
), substituímos
a *B.
primeira coluna
de A por B e para calu
*
1
* −1 −1 *
*
segunda coluna de det
A por
B.**
A1 =
* * −2 −1 ** *= −1
* −1 −1 *
**
* *
det A1 = * * 2 −1 * * = −1
* *
* **−2 −1
det A2 =
* = −3
* 1 −2 *
*
*
* 2 −1 *
*
*
*
*
det A1 = *
*
*
*
*
det A2 = *
*
•  Aplicando na formula Então, é só aplicar na equação:
det A1
−1
x1 =
=
=1
det A
−1
−3
det A2
=
=3
x2 =
det A
−1
−1 −1 **
* = −1
−2 −1 *
*
2 −1 **
* = −3
1 −2 *
S = {x1 , x2 ∈ # / x1 = 1, x2 = 3}
apenas pode ser utilizada para encontrar a solução quando a matriz
o o cálculo do determinante.
Exemplo •  Encontre a solução dos sistemas usando a regra de kramer: '
!
2x1 − x2 = −1
x + 2y = 1
de
usando
a
regra
de
Cramer.
para encontrar
solução do sistema.
x1 − x2 =a−2
ma !
matricial AX=B, temos:
x + 2y = 1
)3x − y =
( −1 )
(
2 −1
1 −1
)(
(
)
gaussiana
a.
−1
−1
X=
x1
x2
B=
−1
−2
3x − y = −1
x1
x2
)
=
(
−1
−2
)